專題16 圓錐曲線的基本量問題【自主熱身，歸納總結(jié)】1、雙曲線1的漸近線方程為_【答案】： x2y0 把雙曲線方程中等號右邊的1換為0，即得漸近線方程該雙曲線的漸近線方程為0，即x2y0.2、 已知橢圓C的焦點坐標(biāo)為F1(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)，且橢圓C過點A(3，1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【解析】 AF1+ AF2=，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C與雙曲線x21有公共的漸近線，且經(jīng)過點P(2，)，則雙曲線C的焦距為_【答案】. 4解法1 與雙曲線x21有公共的漸近線的雙曲線C的方程可設(shè)為x2，又它經(jīng)過點P(2，)，故41，即3，所以雙曲線C的方程為1，故a23，b29，c2a2b212，c2，2c4.解法2 因為雙曲線x21的漸近線方程為yx，且雙曲線C過點P(2，)，它在漸近線yx的下方，而雙曲線C與x21具有共同的漸近線，所以雙曲線C的焦點在x軸上，設(shè)所求的雙曲線方程為1(a>0，b>0)，從而解得從而c2，故雙曲線C的焦距為4.4、若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是 【解析】 由，得 【變式2】、已知拋物線x22py(p0)的焦點F是橢圓1(ab0)的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經(jīng)過焦點F，則該橢圓的離心率為_【答案】 1解法1由拋物線方程可得，焦點為F；由橢圓方程可得，上焦點為(0，c)故c，將yc代入橢圓方程可得x.又拋物線通徑為2p，所以2p4c，所以b2a2c22ac，即e22e10，解得e1.解法2由拋物線方程以及直線y可得，Q.又c，即Q(2c，c)，代入橢圓方程可得1，化簡可得e46e210，解得e232，e2321(舍去)，即e1(負(fù)值舍去)解后反思 本題是典型的在兩種曲線的背景下對圓錐曲線的幾何性質(zhì)的考查這類問題首先要明確不同曲線的幾何性質(zhì)對應(yīng)的代數(shù)表示本題有兩個解法，解法1將直線yc與拋物線、橢圓相交所得弦長求出后，利用等量關(guān)系求離心率，其所得等量關(guān)系比解法2簡單【變式3】、如圖，已知過橢圓的左頂點作直線交軸于點，交橢圓于點，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為 .【答案】： 思路分析1：由于，故可將Q點的坐標(biāo)用A，P的坐標(biāo)表示出來，利用點Q在橢圓上，得到關(guān)于的一個等式關(guān)系，求出橢圓的離心率。解法1因為是等腰三角形，所以，故，又，所以，由點在橢圓上得，解得，故離心率。思路分析2：由于點Q是直線AP與橢圓的交點，故將直線AP方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，求出點Q的坐標(biāo)，再由得到點Q的坐標(biāo)，由此得到關(guān)于的一個等式關(guān)系，求出橢圓的離心率。解法2 因為是等腰三角形，所以，故設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立并消去得：，從而，即，又由，得，故，即，故?！娟P(guān)聯(lián)1】、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：xy10與雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩條漸近線都相交且交點都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是_【答案】. (1，)【解析】：雙曲線的漸近線為yx，yx，依題意有>1，即b<a，e<.又因為是雙曲線，所以e的取值范圍是(1，)【關(guān)聯(lián)2】、設(shè)點P是有公共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓C1與雙曲線C2的一個交點，且PF1PF2，橢圓C1的離心率為e1，雙曲線C2的離心率為e2，若e23e1，則e1_.【關(guān)聯(lián)3】、如圖，橢圓C：1(ab0)，圓O：x2y2b2，過橢圓C的上頂點A的直線l：ykxb分別交圓O、橢圓C于不同的兩點P，Q，設(shè).(1) 若點P(3,0)，點Q(4，1)，求橢圓C的方程；(2) 若3，求橢圓C的離心率e的取值范圍【解析】 (1) 由P在圓O：x2y2b2上，得b3.又點Q在橢圓C上，得1，解得a218，所以橢圓C的方程是1.(5分)(2) 解法1 由得x0或xP.(7分)由得x0或xQ.(9分)因為，3，所以，所以，即，所以k24e21.因為k20，所以4e21，即e，又0e1，所以e1.(16分)解法2 A(0，b)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有xyb2，1.(7分)又因為，3，所以，即(x1，y1b)(x2，y2b)解得x2x1，y2y1b，代入得1.(9分)又xb2y，消去x整理得2(a2b2)ya2by1b2(a22b2)0，即2(a2b2)y1b(a22b2)(y1b)0，解得，y1或y1b(舍去)，因為by1b，所以bb，解得.(14分)而e211，即e，又0e1，所以e1.(16分)解后反思 【解析】幾何題的解題思路一般很容易覓得，實際操作時，往往不是因為難于實施，就是因為實施起來運算繁瑣而被卡住，最終放棄此解法，因此方法的選擇特別重要從思想方法層面講，【解析】幾何主要有兩種方法：一是設(shè)線法；二是設(shè)點法此題的解法1就屬于設(shè)線法，解法2就屬于設(shè)點法一般地，設(shè)線法是比較順應(yīng)題意的一種解法，它的參變量較少，目標(biāo)集中，思路明確；而設(shè)點法要用好點在曲線上的條件，技巧性較強，但運用得好，解題過程往往會顯得很簡捷對于這道題，這兩種解法差別不是很大，但對于有些題目方法選擇的不同差別會很大，注意從此題的解法中體會設(shè)點法和設(shè)線法的精妙之處 所以，所以， 8分所以， 所以AB的垂直平分線方程為因為DA=DB，所以點D為AB的垂直平分線與x軸的交點，所以，所以 10分因為橢圓的左準(zhǔn)線的方程為，離心率為，由第二定義得：，得，同理所以 12分（或直接用弦長公式得：也可）所以綜上，得的值為4 14分方法2：設(shè)，AB的中點為， 若直線與x軸重合，； 6分 若直線不與x軸重合，設(shè)，AB的中點為，由得，所以，所以直線的斜率為， 8分所以AB的垂直平分線方程為因為DA=DB，所以點D為AB的垂直平分線與x軸的交點，所以，所以 10分同方法一，有， 12分所以 綜上，得的值為4 14分方法3： 若直線AB與x軸重合， 6分 若直線AB不與x軸重合，設(shè)，則AB的中點為，所以AB的垂直平分線方程為 8分令y=0，得 所以 10分同方法一，有， 12分所以 綜上，得的值為4 14分【關(guān)聯(lián)4】、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P在橢圓C：1(a>b>0)上，P到橢圓C的兩個焦點的距離之和為4.(1) 求橢圓C的方程；(2) 若點M，N是橢圓C上的兩點，且四邊形POMN是平行四邊形，求點M，N的坐標(biāo)規(guī)范解答 (1)由題意知，1,2a4. (2分)解得a24，b23，所以橢圓的方程為1. (4分)(2) 解法1 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則ON的中點坐標(biāo)為，PM的中點坐標(biāo)為.因為四邊形POMN是平行四邊形，所以即(6分)由點M，N是橢圓C上的兩點，所以(8分)解得或 (12分)由得由得所以點M，點N(2,0)；或點M(2,0)，點N.(14分)解法2 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為四邊形POMN是平行四邊形，所以，所以(x2，y2)(x1，y1)，即(6分)由點M，N是橢圓C上的兩點，所以 (8分)用得x12y120，即x122y1，代入(1)中得3(22y1)24y12，整理得2y3y10，所以y10或y1，于是或(12分)由得由得所以點M，點N(2,0)；或點M(2,0)，點N.(14分)解法3 因為四邊形POMN是平行四邊形，所以，因為點P，所以|MN|OP|，且kMNkOP，(6分)設(shè)直線MN方程為yxm(m0)，聯(lián)立得3x23mxm230，(*)所以(3m)243(m23)>0，即m212<0，從而m(2，0)(0,2)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2m，x1x2，(8分)且|MN|x1x2|，又知|MN|，所以，整理得m290，所以m3或m3.(12分)