考點(diǎn)測(cè)試67變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例高考概覽考綱研讀1會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系2了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程3了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用4了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用一、基礎(chǔ)小題1已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是123，樣本點(diǎn)的中心為(4，5)，則回歸直線的方程是()A123x4 B123x5C123x008 D008x123答案C解析選項(xiàng)D顯然錯(cuò)誤因?yàn)榛貧w方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，把點(diǎn)(4，5)代入選項(xiàng)A，B，C檢驗(yàn)，滿足的只有選項(xiàng)C故選C2在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1，2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A1 B0 C D1答案D解析由題設(shè)知，這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1故選D3甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r082078069085m106115124103則試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是()A甲 B乙 C丙 D丁答案D解析r越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)，丁同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性故選D4在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，則下列說(shuō)法中正確的是()A100個(gè)吸煙者中至少有99人患肺癌B1個(gè)人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌C在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒有答案D解析統(tǒng)計(jì)的結(jié)果只是說(shuō)明事件發(fā)生可能性的大小，具體到一個(gè)個(gè)體不一定發(fā)生故選D5設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為085x8571，則下列結(jié)論中不正確的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)C若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加085 kgD若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為5879 kg答案D解析由于線性回歸方程中x的系數(shù)為085，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確又線性回歸方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)，因此B正確由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1 cm，其體重約增加085 kg，故C正確當(dāng)某女生的身高為170 cm時(shí)，其體重估計(jì)值是5879 kg，而不是具體值，因此D不正確6以模型ycekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)zln y，其變換后得到線性回歸方程z03x4，則c_答案e4解析因?yàn)閥cekx，所以兩邊取對(duì)數(shù)，可得ln yln (cekx)ln cln ekxln ckx，令zln y，可得zln ckx因?yàn)閦03x4，所以ln c4，所以ce4二、高考小題7(2017山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)其回歸直線方程為x已知i225，i1600，4該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為()A160 B163 C166 D170答案C解析i225，i225i1600，i160又4，160422570回歸直線方程為4x70將x24代入上式得42470166故選C8(2017全國(guó)卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)答案A解析對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確故選A三、模擬小題9(2018合肥質(zhì)檢)某公司一種型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如下表：月份(x)23456銷售額y/萬(wàn)元151163170172184根據(jù)上表可得到回歸直線方程075x，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額約為()A195萬(wàn)元 B1925萬(wàn)元C1915萬(wàn)元 D1905萬(wàn)元答案D解析由表可知(23456)4，(15116317172184)168，則樣本中心點(diǎn)(4，168)在線性回歸直線上，故1680754，得138故當(dāng)x7時(shí)，07571381905故選D10(2019衡陽(yáng)模擬)某城市收集并整理了該市2018年1月份至10月份每月最低氣溫與最高氣溫(單位：)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖已知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)B10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫C月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月份D最低氣溫低于0 的月份有4個(gè)答案D解析由圖觀察可得，當(dāng)最低氣溫較大時(shí)，最高氣溫也較大，故A正確；10月份的最高氣溫大于20 ，而5月份的最高氣溫不超過(guò)20 ，故B正確；從各月的溫差看，1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于0 的月份是1，2，4三個(gè)月份故選D11(2018河北邯鄲二模)觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()答案D解析在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，在四個(gè)選項(xiàng)中(等高的條形圖)中，若x1，x2所占比例相差越大，則分類變量x，y的相關(guān)性越強(qiáng)故選D12(2018河北武邑中學(xué)調(diào)研)為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100次和150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說(shuō)法正確的是()Al1和l2有交點(diǎn)(s，t)Bl1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)Cl1與l2必定平行Dl1與l2必定重合答案A解析由題意知(s，t)是甲、乙兩位同學(xué)所做試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的中心，而線性回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心故選A13(2018大連雙基測(cè)試)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為x若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1，0)和(2，2)求得的直線方程為ybxa，則以下結(jié)論正確的是()A>b，>a B>b，<aC<b，>a D<b，<a答案C解析解法一：由兩組數(shù)據(jù)(1，0)和(2，2)可求得直線方程為y2x2，從而b2，a2而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得，所以<b，>a選C解法二：根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示，可直接判斷：從l2旋轉(zhuǎn)到l1，斜率變大，縱截距變小，即<b，>a選C一、高考大題1(2018全國(guó)卷)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，17)建立模型：304135t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，7)建立模型：99175t(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由解(1)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為304135192261(億元)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為9917592565(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠理由如下：()從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y304135t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型99175t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠()從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值2261億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠2(2018全國(guó)卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2，P(K2k0)005000100001k03841663510828解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為855分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為735分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖知m80列聯(lián)表如下：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K2的觀測(cè)值k10>6635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異3(2017全國(guó)卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到001)P(K2k)005000100001k3841663510828，K2解(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”由題意知P(A)P(BC)P(B)P(C)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(00120014002400340040)5062，故P(B)的估計(jì)值為062新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0068004600100008)5066，故P(C)的估計(jì)值為066因此，事件A的概率的估計(jì)值為06206604092(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K215705由于15705>6635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(000400200044)5034<05，箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0004002000440068)5068>05，故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為505235(kg)二、模擬大題4(2018太原二模)按照國(guó)家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在100，120)內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測(cè)這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，對(duì)規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行檢測(cè)下表是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，下圖是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖表甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值95，100)100，105)105，110)110，115)115，120)120，125頻數(shù)14192051圖乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖(1)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)？甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品不合格品合計(jì)(2)根據(jù)上表和上圖，對(duì)甲、乙兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；(3)將頻率視為概率，若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個(gè)數(shù)為X，求X的期望E(X)附：P(K2k0)01500100005000250010k020722706384150246635K2，nabcd解(1)列聯(lián)表為甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品484391不合格品279合計(jì)5050100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K230533053>2706，有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)(2)根據(jù)題意可知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值主要集中在105，115)之間，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散因此，可以認(rèn)為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高，且質(zhì)量指標(biāo)值更穩(wěn)定，從而甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備(3)由題知，XB3，E(X)35(2018湖北第二次聯(lián)考)菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲的危害，但蔬菜上市時(shí)仍存在少量的殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要用清水清洗干凈，下表是用清水x(單位：千克)清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位：微克)的統(tǒng)計(jì)表：x12345y5854392910(1)在右面的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并判斷變量x與y是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(2)若用解析式cx2d作為蔬菜上農(nóng)藥殘留量與用水量x的回歸方程，令wx2，計(jì)算平均值與，完成以下表格，求出與x的回歸方程(c，d保留兩位有效數(shù)字)；w1491625y5854392910wiyi(3)對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于20微克時(shí)對(duì)人體無(wú)害，為了放心食用該蔬菜，請(qǐng)估計(jì)需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精確到01，參考數(shù)據(jù)：2236)附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，解(1)變量x與y是負(fù)相關(guān)(2)由題中表格易得11，38，w1491625y5854392910wi1072514yi20161928c20，dc381160，20w6020x260(3)當(dāng)<20時(shí)，20x260<20，即x>245，為了放心食用該蔬菜，估計(jì)需要用45千克的清水清洗一千克蔬菜