13.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)課本P2226，思考并完成下列問題(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負有什么關(guān)系？ (2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？(3)怎樣求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果恒有f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)點睛對函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系的兩點說明(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f(x)0，在其余的點恒有f(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.2函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，其圖象比較陡峭即|f(x)|越大，則函數(shù)f(x)的切線的斜率越大，函數(shù)f(x)的變化率就越大1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增()(2)函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”()(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大()答案：(1)(2)(3)2函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)答案：D3函數(shù)f(x)2xsin x在(，)上()A是增函數(shù)B是減函數(shù)C在(0，)上單調(diào)遞增，在(，0)上單調(diào)遞減D在(0，)上單調(diào)遞減，在(，0)上單調(diào)遞增答案：A4. 函數(shù)yx3x在(，)上的圖象是_(填“上升”或“下降”)的答案：上升 判斷或討論函數(shù)的單調(diào)性典例已知函數(shù)f(x)ax33x21，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解 由題設(shè)知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.當a>0時，若x(，0)，則f(x)>0.f(x)在區(qū)間(，0)上為增函數(shù)若x，則f(x)<0，f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)若x，則f(x)>0，f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)當a<0時，若x，則f(x)<0.f(x)在上是減函數(shù)若x，則f(x)>0.f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)若x(0，)，則f(x)<0.f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的思路活學(xué)活用判斷函數(shù)yax31(aR)在(，)上的單調(diào)性解：y(ax31)3ax2.當a0時，y0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當a0時，y0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當a0時，y0，函數(shù)在R上不具備單調(diào)性.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)x33x1；(2)f(x)x(b0)解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)3x23，令f(x)0，則3x230.即3(x1)(x1)0，解得x1或x1.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，令f(x)0，則3(x1)(x1)0，解得1x1.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)(2)函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，f(x)1，令f(x)0，則(x)(x)0，x，或x.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)令f(x)0，則(x)(x)0，x，且x0.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和(0，)(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：確定函數(shù)f(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f(x)；在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0和f(x)<0；根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間不能用“”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開活學(xué)活用1設(shè)f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是()Ab24ac0Bb0，c0Cb0，c0 Db23ac0解析：選Da0，f(x)為增函數(shù)，f(x)3ax22bxc0恒成立，(2b)243ac4b212ac0，b23ac0.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bx(a、bR)的圖象過點P(1,2)，且在點P處的切線斜率為8.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)函數(shù)f(x)的圖象過點P(1,2)，f(1)2.ab1.又函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8，f(1)8，又f(x)3x22axb，2ab5.解由組成的方程組，可得a4，b3.(2)由(1)得f(x)3x28x3(3x1)(x3)，令f(x)>0，可得x<3或x>；令f(x)<0，可得3<x<.函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，3)，單調(diào)減區(qū)間為.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍典例若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，在(6，)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍解法一直接法f(x)x2axa1，令f(x)0得x1或xa1.當a11，即a2時，函數(shù)f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意當a1>1，即a>2時，f(x)在(，1)和(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減，由題意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7法二數(shù)形結(jié)合法如圖所示，f(x)(x1)x(a1) 在(1,4)內(nèi)f(x)0，在(6，)內(nèi)f(x)0，且f(x)0有一根為1，另一根在4,6上即5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,7法三轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題f(x)x2axa1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1, 4)上恒成立，所以ax1，因為2<x1<5，所以當a5時，f(x)0在(1, 4)上恒成立，又因為f(x)在(6，)上單調(diào)遞增，所以f(x)0在(6，)上恒成立，所以ax1，因為x1>7，所以a7時，f(x)0在(6，)上恒成立綜上知5a7.故實數(shù)a的取值范圍為5,71利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“”時是否滿足題意(2)先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“”時f(x)是否滿足題意2恒成立問題的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.活學(xué)活用若f(x)(xR)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，則a_.解析：f(x)2，f(x)在1,1上是增函數(shù)，f(x)20.(x22)20，x2ax20對x1,1恒成立令g(x)x2ax2，則即1a1.即a的取值范圍是1,1答案：1,1層級一學(xué)業(yè)水平達標1下列函數(shù)中，在(0，)內(nèi)為增函數(shù)的是()Aysin xByxexCyx3x Dyln xx解析：選BB中，y(xex)exxexex(x1)0在(0，)上恒成立，yxex在(0，)上為增函數(shù)對于A、C、D都存在x0，使y0的情況2若函數(shù)yx3x2mx1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選Cy3x22xm，由條件知y0在R上恒成立，412m0，m.3函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：選Df(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故選D.4.已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個圖象中，yf(x)的圖象大致是()解析：選C當0x1時，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上為減函數(shù)，排除A，B.當x1時，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上為增函數(shù)，排除D，故選C.5若函數(shù)ya(x3x)的單調(diào)減區(qū)間為，則a的取值范圍是()A(0，) B(1,0)C(1，) D(0,1)解析：選Aya(3x21)3a. 當x時，0，要使ya(x3x)在上單調(diào)遞減，只需y0，即a0.6函數(shù)f(x)cos xx的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：因為f(x)sin x0，所以f(x)在R上為增函數(shù)答案：(，) 7若函數(shù)yax3ax22ax(a0)在1,2上為增函數(shù)，則a_.解析：yax2ax2aa(x1)(x2)>0，當x(1,2)時，(x1)(x2)<0，a<0.答案：(，0)8若函數(shù)yx3ax有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是.解析：y4x2a，且y有三個單調(diào)區(qū)間，方程y4x2a0有兩個不等的實根，024(4)a>0，a>0.答案：(0，)9設(shè)函數(shù)f(x)x33ax23bx的圖象與直線12xy10相切于點(1，11)(1)求a，b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：(1)求導(dǎo)得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的圖象與直線12xy10相切于點(1，11)，所以f(1)11，f(1)12，即解得a1，b3.(2)由a1，b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0，解得x1或x3；又令f(x)0，解得1x3.所以當x(，1)時，f(x)是增函數(shù)；當x(1,3)時，f(x)是減函數(shù)；當x(3，)時，f(x)也是增函數(shù)10已知a0，函數(shù)f(x)(x22ax)ex.設(shè)f(x)在區(qū)間1,1上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exexx22(1a)x2a令f(x)0，即x22(1a)x2a0.解得x1a1，x2a1，令f(x)0，得xx2或xx1，令f(x)0，得x1xx2.a0，x1<1，x20.由此可得f(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)的充要條件為x21，即a11，解得a.故所求a的取值范圍為.層級二應(yīng)試能力達標1.已知函數(shù)f(x)ln x，則有()Af(2)<f(e)<f(3)Bf(e)<f(2)<f(3)Cf(3)<f(e)<f(2) Df(e)<f(3)<f(2)解析：選A在(0，)內(nèi)，f(x)>0，所以f(x)在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，所以有f(2)<f(e)<f(3)2.設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象最有可能的是()解析：選C由f(x)的圖象知，x(，0)時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)，x(0,2)時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)，x(2，)時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)只有C符合題意，故選C.3函數(shù)yxsin xcos x，x(，)的單調(diào)增區(qū)間是()A.和 B.和C.和 D.和解析：選Ayxcos x，當x時，cos x0，yxcos x0，當0x時，cos x0，yxcos x0.4設(shè)函數(shù)F(x)是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)<f(x)對于xR恒成立，則()Af(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)Bf(2)<e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)Cf(2)<e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)Df(2)>e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)解析：選C函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F(x)<0，函數(shù)F(x)是定義在R上的減函數(shù)，F(xiàn)(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)同理可得f(2 016)<e2 016f(0)故選C.5已知yx3bx2(b2)x3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為_解析：若yx22bxb20恒成立，則4b24(b2)0，1b2，由題意知，b1或b2.答案：(，1)(2，)6若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_解析：f(x)在(1，)上為減函數(shù)，f(x)0在(1，)上恒成立，f(x)x，x0，bx(x2)在(1，)上恒成立，g(x)x(x2)(x1)21，g(x)min1，b1.答案：(，17設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x0時，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)a時，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當x(，1)時，f(x)0；當x(1,0)時，f(x)0；當x(0，)時，f(x)0.故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1)，(0，)；單調(diào)減區(qū)間為(1,0)(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，則g(x)exa.若a1，則當x(0，)時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)0，從而當x0時，g(x)0，即f(x)0.當a1，則當x(0，ln a)時，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)0，從而當x(0，ln a)時，g(x)0，即f(x)0，不符合題意，綜上得a的取值范圍為(，18已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由(2)證明：f(x)x3ax1的圖象不可能總在直線ya的上方解：(1)已知函數(shù)f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由題意知3x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在x(1,1)上恒成立但當x(1,1)時，03x23，a3，即當a3時，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減(2)證明：取x1，得f(1)a2a，即存在點(1，a2)在f(x)x3ax1的圖象上，且在直線ya的下方即f(x)的圖象不可能總在直線ya的上方