專題突破三離心率的求法一、以漸近線為指向求離心率例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為_思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況，焦點(diǎn)位置也有兩種情況，分別討論即可考點(diǎn)題點(diǎn)答案2或解析由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，若其中一條漸近線的傾斜角為60，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30，如圖2所示所以雙曲線的一條漸近線的斜率k或k，即或.又b2c2a2，所以3或，所以e24或，所以e2或.同理，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，則有或，所以或，亦可得到e或2.綜上可得，雙曲線的離心率為2或.點(diǎn)評(píng)雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助進(jìn)行互求一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會(huì)有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論跟蹤訓(xùn)練1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，2)，則它的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析由題意知，過(guò)點(diǎn)(4，2)的漸近線的方程為yx，24，a2b.方法一設(shè)bk(k>0)，則a2k，ck，e.方法二e211，故e.二、以焦點(diǎn)三角形為指向求離心率例2如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_思維切入連接AF1，在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案1解析方法一如圖，連接AF1，由F2AB是等邊三角形，知AF2F130.易知AF1F2為直角三角形，則|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，從而雙曲線的離心率e1.方法二如圖，連接AF1，易得F1AF290，F(xiàn)1F2A30，F(xiàn)2F1A60，于是離心率e1.點(diǎn)評(píng)涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值跟蹤訓(xùn)練2橢圓1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案1解析方法一如圖，DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)，F(xiàn)1NF2N，|NF2|OF2|c，|NF1|c，由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a，cc2a，a，e1.方法二注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290，則由離心率的三角形式，可得e1.三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_思維切入通過(guò)2|AB|3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2c2a2，得到a和c的關(guān)系式，同時(shí)除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2解析如圖，由題意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，兩邊同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(負(fù)值舍去)點(diǎn)評(píng)求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來(lái)建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2a2b2，化簡(jiǎn)為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且ABBF，則橢圓的離心率為_考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率答案解析在ABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，將b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因?yàn)?<e<1，所以e.四、利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的取值范圍例4已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是_思維切入畫圖，通過(guò)圖像找出直線l與雙曲線漸近線斜率的關(guān)系，利用e求解考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2，)解析由題意知，即23，e2，故離心率e的取值范圍是2，)點(diǎn)評(píng)(1)當(dāng)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想得到已知直線與漸近線斜率的關(guān)系，得到的范圍，再利用e得到離心率的取值范圍(2)當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可聯(lián)立方程組應(yīng)用判別式>0，從而可得的范圍，再利用e即可得離心率的取值范圍跟蹤訓(xùn)練4設(shè)雙曲線C：y21(a>0)與直線l：xy1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A.B(，)C.D.(，)考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則1a20a21，且此時(shí)4a2(2a2)>0a2<2，所以a2(0,1)(1,2)另一方面，e，則a2，從而e(，)五、利用焦半徑的性質(zhì)求離心率的取值范圍例5已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)若橢圓上存在點(diǎn)P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為_思維切入答案(1,1)解析在PF1F2中，由正弦定理知，因?yàn)?，所以，即|PF1|e|PF2|.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a.將代入得|PF2|，又ac<|PF2|<ac，同除以a得，1e<<1e，又0<e<1，解得1<e<1.點(diǎn)評(píng)圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做該點(diǎn)的焦半徑(1)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac(2)雙曲線的焦半徑：點(diǎn)P與焦點(diǎn)F位于y軸同側(cè)時(shí)，其取值范圍為ca，)；點(diǎn)P與焦點(diǎn)F位于y軸異側(cè)時(shí)，其取值范圍為ca，)跟蹤訓(xùn)練5已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.B.C2D.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案B解析P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|，4|PF2|PF2|2a，即|PF2|a，根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得|PF2|aca，ac，又e>1，1<e，此雙曲線的離心率e的最大值為.1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是()A.B3C2D4考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線的方程為yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以雙曲線的離心率e2.2若雙曲線1(a>0，b>0)與直線y2x無(wú)交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)雙曲線離心率的取值范圍答案D解析由題意可得，雙曲線漸近線的斜率2，所以e.又e>1，所以離心率e的取值范圍是(1，3.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以F2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M，N，若過(guò)F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為()A.1B2C.D.考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)由a與c的關(guān)系式得離心率答案A解析過(guò)F1的直線MF1是圓F2的切線，F(xiàn)1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|c，由橢圓定義可得|MF1|MF2|cc2a，橢圓離心率e1.4已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，)考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線離心率的取值范圍答案B解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形，且AF2BF2，只要AF2B為鈍角即可由題設(shè)可得AF1，所以有>2c，即2ac<c2a2，解得e(1，)故選B.5過(guò)雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案2解析由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線方程為y(xc)由得x.由2a，e，解得e2(e2舍去)6已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線的左支上，且|MF2|7|MF1|，則此雙曲線的離心率的最大值為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析因?yàn)閨MF2|7|MF1|，所以|MF2|MF1|6|MF1|，即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，即e，當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立故此雙曲線離心率的最大值為.7已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓：x2y2b2相切于點(diǎn)Q，若Q是線段PF2的中點(diǎn)，e為C的離心率，則的最小值是_考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題答案解析如圖，連接PF1，OQ，由OQ為PF1F2的中位線，可得OQPF1，|OQ|PF1|.由圓x2y2b2，可得|OQ|b，則|PF1|2b.由橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a，即|PF2|2a2b.又OQPF2，所以PF1PF2，即(2b)2(2a2b)2(2c)2，即b2a22abb2c2a2b2，化簡(jiǎn)得2a3b，即ba.ca，則e.2，當(dāng)且僅當(dāng)a，即a時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.