專(zhuān)題05 不等式1不等關(guān)系(1)用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式(2)不等式的性質(zhì)實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系a>b；a<b.不等式的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性：；(雙向性)傳遞性：a>b，b>c；(單向性)可加性：a>bac>bc；(雙向性)a>b，c>d；(單向性)可乘性：；(單向性) a>b，c<0ac<bc；(單向性)a>b>0，c>d>0；(單向性)乘方法則：；(單向性)開(kāi)方法則：a>b>0(nN，n2)(單向性)注意：（1）應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無(wú)法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號(hào).2一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱(chēng)為一元二次不等式，有三種形式：一般式：；頂點(diǎn)式：；兩根式：.(2)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式的圖象一元二次方程的根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集(3)一元二次不等式的解法：一化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式二判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式三求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根四寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集(4) 一元二次不等式恒成立問(wèn)題恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且或且恒成立的充要條件是：且或且3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題(1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫(huà)成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫(huà)成實(shí)線能夠通過(guò)取特殊點(diǎn)，由不等式的符號(hào)來(lái)確定不等式表示的平面區(qū)域.通常情況下取，若不等式相應(yīng)的直線過(guò)，則可在坐標(biāo)軸上取或.(2)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：根據(jù)給定的約束條件畫(huà)出相應(yīng)的可行域，考察目標(biāo)函數(shù)的特征，并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求最值.通常情況下，給定的約束條件多為二元一次不等式組，常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：型的線性目標(biāo)函數(shù)；型的斜率型目標(biāo)函數(shù)；型的兩點(diǎn)間距離型目標(biāo)函數(shù)等.使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一般是可行域邊界的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入目標(biāo)函數(shù)，可以快捷、準(zhǔn)確地計(jì)算最值，但要注意可行域的邊界是否是實(shí)線.解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題通常有以下兩種類(lèi)型：i)條件不等式組中含有參數(shù)，此時(shí)不能明確可行域的形狀，因此增加階梯式畫(huà)圖分析的難度.求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要有全局觀，要能夠結(jié)合目標(biāo)函數(shù)取得最值的情況進(jìn)行逆向分析，利用目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所得的直線與約束條件所對(duì)應(yīng)的直線形成交點(diǎn)，求解參數(shù).ii)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù)，旨在增加探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性.要能夠從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，多圖形的動(dòng)態(tài)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位，以此解決問(wèn)題.4利用基本不等式求最值問(wèn)題(1)基本不等式：，成立的條件：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)(2)利用基本不等式求最值問(wèn)題如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，xy有最小值是.(簡(jiǎn)記：積定和最小)如果和xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)(3)常用的不等式模型：基本不等式鏈：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.一、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式【例1】設(shè)，若12,24，則的取值范圍是_【答案】【解析】設(shè)=mn (m、n為待定系數(shù))，則4a2b=m(ab)n(ab)，即4a2b=(mn)a(nm)b，于是得，解得.=3又12,24，5310，即510.【名師點(diǎn)睛】（1）此類(lèi)問(wèn)題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；（2）求范圍問(wèn)題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴(kuò)大變量取值范圍【例2】已知全集=，集合，則A B C D【答案】D【解析】由題知，=，故選D【名師點(diǎn)睛】一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之間簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間求解時(shí)注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論.【例3】不等式的解集是A B C D 【答案】B【解析】不等式移項(xiàng)得：，即，可化為：或，解得，則原不等式的解集為.故選B.【名師點(diǎn)睛】對(duì)于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.二、線性規(guī)劃【例4】已知點(diǎn)x,y滿(mǎn)足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為A5 B6C7 D8【答案】C【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線并平移知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),z取得最小值.由,得,即A(2,3),故zmax=9.由,得,即B(0,2),故zmin=2,故z的最大值與最小值之差為7,選C.【名師點(diǎn)睛】求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（1）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)，最優(yōu)解只有1個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí)，會(huì)在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值.（2）同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最值時(shí)，最優(yōu)解有多個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與某一邊界線平行時(shí)，會(huì)有多個(gè)最優(yōu)解.（3）可行域一邊開(kāi)放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時(shí)也就不存在最優(yōu)解.（4）形如z=AxBy(B0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時(shí)取到最值，還要看B的符號(hào)【例5】已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?若直線：與區(qū)域D有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A BC D【答案】A【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)?，所以直線過(guò)定點(diǎn)（1，），且斜率為，如圖所示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是，故選A.【名師點(diǎn)睛】求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問(wèn)題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過(guò)觀察確定含參的式子所滿(mǎn)足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).【例6】已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件則的取值范圍為 .【答案】【解析】依題意，.作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示（含邊界）.表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，觀察可知，則，所以，所以，故的取值范圍為.【名師點(diǎn)睛】斜率問(wèn)題是線性規(guī)劃延伸變化的一類(lèi)重要問(wèn)題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問(wèn)題，不過(guò)是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見(jiàn)模型或其變形形式.三、基本不等式【例7】若x0，y0，且x2y1，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】因?yàn)閤2y1，x0，y0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)故的最小值為【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)：（1）要能夠通過(guò)恒等變形及配湊，使其“和”或“積”為定值；（2）要注意在正數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用基本不等式，同時(shí)等號(hào)成立的條件要驗(yàn)證.【例8】若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為A BC D 【答案】D【解析】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選擇D【名師點(diǎn)睛】基本不等式的常用變形(1)ab2(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(2)a2b22ab，ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(3)2(a，b同號(hào)且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立(4)a2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，等號(hào)成立；a2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，等號(hào)成立1若a>b>0，c<d<0，則一定有Aad>bc Bac>bdCad<bc Dac<bd【答案】C【解析】因?yàn)閏<d<0，所以，又因?yàn)閍>b>0，所以ad<bc.故選C.2已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?，則為A BC D【答案】B【解析】由題可知所以故選B3不等式0的解集為A(-,-3 B(1,2C(-,-31,2 D(-,-3(1,2【答案】D【解析】由0得,解得或,故選D.4若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A2，) B(，6C6,2 D(，62，)【答案】D【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集不是空集，所以，解得 或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選D.5已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前9項(xiàng)和，則的最小值為ABCD【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故選B6已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值是A50B60C70D100【答案】D【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，由得，平移直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線的縱截距最大，此時(shí)最大易得，所以故目標(biāo)函數(shù)的最大值為故選D7已知函數(shù)，則的最小值是_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是故填8已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足記點(diǎn)圍成的封閉區(qū)域?yàn)?，若的最大值?，則的面積為_(kāi)【答案】12【解析】依題意，區(qū)域是以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z有最大值8，即，解得，故點(diǎn)到直線的距離為，而，故的面積為9已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，記該不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，且，現(xiàn)有如下說(shuō)法：；.則上述說(shuō)法正確的有_.（橫線上填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)）【答案】【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.對(duì)于，平移直線，可知在點(diǎn)處取得最大值，為；在點(diǎn)處取得最小值，為，則 .對(duì)于，它表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率，易知.對(duì)于，它表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與的距離的平方，易知，故正確，錯(cuò)誤.1（2016新課標(biāo)全國(guó)文科）已知集合，則 A BC D【答案】D【解析】由得，所以，因?yàn)?，所以，故選D.2（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）設(shè)滿(mǎn)足約束條件則的最小值是A BC D 【答案】A【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，最小值為故選A.3（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）若，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)【答案】6【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：由z=3x+2y可得，畫(huà)出直線y=-32x，將其上下移動(dòng)，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由，解得A(2,0)，此時(shí)zmax=32+0=6，故答案為6.4（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）若滿(mǎn)足約束條件 則的最大值為_(kāi)【答案】9【解析】畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y可化為y=-x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由得A（5,4），則.5（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）若變量滿(mǎn)足約束條件則的最大值是_【答案】3【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)，即，平移直線，可知在點(diǎn)A處，取得最大值.由解得.則.