第1講選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí)1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(，)，則2直線的極坐標(biāo)方程若直線過(guò)點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為sin()0sin(0)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過(guò)極點(diǎn)：；(2)直線過(guò)點(diǎn)M(a，0)(a>0)且垂直于極軸：cosa；(3)直線過(guò)M且平行于極軸：sinb3圓的極坐標(biāo)方程幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(r，0)，半徑為r：2rcos；(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：2rsin4直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則t表示有向線段的數(shù)量5圓、橢圓的參數(shù)方程(1)圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))熱點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方程【例1】(2019呼和浩特期中)在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（）求與的直角坐標(biāo)方程；（）若與的交于點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求的面積解（）曲線的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)題意，曲線的普通方程為曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為，即，（）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為，聯(lián)立與:，得，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)到的距離.設(shè)，將代入，得，則，,探究提高進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意，的取值范圍及其影響，靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧【訓(xùn)練1】(2017北京東城區(qū)調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1：cos sin 10，C2：2cos(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一條直線由C2：2cos ，得22cos x2y22x，則(x1)2y21，C2是圓心為(1，0)，半徑r1的圓(2)由(1)知，點(diǎn)(1，0)在直線xy10上，因此直線C1過(guò)圓C2的圓心兩交點(diǎn)A，B的連線段是圓C2的直徑，因此兩交點(diǎn)A，B間的距離|AB|2r2熱點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用【例2】(2019湖北聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），直線（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求曲線與直線l的極坐標(biāo)方程（極徑用表示，極角用表示）；（2）若直線與曲線相交，交點(diǎn)為、，直線與軸也相交，交點(diǎn)為，求的取值范圍.解（1）曲線，即，即，即或，由于曲線過(guò)極點(diǎn)，曲線的極坐標(biāo)方程為直線，即，即，即，直線的極坐標(biāo)方程為；（2）由題得，設(shè)為線段的中點(diǎn)，圓心到直線的距離為，則它在時(shí)是減函數(shù)，的取值范圍探究提高1將參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件2在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問(wèn)題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解【訓(xùn)練2】(2017郴州三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)寫(xiě)出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線l與x軸的交點(diǎn)為P，求|PM|PN|的值解(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得xy10曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，利用平方關(guān)系，得x2(y2)24，則x2y24y0令2x2y2，ysin ，代入得C的極坐標(biāo)方程為4sin (2)在直線xy10中，令y0，得點(diǎn)P(1，0)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t23t10，t1t23，t1t21由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|PN|t1t2|11(2018全國(guó)I卷)在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程2(2018全國(guó)II卷)在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率1(2016全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)2(2017哈爾濱模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin4(1)寫(xiě)出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若射線與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，射線與曲線C交于O，P兩點(diǎn)，求PAB的面積1(2017新鄉(xiāng)三模)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos ，曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2y20(x>0)(1)以曲線M上的點(diǎn)與點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù)，寫(xiě)出曲線M的參數(shù)方程；(2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和2(2019廈門(mén)期末)在同一直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線變?yōu)榍€.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，求參考答案1【解題思路】(1)就根據(jù)，以及，將方程中的相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程；(2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線，通過(guò)分析圖形的特征，得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果.【答案】（1）由可得：，化為（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓，由題設(shè)知，是過(guò)點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)綜上，所求的方程為2【解題思路】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時(shí)要注意分與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系，求得，即得的斜率【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為，則又由得，故，于是直線的斜率1【解題思路】(1)曲線C1利用消參，曲線C2利用化為直角坐標(biāo)方程(2)利用點(diǎn)到直線距離公式，曲線C1直接用參數(shù)方程，用三角函數(shù)求其最值【答案】解(1)C1的普通方程為y21，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ，sin )因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值又d()，當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí)，d()取得最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為2【解題思路】(1)曲線C1利用消參，曲線C2利用化為直角坐標(biāo)方程(2)分別聯(lián)立求出A，B，P的坐標(biāo)【答案】解(1)由(為參數(shù))，消去普通方程為(x2)2y24從而曲線C的極坐標(biāo)方程為24cos 0，即4cos ，因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin4，即sin cos 4，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy80(2)依題意，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，聯(lián)立射線與曲線C的極坐標(biāo)方程，得P點(diǎn)極坐標(biāo)為，|AB|2，SPAB22sin21【解題思路】 (1)；(2)聯(lián)立曲線M的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理【答案】解(1)由得故曲線M的參數(shù)方程為(2)由4cos ，得24cos ，x2y24x將代入x2y24x整理得k24k30，k1k24故直線OA與直線OB的斜率之和為42【解題思路】(1)將代入得，即可得到曲線的方程；由，代入即可得到直線的直角坐標(biāo)方程；（2）由題意，得過(guò)點(diǎn)的垂線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，即可求解.【答案】(1)將代入得，曲線的方程為，由得，因?yàn)椋肷鲜降弥本€l的直角坐標(biāo)方程為；（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以其垂線的傾斜角為，過(guò)點(diǎn)的垂線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）代入曲線的方程整理得，設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為（由題意知，）則，且，所以.