專題05 三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用知識必備一、三角函數(shù)、解三角形、三角恒等變換的綜合及其應(yīng)用1三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（1）函數(shù)，的定義域均為；函數(shù)的定義域均為.（2）函數(shù)，的最大值為，最小值為；函數(shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)，的最小正周期為；函數(shù)的最小正周期為（4）對于，當(dāng)且僅當(dāng)時為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時為偶函數(shù)；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時為偶函數(shù)；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時為奇函數(shù) （5）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定，單調(diào)遞減區(qū)間由不等式來確定；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定，單調(diào)遞減區(qū)間由不等式來確定；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由不等式來確定【注】函數(shù)，（有可能為負(fù)數(shù)）的單調(diào)區(qū)間：先利用誘導(dǎo)公式把化為正數(shù)后再求解（6）函數(shù)圖象的對稱軸為，對稱中心為；函數(shù)圖象的對稱軸為，對稱中心為；函數(shù)圖象的對稱中心為.【注】函數(shù)，的圖象與軸的交點(diǎn)都為對稱中心，過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線都為對稱軸. 函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)和漸近線與軸的交點(diǎn)都為對稱中心，無對稱軸.2三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成y=Asin(x)t或y=Acos(x)t的形式（2）利用公式求周期（3）根據(jù)自變量的范圍確定x的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值（4）根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(x)t或y=Acos(x)t的單調(diào)區(qū)間3三角恒等變換與向量相結(jié)合的綜合問題三角恒等變換與向量的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，一般以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運(yùn)算，往往是兩向量平行或垂直的計算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則ab=x1x2y1y2，abx1y2=x2y1，abx1x2y1y2=0，把向量形式化為坐標(biāo)運(yùn)算后，接下來的運(yùn)算仍然是三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識的運(yùn)用.4三角恒等變換與解三角形相結(jié)合的綜合問題（1）利用正弦定理把邊的關(guān)系化成角，因?yàn)槿齻€角之和等于，可以根據(jù)此關(guān)系把未知量減少，再用三角恒等變換化簡求解；（2）利用正、余弦定理把邊的關(guān)系化成角的關(guān)系再用三角恒等變換化簡求解【注】此類題中的角是在三角形中，每個角范圍限制在(0，)內(nèi)，如果是銳角三角形，則需要限制各個角均在內(nèi)角的范圍在解題中至關(guān)重要，做題時要特別注意.5三角形中的綜合問題（1）解三角形的應(yīng)用中要注意與基本不等式的結(jié)合，以此考查三角形中有關(guān)邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式，建立如“”之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，通過基本不等式考查相關(guān)范圍問題.（2）注意與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合考查，將兩者結(jié)合起來，既考查解三角形問題，也注重對三角函數(shù)的化簡、計算及考查相關(guān)性質(zhì)等.（3）正、余弦定理也可能結(jié)合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積，此時注意應(yīng)用平面向量的數(shù)量積或基本不等式進(jìn)行求解.6三角函數(shù)圖象、性質(zhì)與其他知識的綜合問題常先通過三角恒等變換、平面向量的有關(guān)知識化簡函數(shù)解析式為y=Asin(x)B的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)研究其相關(guān)性質(zhì)，若涉及解三角形，則結(jié)合解三角形的相關(guān)知識求解二、解三角形的實(shí)際應(yīng)用1測量中的術(shù)語（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)（2）方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)（3）方向角相對于某一正方向的水平角.北偏東，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；北偏西，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；南偏西等其他方向角類似（4）坡角與坡度坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)；坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比2解三角形實(shí)際應(yīng)用題的步驟核心考點(diǎn)考點(diǎn)一 三角函數(shù)、解三角形、三角恒等變換的綜合及其應(yīng)用【例1】（三種三角函數(shù)間的綜合）已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象交于，三點(diǎn)，則的面積是A BC D【答案】C【例2】（三角函數(shù)性質(zhì)的綜合）已知函數(shù)的最小正周期為，的圖象向左平移個單位后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最大值為A BC1 D2【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，且其圖象向左平移個單位后得到的為偶函數(shù)，則，又因?yàn)椋?，則.故選A【例3】（三角函數(shù)型圖象問題）函數(shù)的圖象大致為A BC D【答案】C 【解析】為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對稱，排除A、D，把代入得，故圖象過點(diǎn)，C選項適合，故選C【例4】（三角函數(shù)與平面幾何的綜合）已知函數(shù)（1）若，把函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)的圖象上有如圖所示的三點(diǎn)，且滿足，求的值【解析】（2）由圖知點(diǎn)是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，設(shè)，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，因?yàn)?，所以，解得，故【?】（三角函數(shù)與解三角形的綜合）已知.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）中，角的對邊分別為，若，且，的面積，求.【解析】（1）. 由（），解得（）.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）由，即，得. 所以（），解得（）. 因?yàn)椋?由已知的面積，解得. 由余弦定理可得. 所以. 【例6】（三角恒等變換與解三角形的綜合）已知中，分別為角所對的邊，且，則的面積為A B C D【答案】C 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式的變形和應(yīng)用，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形面積的求法.本題主要條件是，這是兩角和的正切公式的變形，由此可得到的弧度數(shù)，再利用余弦定理聯(lián)立，可求得各邊的長度，進(jìn)而求得面積的值.考點(diǎn)二 三角與其他問題的綜合【例7】（解三角形與向量的綜合）已知在中，角的對邊分別為，向量，且（1）求角的大??；（2）若，求的面積【解析】（1）由已知得，由倍角公式和降冪公式得（2）由余弦定理得解得或當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上所述，或備考指南三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導(dǎo)的,說明正弦定理、余這定理與向量有著密切的聯(lián)系，解三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應(yīng)的三角函數(shù)值為向量的坐標(biāo),要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題.【例8】（三角函數(shù)與向量、函數(shù)與方程的綜合）已知向量，設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】.（2）由（1）知，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；，即時，函數(shù)單調(diào)遞減又，當(dāng)或時有且只有一個零點(diǎn)即或，所以滿足條件的備考指南（1）在解決已知三角函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線（或某點(diǎn)）對稱的問題時，常用的解決方法是將橫坐標(biāo)代入原式中，讓其等于正弦函數(shù)的對稱軸（或?qū)ΨQ中心），即（或），再解出參數(shù)即可；（2）在解決已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，或者討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題時，常用分離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為，畫出的圖象，通過對直線進(jìn)行上下平移，從而得到參數(shù)的取值范圍或零點(diǎn)個數(shù)的不同情況.【例9】（三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合）已知函數(shù)對任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是A BC D【答案】A【解析】令，由對任意的滿足可得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，所以，故選A考點(diǎn)三 平面幾何中的解三角形問題【例10】ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.（1）求B的大??；（2）若,且AC邊上的中線長為,求ABC的面積.【解析】（1）由ABC中可得,因?yàn)?所以,即,即,因?yàn)?所以,.（2）由得, ,在ABC中, ,取中點(diǎn),連接.因?yàn)?所以在CBD中,=,所以,把代入,化簡得,解得,或（舍去）,所以.所以ABC的面積.備考指南幾何中的長度、角度的計算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計算，這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，把已知和所求的量盡量放在同一個三角形中.考點(diǎn)四 三角函數(shù)的應(yīng)用問題【例11】（解三角形的應(yīng)用）某觀察站與兩燈塔，的距離分別為米和米，測得燈塔在觀察站北偏西，燈塔在觀察站北偏東，則兩燈塔，間的距離為A米B米C米D米【答案】C 【解析】依題意，作出示意圖（圖略），因?yàn)?，所以由余弦定理可得：，故選C【例12】（三角函數(shù)、解三角形的應(yīng)用）如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中.設(shè)計時要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道，且兩邊是兩個關(guān)于走道對稱的三角形（和）.現(xiàn)考慮綠地最大化原則，要求點(diǎn)與點(diǎn)均不重合，落在邊上且不與端點(diǎn)重合，設(shè).（1）若，求此時公共綠地的面積；（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計時要求的長度最短，求此時綠地公共走道的長度.【解析】（1）由圖得：，又，公共綠地的面積.（2）由圖得：且，在中，由正弦定理可得:，記，又，時，取最大，最短，則此時.備考指南解答三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟1閱讀理解材料:三角函數(shù)應(yīng)用題的語言形式多為文字語言、圖形語言、符號語言并用.閱讀理解時要讀懂題目所反映的實(shí)際問題的背景,領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì),把題目中出現(xiàn)的邊角關(guān)系和三角形聯(lián)系起來,確定以什么樣的三角形(直角三角形、斜三角形)為模型,用哪些定理(勾股定理、正弦定理、余弦定理)或邊角關(guān)系,列出等量或不等量關(guān)系2建立變量關(guān)系:根據(jù)上面的分析,把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)習(xí)題,建立變量關(guān)系,這一步一般是通過解直角三角形或解斜三角形實(shí)現(xiàn)的,要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語言和符號語言并用的思維方法.3討論變量性質(zhì):根據(jù)(2)中建立的變量關(guān)系,結(jié)合題目的要求,與學(xué)過的數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對照,討論變量的有關(guān)性質(zhì),從而得到所求問題的理論值.4作出結(jié)論:根據(jù)(3)中得到的理論值,按題目要求作出相應(yīng)的結(jié)論.能力突破1已知命題：函數(shù)圖象的一條對稱軸是；命題，則下列命題中的真命題為A BC D【答案】B2已知函數(shù)（且）和函數(shù)，若與兩圖象只有3個交點(diǎn)，則的取值范圍是A B C D【答案】D【解析】作出函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)時，與兩圖象只有3個交點(diǎn)，可得，當(dāng)時，與兩圖象只有3個交點(diǎn)，可得，所以的取值范圍是，故選D3存在實(shí)數(shù)，使得圓面恰好覆蓋函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)共三個，則正數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】由題意，知函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低一定在直線上，則由，得又由題意，得，解得正數(shù)的取值范圍為4在ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c，已知，（1）求的值；（2）設(shè)D為AC的中點(diǎn)，若BD的長為，求ABC的面積 【解析】（1）由得，即，故，從而，與都是銳角，則. ，即. (2)由（1），得， 設(shè)，在中，由余弦定理得，解得，則.5已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出的最小正周期；（2）令，若在內(nèi)，方程有且僅有兩解，求的取值范圍.【解析】（1）由圖象可知：，又，.又點(diǎn)在圖象上，又，.，最小正周期.（2），原方程可化為，則.，令，則，作出及的圖象，當(dāng)或時，兩圖象在內(nèi)有且僅有一解，即方程在內(nèi)有且僅有兩解，此時的取值范圍為.高考通關(guān)1（2018新課標(biāo)理）函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)為_【答案】【解析】，由題可知，或，解得,或，故有3個零點(diǎn).2（2017浙江）已知ABC，AB=AC=4，BC=2點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則BDC的面積是_，cosBDC=_【答案】【解析】取BC中點(diǎn)E，由題意：，ABE中，解得或（舍去）綜上可得，BCD的面積為，3（2017江蘇）已知向量（1）若ab，求的值；（2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值【解析】（1）因?yàn)?，ab，所以若，則，與矛盾，故于是又，所以4（2018新課標(biāo)理）在平面四邊形中，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以.由題設(shè)知，所以.（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.5（2018北京理）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（1）求A；（2）求AC邊上的高【解析】（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如圖所示，在ABC中，sinC=，h=，AC邊上的高為你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！