專題突破二數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)一、數(shù)列的單調(diào)性(1)定義：若數(shù)列an滿足：對一切正整數(shù)n，都有an1an(或an1an)，則稱數(shù)列an為遞增數(shù)列(或遞減數(shù)列)(2)判斷單調(diào)性的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性利用定義判斷：作差比較法，即作差比較an1與an的大小；作商比較法，即作商比較an1與an的大小，從而判斷出數(shù)列an的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)(x1)，構(gòu)造數(shù)列anf(n)(nN)試判斷數(shù)列的單調(diào)性解f(x)2.方法一an2(nN)，an12，an1an0.an1an.數(shù)列an是遞減數(shù)列方法二設(shè)x1x21，則f(x1)f(x2)，x1x21，x110，x210，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上為減函數(shù)，anf(n)為遞減數(shù)列反思感悟研究數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)，首選作差，其次可以考慮借助函數(shù)單調(diào)性之所以首選作差，是因?yàn)檠芯繑?shù)列的單調(diào)性和研究函數(shù)單調(diào)性不一樣，函數(shù)單調(diào)性要設(shè)任意x1<x2，而數(shù)列只需研究相鄰兩項(xiàng)an1，an，證明難度是不一樣的另需注意，函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)，則數(shù)列anf(n)一定單調(diào)，反之不成立跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32n-223n-1，nN.求證：an為遞增數(shù)列證明an1an32n-123n(32n-223n-1)3(2n-22n-1)2(3n3n-1)32n-243n-12n-2，n1，nN，n-21-2，12n-283，12n-230，又2n-20，an1an0，即an1an，nN.an是遞增數(shù)列二、求數(shù)列中的最大(或最小)項(xiàng)問題常見方法：(1)構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最值(2)利用(n2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)an；利用(n2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)an.當(dāng)解不唯一時，比較各解大小即可確定例2在數(shù)列an中，an，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別是_答案45,44解析an1，設(shè)f(x)1，則f(x)在區(qū)間(，)與(，)上都是減函數(shù)因?yàn)?4<<45，故數(shù)列an在0<n44，nN時遞減，在n45時遞減，借助f(x)1的圖象知數(shù)列an的最大值為a45，最小值為a44.反思感悟本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，此類題一般借助相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性來研究數(shù)列的單調(diào)性，然后再判斷數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(nN)，則an的最大項(xiàng)是()Aa3Ba4Ca5Da6答案C解析f(x)在，上都是增函數(shù)且1n5時，an>0，n6時，an<0.an的最大值為a5.例3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann25n4，nN.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時，an有最小值？并求出其最小值解(1)由n25n40，解得1n4.nN，n2,3.數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)(2)ann25n42，且nN，當(dāng)n2或n3時，an有最小值，其最小值為225242.反思感悟有時也可借助函數(shù)最值來求數(shù)列最值但應(yīng)注意函數(shù)最值點(diǎn)不是正整數(shù)的情形跟蹤訓(xùn)練3已知(1)na1對任意nN恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析設(shè)f(n)1，n1，則f(n)單調(diào)遞增當(dāng)n為奇數(shù)時，有a1又f(n)minf(1)1.a即a.當(dāng)n為偶數(shù)時，a1.f(n)minf(2)1.a.綜上，a.例4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為annn+1，nN，則該數(shù)列是否有最大項(xiàng)，若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若無，請說明理由解an1an(n1)n+2nn+1n+1，且nN，當(dāng)n>3，nN時，an1an<0；當(dāng)1n3，nN時，an1an>0.綜上，可知an在n1,2,3時，單調(diào)遞增；在n4,5,6,7，時，單調(diào)遞減所以存在最大項(xiàng)又a333+1<a444+1，所以第4項(xiàng)為最大項(xiàng)反思感悟如果本例用函數(shù)單調(diào)性來解決，就會變得很麻煩跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn，nN，求bn的最大值解bn1bn，且nN，當(dāng)n1,2,3,4,5時，bn1bn0，即b1b2b3b4b5.當(dāng)n6,7,8，時，bn1bn0，即b6b7b8，又b5b6.bn的最大值為b6.三、利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍常利用以下等價關(guān)系：數(shù)列an遞增an1an恒成立；數(shù)列an遞減an1an恒成立，通過分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值來解決例5已知數(shù)列an中，ann2n，nN.(1)若an是遞增數(shù)列，求的取值范圍(2)若an的第7項(xiàng)是最小項(xiàng)，求的取值范圍解(1)由an是遞增數(shù)列an<an1n2n<(n1)2(n1) >(2n1)，nN>3.的取值范圍是(3，)(2)依題意有即解得1513，即的取值范圍是15，13反思感悟注意只有對二次函數(shù)這樣的單峰函數(shù)，這個解法才成立，對于如圖的多峰函數(shù)滿足不一定a7最小跟蹤訓(xùn)練5數(shù)列an中，an2n1k2n1，nN，若an是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解an12(n1)1k2n112n1k2n，an1an2k2n1.an是遞減數(shù)列，對任意nN，有2k2n10，即k恒成立，kmax2，k的取值范圍為(2，)1設(shè)an2n229n3，nN，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是()A103B.C.D108答案D解析an2223，nN，當(dāng)n7時，an取得最大值，最大值為a72722973108.故選D.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann-1n-1(nN)，則數(shù)列an()A有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)B有最小項(xiàng)，沒有最大項(xiàng)C既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)D既沒有最大項(xiàng)也沒有最小項(xiàng)答案C解析ann-1n-12n-1，令n-1t，則t是區(qū)間(0,1內(nèi)的值，而ant2t2，所以當(dāng)n1，即t1時，an取最大值使n-1最接近的n的值為數(shù)列an中的最小項(xiàng)，所以該數(shù)列既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)3設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大()A10B11C10或11D12答案C解析ann210n11是關(guān)于n的二次函數(shù)，數(shù)列an是拋物線f(x)x210x11上的一些離散的點(diǎn)，an前10項(xiàng)都是正數(shù)，第11項(xiàng)是0，數(shù)列an前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最大故選C.4數(shù)列an中，a12，an2an1(nN，2n10)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)的值為_答案1024解析a12，an2an1，an0，21，anan1，即an單調(diào)遞增，an的最大項(xiàng)為a102a922a829a12922101024.5已知數(shù)列an中，an1.若a6為最大項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(11，9)解析根據(jù)題意知，y1的圖象如下：由a6為最大項(xiàng)，知56.11m9.一、選擇題1已知數(shù)列an滿足a1>0，2an1an，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D以上都不對答案B解析a1>0，an1an，an>0，<1，an1<an，數(shù)列an是遞減數(shù)列2在數(shù)列an中，ann，則an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D以上都不是答案A解析an1an(n1)n1>0，數(shù)列an是遞增數(shù)列3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann29n100，則其最小項(xiàng)是()A第4項(xiàng)B第5項(xiàng)C第6項(xiàng)D第4項(xiàng)或第5項(xiàng)答案D解析f(x)x29x100的對稱軸為x，且開口向上ann29n100的最小項(xiàng)是第4項(xiàng)或第5項(xiàng)4在遞減數(shù)列an中，ankn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()ARB(0，)C(，0) D(，0答案C解析an是遞減數(shù)列，an1ank(n1)knk<0.5函數(shù)f(x)滿足f(n1)f(n)3(nN)，anf(n)，則an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D不能確定答案A解析an1anf(n1)f(n)3>0.6已知p>0，nN，則數(shù)列l(wèi)og0.5pn是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C增減性與p的取值有關(guān)D常數(shù)列答案C解析令anlog0.5pn.當(dāng)p>1時，pn+1>pn，log0.5pn+1<log0.5pn，即an1<an；當(dāng)0<p1時，pn+1pn，log0.5pn+1log0.5pn，即an1an.故選C.7已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nN)，則該數(shù)列的最大項(xiàng)為()A第2項(xiàng)B第3項(xiàng)C第2項(xiàng)或第3項(xiàng)D不存在答案C解析易知，an.函數(shù)yx(x>0)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增，故數(shù)列an(nN)在區(qū)間(0，)上遞增，在區(qū)間(，)上遞減又2<<3，且a2a3，所以最大項(xiàng)為第2項(xiàng)或第3項(xiàng)8已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式ann，若對任意的nN，都有ana3，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A6,12B(6,12) C5,12D(5,12)答案A解析n3對任意的nN恒成立，則k3n，3n，當(dāng)n4時，k3n，所以k12，當(dāng)n1時，k3，當(dāng)n2時，k6，以上三個要都成立，故取交集得6k12.二、填空題9已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n228n，則數(shù)列an的各項(xiàng)中的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)答案5解析易知，an3n228n32，故當(dāng)n取附近的正整數(shù)時，an最小又4<<5，且a464，a565，故數(shù)列an的各項(xiàng)中的最小項(xiàng)是第5項(xiàng)10若數(shù)列an為遞減數(shù)列，則an的通項(xiàng)公式可能為_(填序號)an2n1；ann23n1；an；an(1)n.答案解析可以通過畫函數(shù)的圖象一一判斷，有增有減，是擺動數(shù)列11設(shè)函數(shù)f(x)數(shù)列an滿足anf(n)，nN，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(2,3)解析由題意，得點(diǎn)(n，an)分布在分段函數(shù)f(x)的圖象上因此當(dāng)3a>0時，a1<a2<a3<<a7；當(dāng)a>1時，a8<a9<a10<；為使數(shù)列an遞增還需a7<a8.故實(shí)數(shù)a滿足條件解得2<a<3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)三、解答題12已知數(shù)列an中，ann2kn(nN)，且an遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解因?yàn)閍n1(n1)2k(n1)，ann2kn，所以an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k.由于數(shù)列an遞增，故應(yīng)有an1an>0，即2n1k>0，nN恒成立，分離變量得k<2n1，故需k<3即可，所以k的取值范圍為(，3)13已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(1)判斷an的單調(diào)性；(2)求an的最小項(xiàng)解(1)an1an(n1)1，且nN，當(dāng)1n2時，an1an0，當(dāng)n3時，an1an0，即n1，n2時，an遞減，n3時，an遞增(2)由(1)知an的最小項(xiàng)從a2，a3中產(chǎn)生由a2a3，an的最小項(xiàng)為a3.14已知數(shù)列an，則數(shù)列an中的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)答案5解析an，令3n16<0，得n<.又f(n)an在上單調(diào)遞減，且nN，所以當(dāng)n5時，an取最小值15作出數(shù)列an：ann210n11的圖象，判斷數(shù)列的增減性，若有最值，求出最值解列表n1234567891011an202732353635322720110圖象如圖所示由數(shù)列的圖象知，當(dāng)1n5時數(shù)列遞增；當(dāng)n>5時數(shù)列遞減，最大值為a536，無最小值