1變化的快慢與變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率的概念.2.會(huì)求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度并估計(jì)瞬時(shí)速度知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率1定義：對(duì)一般的函數(shù)yf(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為.其中自變量的變化x2x1稱作自變量的改變量，記作x，函數(shù)值的變化f(x2)f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作y.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即.2作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢知識(shí)點(diǎn)二瞬時(shí)變化率1定義：對(duì)于一般的函數(shù)yf(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)xx1x0，yf(x1)f(x0)，則函數(shù)的平均變化率是.而當(dāng)x趨于0時(shí)，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率2作用：刻畫函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)x從x1變?yōu)閤2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，若記xx2x1，yf(x2)f(x1)，則1x可正，可負(fù)，可為零()2函數(shù)yf(x)的平均變化率為.()3函數(shù)yf(x)的平均變化率為.()4當(dāng)x趨于0時(shí)，就趨于函數(shù)在x1處的瞬時(shí)變化率()題型一函數(shù)的平均變化率例1求函數(shù)yf(x)x2在x分別從1到1x,2到2x,3到3x的平均變化率，當(dāng)x都為時(shí)，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率解在x1附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x.當(dāng)x時(shí)，k12，k24，k36.由于k1<k2<k3，所以在x3附近的平均變化率最大反思感悟求平均變化率的主要步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1.(3)得平均變化率.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)x22x5的圖像上的一點(diǎn)A(1，6)及鄰近一點(diǎn)B(1x，6y)，則_.答案x解析x.(2)求函數(shù)yf(x)x3在x0到x0x之間的平均變化率，并計(jì)算當(dāng)x01，x時(shí)平均變化率的值解yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，函數(shù)yf(x)x3在x0到x0x之間的平均變化率為3x3x0x(x)2.當(dāng)x01，x時(shí)，平均變化率的值為312312.題型二求函數(shù)的瞬時(shí)變化率例2以初速度v0(v0>0)豎直上拋的物體，t秒時(shí)的高度s與t的函數(shù)關(guān)系為sv0tgt2，求物體在t0時(shí)刻處的瞬時(shí)速度考點(diǎn)瞬時(shí)變化率的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度解因?yàn)閟v0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，所以v0gt0gt.當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于v0gt0，故物體在t0時(shí)刻處的瞬時(shí)速度為v0gt0.反思感悟1.求瞬時(shí)速度的步驟(1)求位移改變量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度v.(3)當(dāng)t趨于0時(shí)，平均速度趨于瞬時(shí)速度2求當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，的值(1)在表達(dá)式中，可把x作為一個(gè)數(shù)來參加運(yùn)算(2)求出的表達(dá)式后，x無限趨近于0，就是令x0，求出結(jié)果即可跟蹤訓(xùn)練2一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值考點(diǎn)瞬時(shí)變化率的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度解質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)s(t)在t2處的瞬時(shí)變化率質(zhì)點(diǎn)M在t2附近的平均變化率4aat，當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于4a，4a8，得a2.1已知函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量由x0變化到x1時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)的自變量的增量之比是函數(shù)()A在x0處的變化率B在區(qū)間x0，x1上的平均變化率C在x1處的變化率D以上結(jié)論都不對(duì)考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率概念的理解答案B解析，由平均變化率的定義可知，故選B.2一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)32t，則在2,2.1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()A0.4B2C0.3D0.2考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均速度答案B解析2.3物體運(yùn)動(dòng)時(shí)位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是s(t)4t216t，此物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為零，則相應(yīng)的時(shí)刻為()At1Bt2Ct3Dt4考點(diǎn)瞬時(shí)變化率的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案B解析設(shè)此物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0，8t0164t，當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于8t016，令8t0160，解得t02.4球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為_考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案解析y2313，球的體積平均膨脹率為.5設(shè)函數(shù)f(x)3x22在x01,2,3附近x取時(shí)的平均變化率分別為k1，k2，k3，比較k1，k2，k3的大小考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率解函數(shù)在x0，x0x上的平均變化率為6x03x.當(dāng)x01，x時(shí)，函數(shù)在1,1.5上的平均變化率為k16130.57.5；當(dāng)x02，x時(shí)，函數(shù)在2,2.5上的平均變化率為k26230.513.5；當(dāng)x03，x時(shí)，函數(shù)在3,3.5上的平均變化率為k36330.519.5，所以k1<k2<k3.1平均變化率反映函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢；瞬時(shí)變化率反映函數(shù)在某點(diǎn)處變化的快慢2可以使用逼近的思想理解瞬時(shí)變化率，同時(shí)結(jié)合變化率的實(shí)際意義一、選擇題1函數(shù)f(x)在1到4的平均變化率為()A.B.C1D3考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析y1，x413，則平均變化率為.2已知函數(shù)f(x)2x24的圖像上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1x，2y)，則等于( )A4B4xC42xD42(x)2答案C解析42x.3一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s53t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1，1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A3B3C6D6考點(diǎn)瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案D解析由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，當(dāng)t趨于0時(shí)，3t6趨于6，故該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為6.4.如圖，函數(shù)yf(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是()A1B1C2D2考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案B解析依題意可知yyByA132，xxBxA312，所以函數(shù)yf(x)在xA到xB之間的平均變化率為1.5一木塊沿一光滑斜面自由下滑，測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)t2，當(dāng)t2時(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為()A2B1C.D.答案C解析s(2t)22244t(t)24(t)24t，t.當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于.6函數(shù)f(x)x2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是()Ak1<k2Bk1>k2Ck1k2D無法確定考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率概念的理解答案D解析k12x0x，k22x0x，而x可正可負(fù)，故k1，k2大小關(guān)系不確定7如果函數(shù)yf(x)axb在區(qū)間1,2上的平均變化率為3，則()Aa3Ba3Ca2Da的值不能確定考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案B解析a3.8一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是s2t2at1，該物體在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為3，則a等于()A1B0C1D7考點(diǎn)瞬時(shí)變化率的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度答案A解析a42t，當(dāng)t趨于0時(shí)，a42t趨于a4，由題意知a43，得a1.二、填空題9汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為_考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案1<2<3解析1kOA，2kAB，3kBC，由圖像知，kOA<kAB<kBC，所以1<2<3.10函數(shù)f(x)2在x1處的瞬時(shí)變化率為_考點(diǎn)瞬時(shí)變化率的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速率答案2解析y2(2)1，當(dāng)x趨于0時(shí)，趨于2.11若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s7t28，則其在t_時(shí)的瞬時(shí)速度為1.答案解析7t14t，t趨于0時(shí)，趨于14t，即14t1，t.12函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率為2，則t_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案5解析函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率是2，即t2t62t4，t23t100，解得t5或t2(舍去)所以當(dāng)函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率是2時(shí)，t的值是5.三、解答題13若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：(位移單位：m，時(shí)間單位：s)s求：(1)物體在t3,5內(nèi)的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t1時(shí)的瞬時(shí)速度考點(diǎn)變化率的概念題點(diǎn)瞬時(shí)速度解(1)物體在t3,5內(nèi)的時(shí)間變化量為t532，物體在t3,5內(nèi)的位移變化量為s3522(3322)3(5232)48，物體在t3,5內(nèi)的平均速度為24m/s.(2)求物體的初速度v0即求物體在t0時(shí)的瞬時(shí)速度物體在t0附近的平均變化率為3t18，當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于18，物體在t0處的瞬時(shí)變化率為18，即物體的初速度為18m/s.(3)物體在t1時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t1處的瞬時(shí)變化率物體在t1附近的平均變化率為3t12.當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于12，物體在t1處的瞬時(shí)變化率為12.即物體在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為12m/s.14若函數(shù)f(x)x2x在2,2x(x>0)上的平均變化率不大于1，求x的取值范圍考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解函數(shù)f(x)在2,2x上的平均變化率為3x，由3x1，得x2.又x>0，x的取值范圍是(0，)15物體的運(yùn)動(dòng)方程是s(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求物體在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度解s，當(dāng)t趨于0時(shí)，趨于.物體在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度為m/s.