2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 2.1 實際問題中導數(shù)的意義學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx
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2．1 實際問題中導數(shù)的意義 學習目標 1.利用實際問題加強對導數(shù)概念的理解.2.能利用導數(shù)求解有關實際問題． 知識點 實際問題中導數(shù)的意義 思考 某人拉動一個物體前進，他所做的功W(單位：J)是時間t(單位：s)的函數(shù)，設這個函數(shù)可以表示為W＝W(t)＝t3－4t2＋10t. (1)t從1s到4s時W關于t的平均變化率是多少？ (2)上述問題的實際意義是什么？ (3)W′(1)的實際意義是什么？ 答案 (1)＝＝11 (J/s)． (2)它表示從t＝1s到t＝4s這段時間內，這個人平均每秒做功11J. (3)W′(t)＝3t2－8t＋10， W′(1)＝5表示在t＝1s時每秒做功5J. 總結 (1)功與功率：在物理學中，通常稱力在單位時間內做的功為功率，它的單位是瓦特．功率是功關于時間的導數(shù)． (2)降雨強度：在氣象學中，通常把單位時間(如1時，1天等)內的降雨量稱作降雨強度，它是反映一次降雨大小的一個重要指標．降雨強度是降雨量關于時間的導數(shù)． (3)邊際成本：在經(jīng)濟學中，通常把生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)稱為邊際成本．邊際成本f′(x0)指的是當產(chǎn)量為x0時，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當產(chǎn)量為x0時，每增加一個單位的產(chǎn)量，需要增加f′(x0)個單位的成本． (4)瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度，它是位移s對時間t的導數(shù)；速度對時間的導數(shù)是加速度． (5)線密度：單位長度的物體質量稱為線密度，它是質量關于長度的導數(shù)． 1．導數(shù)解決的問題通常是變化率的問題．( √ ) 2．位移對時間的導數(shù)是速度，速度對時間的導數(shù)為加速度．( √ ) 3．導數(shù)的實際意義與變量表示的實際含義有關，同一個函數(shù)表達式，其導數(shù)的實際意義因變量實際含義的不同而不同．( √ ) 題型一 導數(shù)在物理學中的意義 例1 某質點的運動方程為s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(單位：m)，t是時間(單位：s)． (1)求當t從1s變到3s時，位移s關于時間t的平均變化率，并解釋它的實際意義； (2)求s′(1)，s′(2)，并解釋它們的實際意義． 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 解 (1)當t從1s變到3s時，s關于t的平均變化率為＝＝＝11(m/s)． 它表示從t＝1s到t＝3s這段時間內，該質點平均每秒的位移是11m. (2)由導數(shù)公式表和導數(shù)的運算法則可得s′(t)＝4t＋3，則s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝42＋3＝11(m/s)． s′(1)表示的是該質點在t＝1s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝1s這個時刻的瞬時速度為7m/s. s′(2)表示的是該質點在t＝2s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝2s這個時刻的瞬時速度為11m/s. 反思感悟 根據(jù)導數(shù)的實際意義，在物理學中，除了我們所熟悉的位移、速度與時間的關系、功與時間的關系，還應了解質量關于體積的導數(shù)為密度，電量關于時間的導數(shù)為電流強度等．因此，在解釋某點處的導數(shù)的物理意義時，應結合這些導數(shù)的實際意義進行理解． 跟蹤訓練1 某河流在一段時間xmin內流過的水量為ym3，y是x的函數(shù)，且y＝f(x)＝. (1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是多少？ (2)求f′(27)，并解釋它的實際意義． 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 解 (1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率為＝＝ (m3/min)． (2)f′(x)＝，于是f′(27)＝＝ (m3/min)，實際意義為當時間為27min時，水流量增加的速度為m3/min，也就是當時間為27min時，每增加1min，水流量增加m3. 題型二 導數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用 例2 某機械廠生產(chǎn)某種機器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關系為C(x)＝x2＋60x＋2050.求當日產(chǎn)量由10件提高到20件時，總成本的平均改變量，并說明其實際意義． 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用 解 當x從10件提高到20件時，總成本C從C(10)＝2675元變到C(20)＝3350元． 此時總成本的平均改變量為 ＝67.5(元/件)， 其表示日產(chǎn)量從10件提高到20件時平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量． 引申探究 1．若本例條件不變，求當日產(chǎn)量為75件時的邊際成本，并說明其實際意義． 解 因為C′(x)＝x＋60， 所以C′(75)＝75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是當日產(chǎn)量為75件時，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97.5元． 2．若本例的條件“C(x)＝x2＋60x＋2050”變?yōu)椤癈(x)＝x2＋ax＋2050，當日產(chǎn)量為75件時的邊際成本大于97.5”，求a的取值范圍． 解 因為C′(x)＝x＋a， 所以日產(chǎn)量為75件時的邊際成本大于97.5， 即C′(75)＝75＋a>97.5， 解得a>60. 反思感悟 生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)中，f′(x0)指的是當產(chǎn)量為x0時，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當產(chǎn)量為x0時，每增加一個單位的產(chǎn)量，需增加f′(x0)個單位的成本． 跟蹤訓練2 已知某商品的成本函數(shù)為C(Q)＝100＋(Q為產(chǎn)品的數(shù)量)． (1)求當Q＝10時的總成本、平均成本及邊際成本； (2)當產(chǎn)量Q為多少時，平均成本最??？最小為多少？ 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用 解 (1)當Q＝10時的總成本C(10)＝100＋＝125； Q＝10時的平均成本＝＝12.5. 邊際成本即成本函數(shù)C(Q)對產(chǎn)量Q的導數(shù)， 故邊際成本C′(Q)＝Q， Q＝10時的邊際成本是C′(10)＝5. (2)由(1)得，平均成本＝＝＋， 而＋≥2＝10， 當且僅當＝，即Q＝20時，等號成立， 所以當產(chǎn)量Q為20時，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 題型三 導數(shù)在日常生活中的應用 例3 一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品質量y(單位：g)是工作時間x(單位：h)的函數(shù)，設這個函數(shù)為y＝f(x)＝＋4. (1)求x從1h變到4h時，y關于時間x的平均變化率，并解釋它的實際意義； (2)求f′(1)，f′(4)，并解釋它的意義． 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在日常生活中的應用 解 (1)當x從1h變到4h時， 產(chǎn)量y從f(1)＝g變到f(4)＝g， 此時平均變化率為＝＝ (g/h)， 它表示從1h到4h這段時間這個人平均每小時生產(chǎn)g產(chǎn)品． (2)f′(x)＝＋， 于是f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)， 分別表示在第1小時和第4小時這個人每小時生產(chǎn)產(chǎn)品g和g. 反思感悟 在不同的實際問題中導數(shù)的意義是不相同的，要結合具體問題進行分析，在某一點處的導數(shù)的實際意義是當自變量在該點處的改變量趨近于零時，平均變化率所趨近的值，問題不同有不同的意義． 跟蹤訓練3 某年高考，某考生在參加數(shù)學考試時，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)＝2. (1)求x從0分鐘變化到36分鐘時，y關于x的平均變化率，并解釋它的實際意義； (2)求f′(64)，f′(100)，并解釋它的實際意義． 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在日常生活中的應用 解 (1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關于x的平均變化率為＝＝. 它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答道題． (2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝. 它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時每分鐘可解答和道題. 1．某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數(shù)關系是y＝f(x)，假設f(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較( ) A．公司已經(jīng)虧損 B．公司的盈利在增加，且增加的幅度變大 C．公司在虧損且虧損幅度變小 D．公司的盈利在增加，但增加的幅度變小 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在經(jīng)濟中的應用 答案 D 解析 導數(shù)為正說明盈利是增加的，導數(shù)變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的． 2．某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數(shù)，即W＝W(t)，則W′(t0)表示( ) A．t＝t0時做的功 B．t＝t0時的速度 C．t＝t0時的位移 D．t＝t0時的功率 考點 實際問題中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的應用 答案 D 解析 W′(t0)表示t＝t0時的功率． 3．某收音機制造廠的管理者通過對上午上班工人工作效率的研究表明：一個中等技術水平的工人，從8：00開始工作，t小時后可裝配晶體管收音機的臺數(shù)為Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，則Q′(2)＝________，它的實際意義是__________________________________． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在日常生活中的應用 答案 36臺/小時 10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時 解析 Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，則Q′(2)＝36， 由題意知10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時． 4．某物體的運動速度與時間的關系為v(t)＝2t2－1，則t＝2時的加速度為________． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案 8 解析 ∵v′(t)＝4t，∴v′(2)＝8. 5．建造一幢長度為xm的橋梁需成本y萬元，函數(shù)關系為y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)． (1)當x從100變到200時，平均每米的成本為____萬元； (2)f′(100)＝____________萬元/m， 其實際意義為____________________________． 答案 (1)30.1 (2)20.1 當長度為100m時，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元 解析 (1)f(100)＝1010.3，f(200)＝4020.3， ∴＝30.1(萬元/m)， 即平均變化率為30.1萬元/m. (2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(萬元/m)，即當長度為100m時，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元． 1．解決實際問題的一般思路：實際問題轉化為數(shù)學問題，數(shù)學問題的結論回到實際問題的結論． 2．解決實際問題的一般步驟 (1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系． (2)建模：將文字語言轉化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型． (3)解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解． (4)對結果進行驗證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案． 一、選擇題 1．一次降雨過程中，降雨量y是時間t的函數(shù)，用y＝f(t)表示，則f′(10)表示( ) A．t＝10時的降雨強度 B．t＝10時的降雨量 C．t＝10時的時間 D．t＝10時的溫度 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在日常生活中的應用 答案 A 解析 f′(t)表示t時刻的降雨強度． 2．圓的面積S是半徑r的函數(shù)S(r)＝πr2，那么在r＝3時，面積的變化率是( ) A．6B．9C．9πD．6π 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在日常生活中的意義 答案 D 解析 面積S在r＝3時的變化率為S′(3)＝2π3＝6π. 3．設一輛轎車在公路上做加速直線運動，假設速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)的函數(shù)關系為v＝v(t)＝t3＋3t，則t＝t0s時轎車的加速度為( ) A．t＋3t0 B．3t＋3 C．3t＋3t0 D．t＋3 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案 B 解析 v′(t)＝3t2＋3，則當t＝t0s時的速度變化率為v′(t0)＝3t＋3(m/s2)，則t＝t0s時轎車的加速度為(3t＋3) m/s2. 4．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內完成剎車，其位移(單位：m)關于時間(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為( ) A．汽車剎車后1s內的位移 B．汽車剎車后1s內的平均速度 C．汽車剎車后1s時的瞬時速度 D．汽車剎車后1s時的位移 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案 C 5．從時刻t＝0開始的ts內，通過某導體的電量(單位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，則第5s時電流強度為( ) A．27C/s B．20 C/s C．25C/s D．23 C/s 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案 D 解析 某導體的電量q在5s時的瞬時變化率就是第5s時的電流強度． ∵q′＝4t＋3， ∴當t＝5時，電流強度為45＋3＝23(C/s)． 6．汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖像可能是( ) 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案 A 解析 開始啟動，從原點開始；加速行駛，則路程的增速較快；勻速行駛，路程的增速是常數(shù)；減速行駛，路程的增速減慢，所以只有選項A合適． 7．已知一根金屬棒的質量y(單位：kg)是長度x(單位：m)的函數(shù)：y＝f(x)＝3，則從4m到9m這一段金屬棒的平均線密度是( ) A.kg/m B.kg/m C.kg/m D.kg/m 答案 B 解析?。剑?kg/m)． 8．如圖所示，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖像大致是( ) 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在日常生活中的應用 答案 D 解析 由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快．選項A表示面積的增速是常數(shù)，與實際不符；選項B表示最后時段面積的增速較快，與實際不符；選項C表示開始和最后時段面積的增速比中間時段面積的增速快，與實際不符；選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快，符合實際． 二、填空題 9．某物體的位移s是時間t的函數(shù)s＝2t3－at，物體在t＝1時的速度為8，則a的值為________． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案?。? 解析 s′＝6t2－a，由題意知612－a＝8，∴a＝－2. 10．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用 答案 9 解析 令y′＝－x2＋81＝0，得x＝9或－9(舍去)， 當x＝9時，ymax＝252. 11．一物體沿直線運動的方程為s(t)＝t4－t3＋2t2，那么速度為0的時刻為(s單位：m，t單位：s)________． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 答案 0s,1s,4s 解析 s′(t)＝t3－5t2＋4t，根據(jù)導數(shù)的意義可知v＝s′(t)，令t3－5t2＋4t＝0，解得t＝0或t＝1或t＝4. 三、解答題 12．在F1賽車中，賽車位移s與比賽時間t存在函數(shù)關系s＝10t＋5t2(s的單位為m，t的單位為s)． 求：(1)當t＝20，Δt＝0.1時的Δs與； (2)當t＝20時的瞬時速度． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在物理學中的意義 解 (1)因為Δs＝s(20.1)－s(20) ＝(1020.1＋520.12)－(1020＋5202) ＝21.05(m)， 所以＝＝210.5(m/s)． (2)因為s′＝10＋10t，所以當t＝20時， s′＝10＋1020＝210(m/s)， 即t＝20時的瞬時速度為210m/s. 13．某食品廠生產(chǎn)某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單位：元)都是日產(chǎn)量x(單位：kg)的函數(shù)，分別為C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，試求邊際利潤函數(shù)以及當日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟意義． 考點 實際生活中導數(shù)的意義 題點 導數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用 解 (1)根據(jù)定義知，總利潤函數(shù)為 L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2， 所以邊際利潤函數(shù)為L′(x)＝5－0.02x. (2)當日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時，邊際利潤分別為L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1. 其經(jīng)濟意義是：當日產(chǎn)量為200kg時，每增加1kg，則總利潤可增加1元；當日產(chǎn)量為250kg時，每增加1kg，則總利潤無變化；當日產(chǎn)量為300kg時，每增加1kg，則總利潤減少1元．由此可得：當企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超過了邊際利潤的零點時，反而會使企業(yè)“無利可圖”． 14．向高為8m，底面邊長為8m的倒置四棱錐形的容器內注水，其速度為每分鐘m3，則當水深為5m時，水面上升的速度為________m/min. 答案 解析 設注水tmin時，水的深度為hm，則容器內水的體積為t＝h2h， 則h＝2t， 所以h′(t)＝t－. 當h＝5時，t＝， 故v＝h′＝(m/min)． 15．日常生活中的飲用水通常是通過凈化得到的，隨著水純凈度的增加，所需凈化費用不斷增加，已知將1t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝ (80
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