專題能力訓(xùn)練21隨機(jī)變量及其分布一、能力突破訓(xùn)練1.甲射擊命中目標(biāo)的概率是,乙命中目標(biāo)的概率是,丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo),則目標(biāo)被擊中的概率為()A.B.C.D.7102.已知隨機(jī)變量滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0<p1<p2<,則()A.E(1)<E(2),D(1)<D(2)B.E(1)<E(2),D(1)>D(2)C.E(1)>E(2),D(1)<D(2)D.E(1)>E(2),D(1)>D(2)3.一袋中有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球(除顏色外其他完全相同),每次任取一個(gè)記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,設(shè)停止時(shí)共取了X次球,則P(X=12)等于()A.C12103810582B.C12938958238C.C119582382D.C11938105824.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),則從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-<<+)68.27%,P(-2<<+2)95.45%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%5.(2018全國(guó),理8)某群體中的每名成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10名成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.36.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y=|X-2|,則P(Y=2)=.7.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=.8.A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位:天)記錄如下:A組:10,11,12,13,14,15,16B組:12,13,15,16,17,14,a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立,從A,B兩組隨機(jī)各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙.(1)求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率;(3)當(dāng)a為何值時(shí),A,B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等?(結(jié)論不要求證明)9.在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).10.某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一.小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.11.若n是一個(gè)三位正整數(shù),且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每名參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;(2)若甲參加活動(dòng),求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).二、思維提升訓(xùn)練12.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A.2 386B.2 718C.3 414D.4 772附:若XN(,2),則P(-<X+)0.682 7,P(-2<X+2)0.954 5.13.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊,用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于C74C86C1510的是()A.P(X=2)B.P(X2)C.P(X=4)D.P(X4)14.某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值;(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的均值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?15.某家電產(chǎn)品受在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每件的利潤(rùn)(單位:百元)與該產(chǎn)品首次出現(xiàn)故障的時(shí)間(單位:年)有關(guān).某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種品牌,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌家電中各隨機(jī)抽取50件,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x0<x11<x2x>20<x2x>2數(shù)量2345545每件利潤(rùn)1231.82.9將頻率視為概率,解答下列問題:(1)從該廠生產(chǎn)的甲、乙品牌產(chǎn)品中隨機(jī)各抽取一件,求其至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;(2)若該廠生產(chǎn)的家電均能售出,記生產(chǎn)一件甲品牌家電的利潤(rùn)為X1,生產(chǎn)一件乙品牌家電的利潤(rùn)為X2,分別求X1,X2的分布列;(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌家電銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的家電.若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的家電?說明理由.16.(2018全國(guó),理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0;(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求E(X);以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?專題能力訓(xùn)練21隨機(jī)變量及其分布一、能力突破訓(xùn)練1.A解析 設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A,乙命中目標(biāo)為事件B,丙命中目標(biāo)為事件C,則擊中目標(biāo)表示事件A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-121-131-14=14.擊中的概率P=1-P(ABC)=34.2.A解析 E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)<E(2).D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,故選A.3.D解析 由題意知第12次取到紅球,前11次中恰有9次紅球2次白球,因?yàn)槊看稳〉郊t球的概率為,所以P(X=12)=C11938958238.4.B解析 由正態(tài)分布N(0,32)可知,落在(3,6)內(nèi)的概率為P(-2<<+2)-P(-<<+)295.45%-68.27%2=13.59%.5.B解析 由題意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由P(X=4)<P(X=6)知C104p4(1-p)6<C106p6(1-p)4,即p2>(1-p)2,p>0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去).6.0.5解析 由分布列的性質(zhì),知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,則m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7.13解析 根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13.8.解 設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”,事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”,i=1,2,7.由題意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,7.(1)由題意知,事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天”等價(jià)于“甲是A組的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)”,由題意知,C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11或a=18.9.解 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518.(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列為X01234P1425211021521142X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1521+21021+3521+4142=2.10.解 (1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=564534=12.(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=56451=23,所以X的分布列為X123P161623所以E(X)=116+216+323=52.11.解 (1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為C93=84,隨機(jī)變量X的取值為:0,-1,1,因此P(X=0)=C83C93=23,P(X=-1)=C42C93=114,P(X=1)=1-114-23=1142.所以X的分布列為X0-11P231141142則E(X)=023+(-1)114+11142=421.二、思維提升訓(xùn)練12.C解析 因?yàn)榍€C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線,所以P(-1<X1)0.682 7,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性知P(0<X1)=0.341 35,即圖中陰影部分的面積為0.341 35.由幾何概型知點(diǎn)落入陰影部分的概率P=0.341 351=0.341 35.因此,落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為10 0000.341 353 414.故選C.13.C解析 X服從超幾何分布P(X=k)=C7kC810-kC1510,故k=4.14.解 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)n=19時(shí),E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.當(dāng)n=20時(shí),E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的均值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的均值,故應(yīng)選n=19.15.解 (1)設(shè)“甲、乙品牌家電至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則P (A)=1-45504550=19100.(2)依題意得,X1的分布列為X1123P125350910X2的分布列為X21.82.9P110910(3)由(2)得E(X1)=1125+2350+3910=14350=2.86(百元),E(X2)=1.8110+2.9910=2.79(百元).因?yàn)镋(X1)>E(X2),所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌家電.16.解 (1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)18.因此f(p)=C2022p(1-p)18-18p2(1-p)17=2C202p(1-p)17(1-10p).令f(p)=0,得p=0.1.當(dāng)p(0,0.1)時(shí),f(p)>0;當(dāng)p(0.1,1)時(shí),f(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知YB(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),那么這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于E(X)>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).