第1講　基礎(chǔ)小題部分 一、選擇題 1．(2018高考浙江卷)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (　　) A．(－，0)，(，0)　　　 B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2) 解析：由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)閏2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．故選B. 答案：B 2．(2018高考全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為 (　　) A. B. C. D. 解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.故選C. 答案：C 3．(2018高考全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為 (　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為bxay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)． ∴漸近線方程為axay＝0，即y＝x.故選A. 答案：A 4．(2018忻州一模)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為 (　　) A．x＋2y－5＝0 B．x－2y－5＝0 C．x－2y＋5＝0 D．x＋2y＋5＝0 解析：因?yàn)橐栽c(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)P(1,2)， 所以圓的方程為x2＋y2＝5. 因?yàn)閗OP＝2，所以切線的斜率k＝－. 由點(diǎn)斜式可得切線方程為y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0.故選A. 答案：A 5．(2018漯河二模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長為4，虛軸的一個端點(diǎn)與拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)重合，直線y＝kx－1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則p等于 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：由拋物線x2＝2py(p>0)可知其焦點(diǎn)為(0，)，所以b＝，又a＝2，因此雙曲線的方程為－＝1，漸近線方程為y＝x.直線y＝kx－1與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設(shè)k＝，由可得x2＝2p(x－1)＝x－2p，即x2－x＋2p＝0，則Δ＝(－)2－8p＝0，解得p＝4.故選A. 答案：A 6．(2018高考全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為 (　　) A. B．2 C. D．2 解析：由題意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝b，漸近線方程為xy＝0，點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為＝2，故選D. 答案：D 7．設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0，若|y0|<2，則雙曲線C的離心率的取值范圍是 (　　) A．(1，) B．(1，) C．(，＋∞) D．(，＋∞) 解析：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝x，所以|y0|＝<2，所以e＝ <，又e>1，所以1<e<.故選B. 答案：B 8. (2018通化一模)如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A、B，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為 (　　) A．4 B. C. D. 解析：由雙曲線的定義知，|BF1|－|BF2|＝2a. 又因|AB|＝|BF2|，所以|AF1|＝2a， 又由定義可得，|AF2|＝4a. 在三角形AF1F2中，因?yàn)閨F1F2|＝2c，∠F1AF2＝120， 所以由余弦定理得，(2c)2＝(2a)2＋(4a)2－22a4acos 120，解得c2＝7a2，所以e＝＝.故選B. 答案：B 9．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A，C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D，則由題意，知F(1,0)，D(－1,0)，分別作AA1，BB1垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為A1，B1，則有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故選C. 答案：C 10．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝a與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時(shí)，△FMN的面積是 (　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由橢圓的定義知△FMN的周長為L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因?yàn)閨ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，當(dāng)直線MN過點(diǎn)E時(shí)取等號，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直線x＝a過橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)，△FMN的周長最大，此時(shí)S△FMN＝|MN||EF|＝2＝，故選C. 答案：C 11．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線C于點(diǎn)Q.若＝0，則p＝(　　) A. B. C. D. 解析：聯(lián)立拋物線x2＝2py與直線y＝2x＋2的方程，消去y得x2－4px－4p＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則Δ＝16p2＋16p>0，x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p,2p)． 因?yàn)椋?，所以(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝0，即(x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)(2x2＋2－2p)＝0，所以5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p2－8p＋4＝0，將x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p代入，得4p2＋3p－1＝0，得p＝或p＝－1(舍去)．故選B. 答案：B 12．已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1(x≠0，y≠0)上的動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)，且＝0，則||的取值范圍是 (　　) A．(0,3) B．(0,2) C．[2，3) D．(0,4] 解析：延長F1M交PF2或其延長線于點(diǎn)G(圖略)， 因?yàn)椋?. 所以⊥，又MP為∠F1PF2的平分線， 所以|PF1|＝|PG|，且M為F1G的中點(diǎn)． 因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥F2G， 且|OM|＝|F2G|. 因?yàn)閨F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF2|－|PF1||. 所以|OM|＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||， 因?yàn)?－2<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2， 所以||∈(0,2)，故選B. 答案：B 二、填空題 13．(2018高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若＝0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________． 解析：因?yàn)椋?，所以AB⊥CD，又點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，所以∠BAD＝45.設(shè)直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則tan θ＝2，k＝tan(θ＋)＝－3.又B(5,0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得解得所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3. 答案：3 14．雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)、F2(1,0)，拋物線y2＝4x與雙曲線C的一個交點(diǎn)為P，若(＋)(－)＝0，則C的離心率為______． 解析：由題意知|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2?|PF2|＝|F1F2|＝2，設(shè)P(xP，)，又|PF2|＝xP＋1，所以xP＝1，所以PF2與F1F2垂直．由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋2c，由勾股定理得(2a＋2c)2＝(2c)2＋(2c)2，解得e＝1＋或e＝1－(舍去)． 答案：1＋ 15．(2018高考全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90，則k＝________. 解析：法一：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝. 設(shè)AB中點(diǎn)M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M(jìn)′(x0，y0)為AB中點(diǎn)， ∴M為A′B′的中點(diǎn)，∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 法二：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝. 由M(－1,1)，得A＝(－1－x1,1－y1)，B＝(－1－x2，1－y2)． 由∠AMB＝90，得AB＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又y1y2＝k(x1－1)k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]， y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2. 答案：2