MINITAB統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1. 正態(tài)總體的抽樣分布1) 樣本均值 X 的分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及T分布樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：u T分布的定義：Student t distribution，如果X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，S2服從個自由度的卡方分布，且它們相互獨(dú)立，那么隨機(jī)量所服從的分布稱為 個自由度的t分布。其分布密度函數(shù)為：當(dāng) 時的極限分布即是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng) =1 時就是Cauchy分布。T分布只包含1個參數(shù)。數(shù)學(xué)期望和方差分別為0，-2（1時期望不存在，2方差不存在）。我們常常用 t 表示 個自由度的t分布。MINITAB對于更一般的t分布還增加了一個“非中心參數(shù)”，當(dāng)非中心參數(shù)為0時，就得到了我們現(xiàn)在所說的t分布。在用MINITAB計(jì)算時，只要注意這一點(diǎn)就行了。自由度：可以簡單理解為在研究問題中，可以自由獨(dú)立取值的數(shù)據(jù)或變量的個數(shù)。范例：² ZN(0，1)，求Z=1.98時的概率密度。計(jì)算->概率分布->正態(tài)分布->概率密度->輸入常數(shù)1.98->確定概率密度函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 = 1 x f( x )1.98 0.0561831² ZN0，1，求PZ<2.4。計(jì)算->概率分布->正態(tài)分布->累積概率->輸入常數(shù)2.4->確定累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 = 1 x P( X <= x )2.4 0.991802² ZN(0，1)，求使得P(Z<x)=0.95成立的x值，即Z的0.95分位數(shù)。計(jì)算->概率分布->正態(tài)分布->逆累積概率->輸入常數(shù)0.95->確定逆累積分布函數(shù) 正態(tài)分布，均值 = 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 = 1P( X <= x ) x 0.95 1.64485² 自由度=12，求使得PZ<x=0.95成立的x值。計(jì)算->概率分布->t分布->逆累積概率->輸入自由度12->輸入常數(shù)0.95->確定逆累積分布函數(shù) 學(xué)生 t 分布，12 自由度P( X <= x ) x 0.95 1.7822² 自由度=12，求使得Pt3。計(jì)算->概率分布->t分布->累積概率->輸入自由度12->輸入常數(shù)3->確定累積分布函數(shù) 學(xué)生 t 分布，12 自由度x P( X <= x )3 0.9944672) 雙樣本均值差的分布3) 正態(tài)樣本正態(tài)樣本方差S2的分布卡房卡方分布若X1，X2，,Xn是從正態(tài)總體N，2中抽出的一組樣本量為n的獨(dú)立隨機(jī)樣本，記則當(dāng) 已知時：當(dāng)未知時，用 X 替 后可以得到其概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。u 卡方分布的定義：把n個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和稱為自由度為n的卡方分布。它的密度表達(dá)式為：參數(shù) 1 稱為自由度?？ǚ椒植加邢蛴业钠保貏e在較小自由度情況下（ 越小，分布越偏斜）。我們常用 2 表達(dá)自由度為 的卡方分布。卡方分布有很多用途，其中一項(xiàng)就是用來分析單個正態(tài)總體樣本方差的狀況；還可以用來進(jìn)行分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)資料是否符合某種特定分布；對于離散數(shù)據(jù)構(gòu)成的列聯(lián)表，也可以用來分析兩個離散型因子間是否獨(dú)立等。u 卡方分布的性質(zhì)a) 卡方分布的加法性：設(shè)X和Y彼此獨(dú)立，且都服從卡方分布，其自由度分別為n1，n2。若令Z=X+Y，則Z服從自由度為n1+n2的卡方分布。b) 若 X2n ，則 EX=n ，VX=2n 。計(jì)算下列各卡方分布的相關(guān)數(shù)值：² 自由度=10，求使得 P2<x=0.95 成立的 x 值。計(jì)算 -> 概率分布 -> 卡方分布 -> 逆累積概率 -> 自由度=10 -> 常數(shù)=0.95 -> 確定逆累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度P( X <= x ) x 0.95 18.307² 自由度=10，求 P228 。計(jì)算 -> 概率分布 -> 卡方分布 -> 累積概率 -> 自由度=10 -> 常數(shù)=28 -> 確定累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度 x P( X <= x )28 0.9981954) 兩個獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布F分布兩個獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布是F分布。設(shè)有兩個獨(dú)立的正態(tài)總體 N(1，2) 和 N(2，2) ，它們的方差相等。又設(shè)X1，X2，Xn是來自N(1，2)的一個樣本Y1，Y2，Yn是來自N(2，2) 的一個樣本，這兩樣相互獨(dú)立。它們的樣本方差之比是自由度為n-1和m-1的F分布：n-1稱為分子自由度；m-1為分母自由度；F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈正偏態(tài)分布。實(shí)際上，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量就是由兩個卡方隨機(jī)變量相除所構(gòu)成的，如果 21 ，Y22 ，且二者相互獨(dú)立，則稱二者比值的分布為F分布，即其密度函數(shù)是：F分布的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在判斷兩正態(tài)總體方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等問題上面。² 計(jì)算F0.95（8，,18）的數(shù)值。計(jì)算 -> 概率分布 -> F分布 -> 逆累積概率 -> 分子自由度=8 -> 分母自由度=18 ->常數(shù)=0.95 ->確定逆累積分布函數(shù) F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度P( X <= x ) x 0.95 2.510162. 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1) 點(diǎn)估計(jì)的概念用單個數(shù)值對于總體參數(shù)給出估計(jì)的方法稱為點(diǎn)估計(jì)。設(shè)是總體的一個未知參數(shù)，X1，X2，Xn是從總體中抽取的樣本量為n的一個隨機(jī)樣本，那么用來估計(jì)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量 （X1，X2，Xn）稱為的估計(jì)量，或稱為的點(diǎn)估計(jì)。我們總是在參數(shù)上方畫一個帽子“”表示該參數(shù)的估計(jì)量。在工程中經(jīng)常出現(xiàn)的點(diǎn)估計(jì)問題之最好結(jié)果是：Ø 對于總體均值 ， =X ；Ø 對于總體方差 2 ， 2 =S2 ；Ø 對于比率p ， p =Xn ，X是樣本量為n的隨機(jī)樣本中我們感興趣的那類出現(xiàn)的次數(shù)；Ø 對于 1 - 2 ，1 - 2 = X1-X2（兩個獨(dú)立隨機(jī)樣本均值之差）；Ø 對于p1 - p2，估計(jì)為 P1 -P2（兩個獨(dú)立隨機(jī)樣本比率之差）；2) 點(diǎn)估計(jì)的評選標(biāo)準(zhǔn)3. 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)是總體的一個待估參數(shù)，從總體中獲得樣本量為n 的樣本是X1，X2，Xn，對給定的顯著性水平（01），有統(tǒng)計(jì)量：L= L（X1，X2，Xn）與U= U（X1，X2，Xn），若對于任意有P（LU）= 1 - ，則稱隨機(jī)區(qū)間L，U是的置信水平為1-的置信區(qū)間，L與U分別稱為置信下限和置信上限。置信區(qū)間的大小表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的精確性，置信水平表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的可靠性， 1 - 是區(qū)間估計(jì)的可靠程度，而 表達(dá)了區(qū)間估計(jì)的不可靠程度。在進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時，必須同時考慮置信水平與置信區(qū)間兩個方面。對于置信區(qū)間的選取，一定要注意，決不能認(rèn)為置信水平越大的置信區(qū)間就越好。實(shí)際上，置信水平定的越大，則置信區(qū)間相應(yīng)也一定越寬，當(dāng)置信水平太大時，則置信區(qū)間會寬得沒有實(shí)際意義了。這兩者要結(jié)合在一起考慮，才更為實(shí)際。通常我們?nèi)≈眯潘綖?.95，極個別情況下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。1) 單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間當(dāng) X N(，2)時，正態(tài)總體均值的置信區(qū)間有以下三種情況：a) 當(dāng)總體方差 2 已知時，正態(tài)總體均值 的 1 置信區(qū)間為：式中，Z1-2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 1-2 分位數(shù)，也就是雙側(cè) 分位數(shù)。例如=0.05時，Z0.975=1.96。在MINITAB中，我們通過：統(tǒng)計(jì) -> 基本統(tǒng)計(jì)量 -> 單樣本Z 來實(shí)現(xiàn)的。由于實(shí)際情況中，已知標(biāo)準(zhǔn)差的情況很少見，因此我們這里重點(diǎn)關(guān)注的是標(biāo)準(zhǔn)差位置時的情況。b) 當(dāng)總體方差 2 未知時， 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，此時正態(tài)總體均值 的 1 置信區(qū)間為：式中，t1-2n-1 表示自由度為n 1的 t 分布的 1-2 分位數(shù)，也就是t分布的雙側(cè) 分位數(shù)。例如=0.05時，樣本量n = 16時，t0.97515=2.131，其值略大于Z0.975=1.96。在MINITAB中，我們通過：統(tǒng)計(jì) -> 基本統(tǒng)計(jì)量 -> 單樣本t 來實(shí)現(xiàn)的。² 某集團(tuán)公司正推進(jìn)節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用活動，下表為20個月使用的運(yùn)輸費(fèi)用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)：17421827168117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707假設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用是服從正態(tài)分布的，求運(yùn)輸費(fèi)用均值的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì) -> 基本統(tǒng)計(jì)量 -> 單樣本t -> 樣本所在列 = 運(yùn)輸費(fèi)用 -> 選項(xiàng) -> 置信水平 = 95 -> 確定。單樣本 T: 運(yùn)輸費(fèi)用 均值標(biāo)變量 N 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤 95% 置信區(qū)間運(yùn)輸費(fèi)用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2)c) 前兩種情況討論的是當(dāng)總體為正態(tài)分布時， 的區(qū)間估計(jì)，然而當(dāng)總體不是正態(tài)分布時，如果樣本量n 超過30，則可根據(jù)中心極限定理知道：X 仍近似服從正態(tài)分布，因而仍可用正態(tài)分布總提示的均值 的區(qū)間估計(jì)方法，而且可以直接用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，即采用公式：在MINITAB中，通常直接采用：統(tǒng)計(jì) -> 基本統(tǒng)計(jì)量 -> 圖形化匯總 中得到總體均值的置信區(qū)間結(jié)果。只不過要注意的是：總體非正態(tài)時，在小樣本情況下此結(jié)果并不可信，只有當(dāng)樣本量超過30后，由于中心極限定理的保證，此結(jié)果才是可信的。2) 單正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間當(dāng) X N(，2)時，正態(tài)總體方差的置信區(qū)間是：式中，1-22n-1和22n-1分別是 1-2 分位數(shù)與 2 分位數(shù)。當(dāng) X N(，2)時，正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間是：² 某集團(tuán)公司正推進(jìn)節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用活動，下表為20個月使用的運(yùn)輸費(fèi)用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)：17421827168117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707假設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用是服從正態(tài)分布的，求運(yùn)輸費(fèi)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì) -> 基本統(tǒng)計(jì)量 -> 單方差 -> 樣本所在列 = 運(yùn)輸費(fèi)用 -> 選項(xiàng) -> 置信水平 = 95 -> 確定。單方差檢驗(yàn)和置信區(qū)間: 運(yùn)輸費(fèi)用 方法卡方方法僅適用于正態(tài)分布。Bonett 方法適用于任何連續(xù)分布。統(tǒng)計(jì)量變量 N 標(biāo)準(zhǔn)差 方差運(yùn)輸費(fèi)用 20 61.9 383095% 置信區(qū)間 標(biāo)準(zhǔn)差置信 方差置信區(qū)變量 方法 區(qū)間 間運(yùn)輸費(fèi)用 卡方 (47.1, 90.4) (2215, 8170) Bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507)求總體標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間另一種方法：統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量->圖形化匯總->變量：運(yùn)輸費(fèi)用->置信水平：95 ->確定3) 單總體比率的置信區(qū)間當(dāng) X b(1，p)時，也就是X取“非0則1”的0-1分布，我們常需要估計(jì)總體中感覺的那類比率的置信區(qū)間，比如，一批產(chǎn)品中，不合格品率的大致范圍；顧客滿意度調(diào)查中，有抱怨顧客的比率范圍等。這里我們記總體比率為p，樣本比率為 p ?？梢宰C明，當(dāng)樣本量足夠大時（要求np>5及np（1-p）>5），且p值適中（0.1<p<0.9），則可用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布，因而近似有： p N(p，p1-pn)。因此，由 p 服從的正態(tài)分布構(gòu)造總體比率p的置信區(qū)間為：² 一電視臺為了調(diào)查新節(jié)目收視率，在節(jié)目放映時間內(nèi)進(jìn)行了電話調(diào)查。在接受調(diào)查的2000名被調(diào)查者中有1230名正在收看本節(jié)目。求此節(jié)目收視率的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量->單比率->匯總數(shù)據(jù)：事件數(shù)=1230，實(shí)驗(yàn)數(shù)=2000->選項(xiàng)->置信水平：95 ；勾選使用正態(tài)分布的檢驗(yàn)和區(qū)間->確定由于np>5及np（1-p）>5，可用于正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布，故可以勾選使用基于正態(tài)分布的檢驗(yàn)和區(qū)間。單比率檢驗(yàn)和置信區(qū)間 樣本 X N 樣本 p 95% 置信區(qū)間1 1230 2000 0.615000 (0.593674, 0.636326)使用正態(tài)近似。4) 雙總體均值差的置信區(qū)間設(shè)有兩個總體X N(1，12)，Y N(2，22)，從總體X中抽取的樣本X1，X2，Xn，樣本均值為 X ，樣本方差為 SX2 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 SX ，從總體Y中抽取的樣本Y1，Y2，Yn，樣本均值為 Y ，樣本方差為 SY2 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 SY 。對兩總體均值差異 1-2 的區(qū)間估計(jì)常有以下三種情況：a) 兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 12，22 都已知時，兩總體均值差異 1 - 2 的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：只要樣本量足夠大，無論兩總體的方差是否相等，上式都成立。b) 兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 12=22 均未知時，兩總體均值差異 1 - 2 的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：式中，² 一家冶金公司需要減少其排放到廢水中的生物氧需求量含量。用于廢水處理的活化泥供應(yīng)商建議，用純氧取代空氣吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此數(shù)值越小越好）。從兩種處理的廢水中分別抽取10個和9個樣品，數(shù)據(jù)如下：空氣184194158218186218165172191179氧氣163185178183171140155179175已知生物氧需求量含量服從正態(tài)分布，試確定：該公司采用空氣和采用純氧減少生物氧需求量含量均值之差的95%置信區(qū)間。求兩總體1 - 2 的置信區(qū)間：統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量->雙樣本t->樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣->勾選假定等方差->選項(xiàng)：置信水平=95，備擇=不等于->確定。雙樣本 T 檢驗(yàn)和置信區(qū)間: 空氣, 氧氣 空氣 與 氧氣 的雙樣本 T 均值標(biāo) N 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤空氣 10 186.5 20.0 6.3氧氣 9 169.9 14.7 4.9差值 = mu (空氣) - mu (氧氣)差值估計(jì)值: 16.61差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.58, 33.80)差值 = 0 (與 ) 的 T 檢驗(yàn): T 值 = 2.04 P 值 = 0.057 自由度 = 17兩者都使用合并標(biāo)準(zhǔn)差 = 17.7356c) 當(dāng)兩個總體均服從正態(tài)分布，且兩個總體的方差 1222 均未知時，兩總體均值差異 1 - 2 的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：式中，自由度的計(jì)算公式為：² 假定A，B兩名工人生產(chǎn)相同規(guī)格的軸棒，關(guān)鍵尺寸是軸棒的直徑。由于A使用的是老式車床，B使用的是新式車床，二者精度可能有差異。經(jīng)檢驗(yàn)，他們的直徑數(shù)據(jù)確實(shí)來自兩個方差不等的正態(tài)分布?，F(xiàn)他們各測定13根軸棒直徑，數(shù)據(jù)如下：12345678910111213A14.7614.2114.0215.0810.6512.1816.6718.2012.2411.2116.6713.4516.85B12.3710.2813.1813.2613.8010.9610.5712.8311.6713.5412.4213.2412.52試確定A，B生產(chǎn)的軸棒直徑差異的95%置信區(qū)間。求兩總體1 - 2的置信區(qū)間：統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量->雙樣本t->樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣->選項(xiàng)：置信水平=95，備擇=不等于->確定。雙樣本 T 檢驗(yàn)和置信區(qū)間: A工人, B工人 A工人 與 B工人 的雙樣本 T 均值標(biāo) N 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤A工人 13 14.32 2.35 0.65B工人 13 12.36 1.15 0.32差值 = mu (A工人) - mu (B工人)差值估計(jì)值: 1.965差值的 95% 置信區(qū)間: (0.435, 3.496)差值 = 0 (與 ) 的 T 檢驗(yàn): T 值 = 2.71 P 值 = 0.015 自由度 = 17² 獨(dú)立隨機(jī)樣本取自均值1， 2 未知，標(biāo)準(zhǔn)差未知的兩個正態(tài)分布總體，若第一個總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1=0.73,樣本量n=25，X=6.9，第二個總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差S2=0.89,樣本量n=20，Y=6.7。求1- 2的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量->雙樣本t->匯總數(shù)據(jù)：第一（樣本數(shù)量=25，均差=6.9，標(biāo)準(zhǔn)差=0.73），第二（樣本數(shù)量=20，均差=6.7，標(biāo)準(zhǔn)差=0.89）->選項(xiàng)：置信水平=95 ->確定。雙樣本 T 檢驗(yàn)和置信區(qū)間 均值標(biāo)樣本 N 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 準(zhǔn)誤1 25 6.900 0.730 0.152 20 6.700 0.890 0.20差值 = mu (1) - mu (2)差值估計(jì)值: 0.200差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.301, 0.701)差值 = 0 (與 ) 的 T 檢驗(yàn): T 值 = 0.81 P 值 = 0.423 自由度 = 365) 雙總體比率差的置信區(qū)間設(shè)兩個總體的比率分別為p1和p2，為了估計(jì)p1 - p2 ，分別從兩個總體中各隨機(jī)抽取樣本量為n1和n2的兩個隨機(jī)樣本，并計(jì)算兩個樣本的比率 p1 和 p2 ，可以證明p1 - p2的置信水平為1 的置信區(qū)間為：² 為了解員工對工資的滿意度，對250名男員工、200名女員工進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：區(qū)分樣本數(shù)滿意男250110女200104合計(jì)450214求男女員工對工資滿意度差異的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)->基本統(tǒng)計(jì)量->雙比率->匯總數(shù)據(jù)：第一（事件=110，實(shí)驗(yàn)=250），第二（事件=104，實(shí)驗(yàn)=200）->選項(xiàng)：置信水平=95 ->勾選使用P的合并估計(jì)值進(jìn)行檢驗(yàn) ->確定。雙比率檢驗(yàn)和置信區(qū)間 樣本 X N 樣本 p1 110 250 0.4400002 104 200 0.520000差值 = p (1) - p (2)差值估計(jì)值: -0.08差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.172630, 0.0126298)差值 = 0(與 0) 的檢驗(yàn): Z = -1.69 P 值 = 0.091Fisher 精確檢驗(yàn): P 值 = 0.106