培優(yōu)點(diǎn)十五 平行垂直關(guān)系的證明1平行關(guān)系的證明例1：如圖，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)求證：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】證明（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）由題意可知連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，故又，所以平面平?垂直關(guān)系的證明例2：如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）存在，【解析】（1）證明：連接與，兩線交于點(diǎn)，連接在中，分別為，的中點(diǎn)，又平面，平面，平面（2）證明：側(cè)棱底面，平面，又為棱的中點(diǎn)，平面，平面，又，在和中，即，平面，平面（3）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時，平面平面證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，分別為，的中點(diǎn)，且又為的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，平面，平面又平面，平面平面對點(diǎn)增分集訓(xùn)一、單選題1平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：；與相交與相交或重合；與平行與平行或重合；其中不正確的命題個數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】結(jié)合題意逐一分析所給的四個說法，在如圖所示的正方體中：對于說法：若取平面為，分別為，分別為，滿足，但是不滿足，該說法錯誤；對于說法：若取平面為，分別為，分別為，滿足，但是不滿足，該說法錯誤；對于說法：若取平面為，分別為，分別為，滿足與相交，但是與異面，該說法錯誤；對于說法：若取平面為，、分別為，、分別為，滿足與平行，但是與異面，該說法錯誤；綜上可得：不正確的命題個數(shù)是4本題選擇D選項2已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）A若，且，則B若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則C若，則D若，則【答案】D【解析】對于選項A，若，且，則l不一定垂直平面，有可能和平行，該選項錯誤；對于選項B，若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則、可能相交或平行，該選項錯誤；對于選項C，若，則有可能在平面內(nèi)，該選項錯誤；對于選項D，由于兩平行線中有一條垂直平面，則另一條也垂直平面，該選項正確，故答案為D3給出下列四種說法：若平面，直線，則；若直線，直線，直線，則；若平面，直線，則；若直線，則其中正確說法的個數(shù)為（ ）A4個B3個C2個D1個【答案】D【解析】若平面，直線，則可異面；若直線，直線，直線，則可相交，此時平行兩平面的交線；若直線，則可相交，此時平行兩平面的交線；若平面，直線，則無交點(diǎn)，即；故選D4已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的有（ ）（1），（2），（3），（4），A0個B1個C2個D3【答案】B【解析】由，若相交，則可得，若，則與可能平行也可能相交，故（1）錯誤；若，根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得，故（2）正確；若，則或異面，故（3）錯誤；若，則或，故（4）錯誤；故選B5如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）ABCD【答案】C【解析】A：和是異面直線，故選項不正確；B：和是異面直線，故選項不正確；C：記正方體中，分別是的中點(diǎn)，為平行四邊形，平面，平面，平面D：由C知，而面和面相交，故選項不正確；故選C6已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A若垂直于同一平面，則平行B若平行于同一平面，則平行C若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D若不平行，則不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的兩平面相交或平行，A不正確；平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面，B不正確；平面不平行即相交，在一個平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行，C不正確；D為直線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題，故D正確故選D7已知是兩條不重合的直線，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若是異面直線，則其中真命題是（ ）A和B和C和D和【答案】D【解析】逐一考查所給的命題：由線面垂直的性質(zhì)定理可得若，則，命題正確；如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，滿足，但是不滿足，命題錯誤；如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，直線分別為，滿足，但是不滿足，命題錯誤；若是異面直線，由面面平行的性質(zhì)定理易知，命題正確；綜上可得，真命題是和，本題選擇D選項8如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點(diǎn)，且；則下列結(jié)論錯誤的是（ ）ABC三棱錐的體積為定值D的面積與的面積相等【答案】D【解析】在正方體中，平面，而平面，故，故A正確又平面，因此平面，故B正確當(dāng)變化時，三角形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離就是到平面的距離，它是一個定值，故三棱錐的體積為定值（此時可看成三棱錐的體積），故C正確在正方體中，點(diǎn)到的距離為，而到的距離為1，D是錯誤的，故選D9如圖所示，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上不同于的任意一點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB與所成的角為C平面D平面平面【答案】D【解析】對于A項，與異面，故A項錯；對于B項，可證平面，故，所成的角為，因此B項錯；對于C項，與不垂直，不可能垂直平面，故C項錯；對于D項，由于，平面，平面，平面，平面，平面平面，故選D10如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ）A與是異面直線B平面C，為異面直線且D平面【答案】C【解析】對于A項，與在同一個側(cè)面中，故不是異面直線，A錯；對于B項，由題意知，上底面是一個正三角形，故平面不可能，B錯；對于C項，為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，C正確；對于D項，所在的平面與平面相交，且與交線有公共點(diǎn)，故平面不正確，D項不正確；故選C11設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，給出下列四個命題：三棱錐的體積為定值；異面直線與所成的角為；平面；直線與平面所成的角為其中正確的命題為（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意得，如圖所示，中，三棱錐的體積的為，體積為定值；中，在正方體中，異面直線與所成的角就是直線與所成的角，即，這正確的；中，由可知，直線與不垂直，面不成立，是錯誤的；中，根據(jù)斜線與平面所成的角，可知與平面所成的角，即為，不正確12如下圖，梯形中，將沿對角線折起設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面給出下面四個命題：；三棱錐的體積為；平面；平面平面其中正確命題的序號是（ ）ABCD【答案】B【解析】，平面平面，且平面平面，平面，平面，故不成立，故錯誤；棱錐的體積為，故錯誤；由知平面，故正確；由知平面，又平面，又，且、平面，平面，又平面，平面平面，故正確故選B二、填空題13設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是_(填序號)若，則；若，則；若，則；若，則【答案】【解析】，則，與可能相交也可能異面，不正確；，則，還有與可能相交，不正確；，則，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故正確；，則，也可能，也可能，不正確；故答案為14一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論；與所成的角為；與是異面直線；以上四個命題中，正確命題的序號是_【答案】【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖：則，與異面，只有正確故答案為15若四面體的三組對棱分別相等，即，給出下列結(jié)論：四面體每組對棱相互垂直；四面體每個面的面積相等；從四面體每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于；連接四面體每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分其中正確結(jié)論的序號是_(寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】【解析】將四面體的三組對棱分別看作平行六面體的對角線，由于三組對棱分別相等，平行六面體為長方體由于長方體的各面不一定為正方形，同一面上的面對角線不一定垂直，從而每組對棱不一定相互垂直錯誤；四面體的每個面是全等的三角形，面積是相等的正確；由，四面體的每個面是全等的三角形，從四面體每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內(nèi)的三個內(nèi)角，它們之和為錯誤；連接四面體每組對棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分正確，故答案為16如圖，一張矩形白紙，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將，沿折起，且在平面同側(cè)，下列命題正確的是_（寫出所有正確命題的序號）當(dāng)平面平面時，平面當(dāng)平面平面時，當(dāng)重合于點(diǎn)時，當(dāng)重合于點(diǎn)時，三棱錐的外接球的表面積為【答案】【解析】在中，在中，由題意，將沿折起，且在平面同側(cè)，此時四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，平面平面，平面平面，當(dāng)平面平面時，得到，顯然，四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到平面，正確的；由于折疊后，直線與直線為異面直線，與不平行，錯誤的；折疊后，可得，其中，和不垂直，不正確；當(dāng)重合于點(diǎn)時，在三棱錐中，和均為直角三角形，為外接球的直徑，即，則三棱錐的外接球的表面積為，是正確，綜上正確命題的序號為三、解答題17如圖，四棱錐中，為正三角形且（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)到底面的距離為2，是線段上一點(diǎn)，且平面，求四面體的體積【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：，且，又為正三角形，又，又，平面，又平面，平面平面（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，且，連接，平面，則，由（1）點(diǎn)到平面的距離為2，點(diǎn)到平面的距離為，即四面體的體積為18如圖，四邊形為正方形，平面，（1）求證：；（2）若點(diǎn)在線段上，且滿足，求證：平面；（3）求證：平面【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1），與確定平面，平面，由已知得且，平面又平面，（2）過作，垂足為，連接，則又，又且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面（3）由（1）可知，在四邊形中，則設(shè)，故，則，即又，平面