第1講 用導數(shù)研究函數(shù)的基本問題A組小題提速練一、選擇題1(2018石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)，則f(f(x)<2的解集為()A(1ln 2，)B(，1ln 2)C(1ln 2,1)D(1,1ln 2)解析：因為當x1時，f(x)x3x2，當x<1時，f(x)2ex1<2，所以f(f(x)<2等價于f(x)<1，即2ex1<1，解得x<1ln 2，所以f(f(x)<2的解集為(，1ln 2)，故選B.答案：B2已知函數(shù)y的定義域為a，b(a，bZ)，值域為0,1，則滿足條件的整數(shù)對(a，b)共有()A6個B7個C8個 D9個解析：函數(shù)y1，易知函數(shù)是偶函數(shù)，x>0時是減函數(shù)，所以函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，函數(shù)y的定義域可能為3,0，3,1，3,2，3,3，2,3，1，3，0,3，共7種，所以滿足條件的整數(shù)對(a，b)共有7個故選B.答案：B3已知函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，g(x)ln(ex1)bx是偶函數(shù)，則logab()A1 B1C D.解析：由題意得f(0)0，a2.g(1)g(1)，ln(e1)bln(1)b，b，log2 1.故選B.答案：B4對定義在0,1上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為M函數(shù)：()對任意的x0,1，恒有f(x)0；()當x10，x20，x1x21時，總有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立則下列3個函數(shù)中不是M函數(shù)的個數(shù)是()f(x)x2f(x)x21f(x)2x1A0 B1C2 D3解析：在0,1上，3個函數(shù)都滿足f(x)0.當x10，x20，x1x21時：對于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(xx)2x1x20，滿足；對于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)21(x1)(x1)2x1x21<0，不滿足；對于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(2x1x21)(2x112x21)2x12x22x12x21(2x11)(2x21)0，滿足故選B.答案：B5(2018哈爾濱四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)如果對任意的nN*，定義fn(x)，那么f2 016(2)的值為()A0 B1C2 D3解析：f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，f4(2)f(2)1，fn(2)的值具有周期性，且周期為3，f2 016(2)f3672(2)f3(2)2，故選C.答案：C6函數(shù)f(x)2|log2x|的圖象為()解析：由題設條件，當x1時，f(x)2log2x；當0<x<1時，f(x)2log2xx.故f(x)其圖象如圖所示故選D.答案：D7(2018福州質檢)已知偶函數(shù)f(x)滿足：當x1，x2(0，)時，(x1x2)f(x1)f(x2)>0恒成立設af(4)，bf(1)，cf(3)，則a，b，c的大小關系為()Aa<b<c Bb<a<cCb<c<a Dc<b<a解析：因為f(x)為偶函數(shù)，故f(4)f(4)因為(x1x2)f(x1)f(x2)>0，故函數(shù)f(x)在(0，)上單調遞增，故f(4)f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故選C.答案：C8(2018西安模擬)對于函數(shù)yf(x)，部分x與y的對應關系如下表：x123456789y375961824數(shù)列xn滿足：x11，且對于任意nN*，點(xn，xn1)都在函數(shù)yf(x)的圖象上，則x1x2x2 017()A7 554 B7 540C7 561 D7 564解析：數(shù)列xn滿足x11，且對任意nN*，點(xn，xn1)都在函數(shù)yf(x)的圖象上，xn1f(xn)，由圖表可得x2f(x1)3，x3f(x2)5，x4f(x3)6，x5f(x4)1，數(shù)列xn是周期為4的周期數(shù)列，x1x2x2 017504(x1x2x3x4)x15041517 561.故選C.答案：C9已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df(25)<f(80)<f(11)解析：由f(x4)f(x)得f(x24)f(x2)f(x2)，由f(x)f(x)得f(x2)f(x2)，所以f(2x)f(2x)，所以直線x2是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸同理得直線x2是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，所以函數(shù)f(x)的周期是8，所以f(25)f(1)f(1)，f(11)f(3)f(1)，f(80)f(0)由f(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，得f(0)0，f(1)>0，f(1)<0，則f(1)<f(0)<f(1)，即f(25)f(80)f(11)故選D.答案：D10(2018重慶一中模擬)設曲線yf(x)與曲線yx2a(x>0)關于直線yx對稱，且f(2)2f(1)，則a()A0 B.C. D1解析：依題意得，曲線yf(x)即為x(y)2a(其中y>0，即y<0，注意到點(x0，y0)關于直線yx的對稱點是點(y0，x0)，化簡后得y，即f(x)，于是有2，由此解得a，選C.答案：C11已知f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是()A2,1 B5,0C5,1 D2,0解析：因為f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，所以f(ax1)f(x2)在x上恒成立，即|ax1|x2|，即x2ax12x.由ax12x，得ax1x，a1，而1在x1時取得最小值0，故a0.同理，由x2ax1，得a2，所以a的取值范圍是2,0答案：D12(2017高考天津卷)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，則a，b，c的大小關系為()Aabc BcbaCbac Dbca解析：依題意ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1)因為f(x)在R上是增函數(shù)，可設0x1x2，則f(x1)f(x2)從而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)g(x2)所以g(x)在(0，)上亦為增函數(shù)又log25.10,20.80,30，且log25.1log283,20.8213，而20.821log24log25.1，所以3log25.120.80，所以cab.故選C.答案：C二、填空題13若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則a_.解析：f(x)ln(e3x1)axlnaxln(1e3x)3xax，依題意得，對任意xR，都有f(x)f(x)，即ln(1e3x)3xaxln(1e3x)ax，化簡得2ax3x0(xR)，因此2a30，解得a.答案：14(2017高考山東卷)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.解析：f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)6，即f(919)6.答案：615已知函數(shù)f(x)若f(x)在(，)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：要使函數(shù)f(x)在R上單調遞增，則有即所以解得2<a3，即a的取值范圍是(2,3答案：(2,316某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關系式t且該食品在4 時的保鮮時間是16小時已知甲在某日10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示給出以下四個結論：該食品在6 的保鮮時間是8小時；當x6,6時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少；到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內；到了此日14時，甲所購買的食品已過了保鮮時間其中，所有正確結論的序號是_解析：某食品的保鮮時間t(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關系式t且該食品在4 時的保鮮時間是16小時，24k616，即4k64，解得k，t當x6時，t8，故正確；當x6,0時，保鮮時間恒為64小時，當x(0,6時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少，故錯誤；此日10時，溫度為8 ，此時保鮮時間為4小時，而隨著時間的推移，到11時，溫度為11 ，此時的保鮮時間t21161.414(小時)，到13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內，故錯誤；由可知，到了此日14時，甲所購買的食品已過了保鮮時間，故正確所以正確結論的序號為.答案：B組大題規(guī)范練1設函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當x>0時，(xk)f(x)x1>0，求k的最大值解析：(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)exa.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(，)上單調遞增若a>0，則當x(，ln a)時，f(x)<0；當x(ln a，)時，f(x)>0，所以，f(x)在(，ln a)上單調遞減，在(ln a，)上單調遞增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當x>0時，(xk)f(x)x1>0等價于k<x(x>0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調遞增而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點故g(x)在(0，)上存在唯一的零點設此零點為，則(1,2)當x(0，)時，g(x)<0；當x(，)時，g(x)>0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于k<g()，故整數(shù)k的最大值為2.2已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值解析：(1)對f(x)求導得f(x)，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，則f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定義域(0，)內，故舍去當x(0,5)時，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內為減函數(shù)；當x(5，)時，f(x)>0，故f(x)在(5，)內為增函數(shù)由此知函數(shù)f(x)在x5時取得極小值f(5)ln 5.3(2018山東濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)bln x，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為yx.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間及極值；(2)若x1，f(x)kx恒成立，求k的取值范圍解析：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)，故f(1)ba1，又f(1)a，點(1，a)在直線yx上，a1，則b2.f(x)2ln x且f(x)，當0<x<時，f(x)<0，當x>時，f(x)>0.故函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，f(x)極小值f22ln 2，無極大值(2)由題意知，k(x1)恒成立，令g(x)(x1)，則g(x)(x1)，令h(x)xxln x1(x1)，則h(x)ln x(x1)，當x1時，h(x)0，h(x)在1，)上為減函數(shù)，故h(x)h(1)0，故g(x)0，g(x)在1，)上為減函數(shù)，故g(x)的最大值為g(1)1，k1.4(2018皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax2xln x.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的圖象在(e，f(e)處的切線方程；(2)若ae，證明：方程2|f(x)|3x2ln x無解解析：(1)依題意，知f(e)e2e，f(x)2xln x1，故f(e)2e2，故所求切線方程為ye2e(2e2)(xe)，即(2e2)xye2e0.(2)證明：依題意，有2|ax2xln x|3x2ln x，即2|ax2xln x|2ln x3x，亦即|axln x|.令g(x)axln x，當ae時，g(x)exln x，則g(x)，令g(x)0，得x，令g(x)>0，得x，所以函數(shù)g(x)在上單調遞增，令g(x)<0，得x，所以函數(shù)g(x)在上單調遞減，所以g(x)maxgeln 2，所以|g(x)|2，令h(x)，則x(0，)，h(x).令h(x)>0，得x(0，e)，所以函數(shù)h(x)在(0，e)上單調遞增，令h(x)<0，得x(e，)，所以函數(shù)h(x)在(e，)上單調增減，所以h(x)maxh(e)<2，即h(x)<2，所以|g(x)|>h(x)，即2|f(x)|3x>2ln x，所以方程2|f(x)|3x2ln x無解5(2018福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3x22x5.(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(3，f(3)處的切線方程；(2)若曲線yf(x)與y2xm有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍解析：(1)f(x)x3x22x5，f(x)x23x2.易求得f(3)2，f(3).f(x)的圖象在(3，f(3)處的切線方程是y2(x3)，即4x2y10.(2)令f(x)2xm，即x3x22x52xm，得x3x25m，設g(x)x3x25，曲線yf(x)與直線y2xm有三個不同的交點，曲線yg(x)與直線ym有三個不同的交點，易得g(x)x23x，令g(x)0，解得x0或x3，當x<0或x>3時，g(x)>0，當0<x<3時，g(x)<0，g(x)在(，0)，(3，)上單調遞增，在(0,3)上單調遞減，又g(0)5，g(3)，即g(x)極大值5，g(x)極小值，可畫出如圖所示的函數(shù)g(x)的大致圖象實數(shù)m的取值范圍為<m<5.