1.1.1正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題知識點一正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等即：2R.(R為ABC外接圓的半徑)知識點二正弦定理的變形公式(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.(2)sinA，sinB，sinC(其中R是ABC外接圓的半徑)知識點三解三角形一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形1正弦定理對任意的三角形都成立()2在ABC中，等式bsinCcsinB總能成立()3在ABC中，已知a，b，A，則能求出唯一的角B.()4任意給出三角形的三個元素，都能求出其余元素()題型一已知兩角及一邊解三角形例1在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形解根據(jù)正弦定理，得b10.又C180(3060)90.c20.反思感悟(1)正弦定理實際上是三個等式：，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個(2)因為三角形的內(nèi)角和為180，所以已知兩角一定可以求出第三個角跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B45，C60，c1，則ABC最短邊的邊長等于()A.B.C.D.答案A解析由三角形內(nèi)角和定理，得A180(BC)75，所以B是最小角，b為最短邊由正弦定理，得，即，則b，故選A.題型二已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解三角形解，sinC，c>a，C(0，180)，C60或C120.當(dāng)C60時，B75，b1；當(dāng)C120時，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.引申探究若把本例中的條件“A45”改為“C45”，則角A有幾個值？解，sin A.c>2a，C>A.A為小于45的銳角，且正弦值為，這樣的角A只有一個反思感悟這一類型題目的解題步驟為用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；根據(jù)正弦定理求出第三條邊其中進(jìn)行時要注意討論該角是否可能有兩個值跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，若a，b2，A30，則C.答案105或15解析由正弦定理，得sinB.B(0，180)，B45或135，C1804530105或C1801353015.題型三正弦定理的證明例3ABC的外接圓O的半徑為R，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，證明：2R.證明若A為直角(如圖1所示)，在RtBAC中，可直接得a2RsinA；在銳角ABC中，如圖2，連接BO并延長，交外接圓于點A，連接AC，則圓周角AA.AB為直徑，長度為2R，ACB90，sinA，sinA，a2RsinA.若A為鈍角(如圖3所示)，作直徑BA，連接AC，則AA，在RtBCA中，BCABsinA2Rsin(A)2RsinA，即a2RsinA.由得a2RsinA，即2R，同理可證，2R，2R.所以2R.反思感悟引入三角形的外接圓半徑，可以加深理解正弦定理的幾何意義，更加方便實現(xiàn)三角形中的邊角互化三角形形狀的判斷典例在ABC中，已知，且sin2Asin2Bsin2C.求證：ABC為等腰直角三角形證明，又，a2b2即ab，設(shè)k(k0)，則sin A，sin B，sin C，又sin2Asin2Bsin2C，即a2b2c2，ABC為等腰直角三角形素養(yǎng)評析(1)正弦定理是以比例的形式給出來的，所以在應(yīng)用時要注意結(jié)合比例的基本性質(zhì)(2)正弦定理可以實現(xiàn)邊角互化(3)判斷和證明要掌握推理的基本形式和規(guī)則，形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)，突出體現(xiàn)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1.在ABC中，一定成立的等式是()AasinAbsinBBacosAbcosBCasinBbsinADacosBbcosA答案C解析由正弦定理，得asinBbsinA，故選C.2在ABC中，若sinAsinC，則ABC是()A直角三角形B等腰三角形C銳角三角形D鈍角三角形答案B解析由sinAsinC及正弦定理，知ac，ABC為等腰三角形3在ABC中，已知a8，B60，C75，則b等于()A4B4C4D4答案C解析易知A45，由得b4.4在ABC中，若a，b，B，則A.答案或解析由正弦定理，得sinA，又A(0，)，a>b，A>B，A或.5在ABC中，已知a，sinC2sinA，則c.答案2解析由正弦定理，得c2a2.1.正弦定理的表示形式：2R，或a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(其中R為ABC外接圓的半徑)2.正弦定理的應(yīng)用范圍(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其余兩角3.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對的角，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角(3)如果已知的角為小邊所對的角，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求得兩個角，要分類討論.一、選擇題1在ABC中，a5，b3，則sinAsinB的值是()A.B.C.D.答案A解析根據(jù)正弦定理，得.2在ABC中，若A105，B45，b2，則c等于()A1B2C.D.答案B解析A105，B45，C30.由正弦定理，得c2.3在ABC中，absinA，則ABC一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形答案B解析由題意可知b，則sinB1，又B(0，)，故B為直角，ABC是直角三角形4在ABC中，若，則C的值為()A30B45C60D90答案B解析由正弦定理知，cosCsinC，tanC1，又C(0，180)，C45.5在ABC中，若sinA>sinB，則A與B的大小關(guān)系為()AA>BBA<BCABDA，B的大小關(guān)系不確定答案A解析設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinA>sinB，2RsinA>2RsinB(R為ABC外接圓的半徑)，即a>b，故A>B.6在ABC中，已知A，a，b1，則c的值為()A1B2C.1D.答案B解析由正弦定理，可得，sinB，由a>b，得A>B，B，B.故C，由勾股定理得c2.7在ABC中，a15，b10，A60，則cosB等于()AB.CD.答案D解析由正弦定理，得，sinB.a>b，A>B，又A60，B為銳角cosB.8(2018北京高二檢測)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cosC等于()A.B.C.D.答案A解析因為在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，所以8sin B5sin C5sin 2B10sin Bcos B，所以cos B，又B為三角形內(nèi)角，所以sin B.所以sinCsin2B2.又cosBcos45，所以B<45，C2B<90，cosC.二、填空題9在ABC中，已知a2，A60，則ABC的外接圓的直徑為答案解析ABC外接圓直徑2R.10在ABC中，若0，則ABC的形狀一定是三角形答案等腰解析由正弦定理，得0，a2b2，ab.ABC為等腰三角形11在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足B60，c2的三角形有兩解，則b的取值范圍為答案(，2)解析在ABC中，B60，c2，由正弦定理可得，得c.若此三角形有兩解，則必須滿足的條件為c>b>csinB，即2>b>，故答案為(，2)三、解答題12已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c10，A45，C30，求a，b和B.解，a10.B180(AC)180(4530)105.又，b20sin 75205()13在ABC中，acosbcos，試判斷ABC的形狀解方法一acosbcos，asinAbsinB.由正弦定理，可得ab，a2b2，ab，ABC為等腰三角形方法二acosbcos，asinAbsinB.由正弦定理，可得2Rsin2A2Rsin2B，又A，B(0，)，sinAsinB，AB(AB不合題意，舍去)故ABC為等腰三角形14ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA，cosC，a1，則b.答案解析在ABC中，由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，又a1，由正弦定理得b.15在ABC中，若b5，B，tanA2，則sinA，a.答案2解析由tanA2，得sinA2cosA，由sin2Acos2A1及0<A<，得sinA，b5，B，由正弦定理，得a2.