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安徽省馬鞍山市2017—2018學年度第一學期學業(yè)水平測試 高二數學必修②試題 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 已知直線經過點，，則該直線的斜率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根據斜率公式，，選D. 2. 在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在空間直角坐標系中，兩點關于平面對稱，豎坐標互為相反數，點的坐標是點關于平面對稱的點的坐標是，選A. 3. 直線的斜率為，在y軸上的截距為b，則有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把直線方程化為斜截式：，可知斜率，截距，選A. 4. 已知直線與平面，則下列結論成立的是 A. 若直線垂直于內的兩條直線，則 B. 若直線垂直于內的無數條直線，則 C. 若直線平行于內的一條直線，則 D. 若直線與平面無公共點，則 【答案】D 【解析】根據直線與平面垂直的判定定理，當一條直線與平面內的兩條相交直線垂直時，直線與平面垂直，所以A、B錯誤；根據直線與平面平行的判定定理，平面外的一條直線與平面內的一條直線平行時，直線與平面平行，因此C錯誤，直線與平面無公共點，符合直線與平面平行的定義，直線與平面平行，選D. 5. 已知直線和互相平行，則間的距離是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直線和互相平行，有，則間的距離是，選C. 6. 如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點，則下列敘述正確的是 A. 與是異面直線 B. 與是共面直線 C. 與是異面直線 D. 與是共面直線 【答案】C 【解析】由于與均在平面內，不是異面直線；平面， 平面，點不在直線上，所以和是異面直線，平面， 平面，點不在直線上，則與是異面直線，選C. 【點睛】判斷兩條直線是否為異面直線，第一兩條直線平行或相交，則兩條直線共面，第二若一條直線與一個平面相交于一點，那么這條直線與這個平面內不經過該點的直線是異面直線，這是判斷兩條直線是異面直線的方法，要根據題目所提供的線線、線面關系準確的做出判斷. 7. 已知直線和圓，則直線和圓的位置關系是 A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 都有可能 【答案】A 【解析】把圓的方程化為，直線方程化為恒過定點，而在圓C的內部，則直線和圓相交，選A. 8. 若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側面積之比是 A. B. C. D. 【答案】C ......... 9. 設、是兩個不同的平面，、是兩條不同直線，則下列結論中錯誤的是 A. 若，，則 B. 若，則 、與所成的角相等 C. 若，，則 D. 若，，，則 【答案】D 【解析】若，，則是正確的，若，則 、與所成的角相等是正確的，若，，則是正確的，若，，，則平面與平面可能相交，也可能平行，命題錯誤的選D. 10. 在矩形中，，，將沿折起后，三棱錐的外接球表面積為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】矩形中，，，將沿折起后，得到三棱錐，由于三棱錐的外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，三棱錐的外接球表面積為.選B. 11. 已知圓（）截直線所得弦長是，則的值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圓M： ，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，半弦長為，根據圓的弦長公式可知，，選B. 12. 如圖，在正方體中 ，點在線段上運動，則下列判斷中，正確命題的個數是 ①三棱錐的體積不變；② ；③；④與所成角的范圍是. A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 個 【答案】B 【解析】在正方體中，三角形的面積為定值，又，可以推出平面，因此點到平面的距離為定值，①三棱錐的體積不變是正確的；，可以推出平面 平面，平面，則 平面，② 是正確的；由于 平面，則③是正確的；當 為的中點時，，與所成角的范圍是，④錯誤，選B. 【點睛】涉及到三棱錐的體積為定值問題，要考慮到動點（棱錐的頂點）在直線上，而直線與平面（棱錐的底面）平行，這樣不論動點怎樣移動，棱錐的高都不變，底面積為定值，高為定值，體積就是定值；兩條異面直線所成的角的范圍，首先平移一條直線，找出兩條異面直線所成的角，移動動點觀察特殊點時，異面直線所成的角，就會很容易得出你的角的范圍，很適合做選填題. 二、填空題：每小題4分，共20分．請把答案填在答題卡的相應位置． 13. 兩兩相交的三條直線可確定______個平面. 【答案】1或3 【解析】當三條直線交于一點時，可以確定3個平面；當三條直線兩兩相交，有三個交點時，可確定1個平面. 兩兩相交的三條直線可確定1個或3個平面. 14. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_____． 【答案】 【解析】根據三視圖恢復原幾何體為三棱錐，底面為直角三角形，兩條直角邊長分別為2和1，一條側棱垂直于底面，高為1，則該幾何體的體積為. 15. 已知圓，則過點且與圓相切的直線方程為_____． 【答案】 【解析】由于點在圓上，所以圓的切線只有1條，設切線方程為，即：，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑得： 得：，，所求切線方程為：. 16. 如果實數滿足等式,那么的最小值為__________． 【答案】 【解析】表示圓上一點到原點距離的平方，由于圓心到原點的距離為，圓上一點到原點的距離的最小值為，那么的最小值為. 17. 已知過點的直線交軸正半軸于點，交直線于點，且,則直線在軸上的截距是______________ . 【答案】7 【解析】若直線的斜率不存在，直線，不符合題意要求，可見直線直線的斜率存在，不妨設斜率為，則直線的方程為，即：，求出，再解出與直線的交點，分別過A、C作軸的垂線，由于，可知， ，解得或（舍），當時，直線在軸上的截距是. 【點睛】求直線方程首先要考慮直線的斜率不存在的情形，然后再設點斜式或斜截式，涉及兩條直線交點問題要解方程組求出交點坐標，本題最重要的一點是涉及到線段長度關系時，有時轉化為向量關系借助坐標關系解題，有時直接利用比例轉化為橫坐標或縱坐標的關系解題，這是很重要的一種方法. 三、解答題：本大題共5題，共44分．解答題應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內． 18. 直線經過直線和直線的交點，且與直線垂直，求直線的方程． 【答案】 【解析】試題分析：直線經過兩條直線的交點，所以先聯立方程組，解出兩條直線的焦點坐標，直線與已知直線垂直，根據垂直斜率存在兩條直線垂直的條件，只需斜率互為負倒數，求出所求直線的斜率，最后利用直線方程的點斜式寫出所求直線的方程，化為一般式給出答案. 試題解析： 由得 交點坐標為，又直線與直線垂直直線的斜率為3，直線的方程為，即 19. 如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，，． （1）求證：平面； （2）求直線和平面所成的角的正切值． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：證明線面垂直，可利用線面垂直的判定定理，證明直線與平面內的兩條相交直線垂直，進而說明線面垂直.求線面角首先要尋求平面的垂線，作垂線找垂足，連垂足和斜足得到射影，斜線與射影所成的角為線面角，傳統(tǒng)方法是“先作、再證、后求”，本題也可采用空間向量法去做. 試題解析： （1）平面， ，又 ，， 平面； （2） 平面， 為斜線在平面內的射影，為求直線和平面所成的角，在直角三角形中，，， ，直線和平面所成的角的正切值為 【點睛】證明線面垂直，第一可利用線面垂直的判定定理，證明直線與平面內的兩條相交直線垂直，進而說明線面垂直.第二可建立空間直角坐標系，寫出向量的坐標，借助空間向量解題，利用兩個向量數量積為零，說明線線垂直，也是很簡單的做法. 求線面角首先要尋求平面的垂線，作垂線找垂足，連垂足和斜足得到射影，斜線與射影所成的角為線面角，傳統(tǒng)方法是“先作、再證、后求”，本題也可建立空間直角坐標系采用空間向量法借助法向量去做. 20. 已知圓心在軸上且通過點的圓與直線相切． （1）求圓的方程； （2）已知直線經過點，并且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】試題分析：求圓的方程采用待定系數法，巧用圓心和半徑，由于圓的切線垂直于過切點的半徑，因此圓心到切線的距離就是半徑，盡可能的減元，所設的參數越少解方程越簡單，有關圓的弦長問題，基本都用弦心距，半弦，半徑滿足勾股定理去解決，求直線方程要注意斜率不存在的情況. 試題解析： （1）設圓心的坐標為，則，解得a＝1，∴，半徑，∴圓的方程為. （2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓截得的弦長為，滿足條件；②當直線的斜率存在時，設直線l的方程為，由題意得，解得，∴直線的方程為，綜上所述，直線l的方程為或. 【點睛】求圓的方程有兩種設法，一是圓的標準方程，一是圓的一般方程，都是采用待定系數法，巧用圓心和半徑，由于圓的切線垂直于過切點的半徑，因此圓心到切線的距離就是半徑，盡可能的減元，所設的參數越少解方程越簡單，有關圓的弦長問題，基本都用弦心距，半弦，半徑滿足勾股定理去解決. 21. 如圖，在四棱錐中，底面, ，，，與底面成，是的中點. （1）求證：∥平面； （2）求三棱錐的體積． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，本題借助平行四邊形和三角形中位線定理可以得到線線平行，證明面面平行，進而得出線面平行；求體積問題最主要利用轉化思想，包括平行轉化、對稱轉化、比例轉化，三棱錐求體積還要注意靈活使用棱錐的頂點. 試題解析： （1）證明：取的中點，連接 ∵∥，面，面，∴∥平面，同理∥平面，又∵，∴平面∥平面，又∵平面，∴∥平面. （2）∵與底面成，∴，又∵底面， ∥，，∴底面，， ∴ 【點睛】證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，求體積問題大多出現在文科考題，一般不是直接求出底面和高，大多需要利用轉化思想，包括平行轉化、對稱轉化、比例轉化，三棱錐求體積還要注意靈活使用棱錐的頂點. 22. 過點作圓 的切線，為坐標原點，切點為，且. （1）求的值； （2）設是圓上位于第一象限內的任意一點，過點作圓的切線，且交軸于點，交y軸于點，設，求的最小值． 【答案】（1）4；（2）8 【解析】試題分析：首先利用圓的弦長公式，求出圓的半徑；涉及到直線與兩坐標軸的交點問題大多采用線方程的截距式，但務必要檢驗，設直線方程的截距式，由于直線與圓相切于第一象限，滿足相切條件，且截距均為正，利用均值不等式進行“等轉不等”，得出向量OQ的模的最小值. 試題解析： （1）圓 的圓心為，于是，由題設知，是以為直角頂點的直角三角形，故有. （2）設直線的方程為，即，則，，∴，∴.∵直線與圓相切，∴，∴ ∴，當且僅當時取到“＝”，∴取得最小值為8. 【點睛】有關圓的弦長問題，一般利用圓的弦長公式，利用勾股定理列方程，求出圓的半徑；涉及到直線與兩坐標軸的交點問題，特別是直線與兩坐標軸圍成的三角形的周長和面積問題，大多采用線方程的截距式，但是直線方程的截距式不包括過原點的直線，不包括平行于軸的直線，不包括平行于軸的直線，所以解題時必需檢驗結果，要多退少補.