專題01 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式知識(shí)必備一、任意角的三角函數(shù) 1定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是角的終邊上任意一點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是 注意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是. 2三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸于由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，其中單位圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，單位圓在點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則我們把有向線段分別叫做的余弦線、正弦線、正切線各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限圖形4特殊角的三角函數(shù)值0 0100100101不存在0不存在0補(bǔ)充：二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1平方關(guān)系2商的關(guān)系3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形（1）平方關(guān)系的變形：；（2）商的關(guān)系的變形：；（3）三、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2k+（kZ）+正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限核心考點(diǎn)考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義【例1】已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則等于ABCD【答案】A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故選A.備考指南1利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)2利用三角函數(shù)線解三角不等式的步驟：確定區(qū)域的邊界；確定區(qū)域；寫出解集3已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)4三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷已知一角的三角函數(shù)值(，)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.考點(diǎn)二 象限角的判斷【例2】“”是“角是第一象限角”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B 備考指南1已知所在的象限，求或n（nN*）所在的象限的方法是：將的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對(duì)k進(jìn)行討論，得到或n（nN*）所在的象限2象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k360（0<360，kZ）的形式，即找出與此角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限來(lái)判斷此角是第幾象限角3由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號(hào)，需確定各三角函數(shù)的符號(hào)，然后依據(jù)“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”求解.考點(diǎn)三 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用【例3】設(shè).若，則A BC D【答案】A 【解析】因?yàn)椋?，所?所以.故選A備考指南1利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化2的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解.考點(diǎn)四 誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用【例4】點(diǎn)位于 A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】C 備考指南1應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，都可以通過(guò)誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問(wèn)題，具體步驟為“負(fù)角化正角”“正角化銳角”求值2使用誘導(dǎo)公式時(shí)一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似的形式時(shí)，需要對(duì)k的取值進(jìn)行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負(fù)3利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的思路：（1）分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；（2）利用公式化成單角三角函數(shù)；（3）整理得最簡(jiǎn)形式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的要求：（1）化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值4巧用相關(guān)角的關(guān)系能簡(jiǎn)化解題的過(guò)程常見(jiàn)的互余關(guān)系有與，與，與等；常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有與，與等.考點(diǎn)五 三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用【例5】已知角的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊均為軸的正半軸，若的終邊分別與單位圓相交于兩點(diǎn)，且.（1）求的值，并確定點(diǎn)所在的象限；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值.【解析】（1）.因?yàn)椋缘慕K邊在第二或第四象限，所以點(diǎn)在第二或第四象限.（2）由知，則 .備考指南熟練掌握正切的差角公式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，正確使用公式是解題的關(guān)鍵.能力突破1已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)（5，12），則=A BC D【答案】B【解析】由題知，=13，根據(jù)三角函數(shù)定義知，=， = =，故選B【名師點(diǎn)睛】高考中常將三角函數(shù)定義與三角函數(shù)公式相結(jié)合進(jìn)行考查，是基礎(chǔ)題.2已知，則ABCD【答案】A 【解析】方法一：因?yàn)?，所以，所以，故選A方法二：由，得，所以.【名師點(diǎn)睛】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式也常與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、恒等變換結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查.3角為的一個(gè)內(nèi)角，若，則這個(gè)三角形為 A銳角三角形 B鈍角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形【答案】B【名師點(diǎn)睛】判斷三角形的形狀有兩種方法：一是根據(jù)角來(lái)判斷，分為銳角、直角、鈍角三角形；二是根據(jù)邊來(lái)判斷，分為不等邊、等腰、等邊三角形注意這兩種分類方法有重合的部分，如等腰直角三角形4已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，由于，所以，所?（2）原式.【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)求值問(wèn)題，必須熟練記憶和掌握三角函數(shù)公式：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換.高考通關(guān)1（2018北京）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段弧（如圖），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 A BCD 【答案】C【解析】由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：點(diǎn)在上且在第三象限，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，故選C.【名師點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較.2已知，則的值為A BC D【答案】A 【解析】，原式，故選A3（2017北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin=，則sin=_【答案】 【解析】因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以.【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則 ，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.4（2017新課標(biāo)）已知，tan =2，則=_【答案】【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型（1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)（2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的（3）給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角5（2018新課標(biāo)）已知，則_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?（2018浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角滿足sin（+）=，求cos的值【解析】（1）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，所以.（2）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，由得.由得，所以或.你都掌握了嗎？ 有哪些問(wèn)題？整理一下！