專題05 不等式1不等關(guān)系(1)用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式(2)不等式的性質(zhì)實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)的關(guān)系a>b；a<b.不等式的性質(zhì)對稱性：；(雙向性)傳遞性：a>b，b>c；(單向性)可加性：a>bac>bc；(雙向性)a>b，c>d；(單向性)可乘性：；(單向性) a>b，c<0ac<bc；(單向性)a>b>0，c>d>0；(單向性)乘方法則：；(單向性)開方法則：a>b>0(nN，n2)(單向性)注意：（1）應(yīng)用傳遞性時，若兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，則等號無法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號.2一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有三種形式：一般式：；頂點式：；兩根式：.(2)三個“二次”之間的關(guān)系判別式的圖象一元二次方程的根有兩相異實根有兩相等實根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集(3)一元二次不等式的解法：一化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式二判：計算對應(yīng)方程的判別式三求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集(4) 一元二次不等式恒成立問題恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且恒成立的充要條件是：且或且恒成立的充要條件是：且或且3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題(1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線能夠通過取特殊點，由不等式的符號來確定不等式表示的平面區(qū)域.通常情況下取，若不等式相應(yīng)的直線過，則可在坐標(biāo)軸上取或.(2)簡單的線性規(guī)劃解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的一般步驟：根據(jù)給定的約束條件畫出相應(yīng)的可行域，考察目標(biāo)函數(shù)的特征，并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時的點的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求最值.通常情況下，給定的約束條件多為二元一次不等式組，常見的目標(biāo)函數(shù)有：型的線性目標(biāo)函數(shù)；型的斜率型目標(biāo)函數(shù)；型的兩點間距離型目標(biāo)函數(shù)等.使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點一般是可行域邊界的交點，求出交點坐標(biāo)，并代入目標(biāo)函數(shù)，可以快捷、準(zhǔn)確地計算最值，但要注意可行域的邊界是否是實線.解含參數(shù)的線性規(guī)劃問題通常有以下兩種類型：i)條件不等式組中含有參數(shù)，此時不能明確可行域的形狀，因此增加階梯式畫圖分析的難度.求解這類問題時，要有全局觀，要能夠結(jié)合目標(biāo)函數(shù)取得最值的情況進行逆向分析，利用目標(biāo)函數(shù)取得最值時所得的直線與約束條件所對應(yīng)的直線形成交點，求解參數(shù).ii)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù)，旨在增加探索問題的動態(tài)性和開放性.要能夠從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，多圖形的動態(tài)分析，對變化過程中的相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位，以此解決問題.4利用基本不等式求最值問題(1)基本不等式：，成立的條件：.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號(2)利用基本不等式求最值問題如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，xy有最小值是.(簡記：積定和最小)如果和xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)(3)常用的不等式模型：基本不等式鏈：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.一、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式【例1】設(shè)，若12,24，則的取值范圍是_【答案】【名師點睛】（1）此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運算求得整體范圍；（2）求范圍問題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴大變量取值范圍【例2】已知全集=，集合，則A B C D【答案】D【解析】由題知，=，故選D【名師點睛】一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號，則其解集在兩根之間簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間求解時注意對二次項系數(shù)進行討論.【例3】不等式的解集是A B C D 【答案】B【名師點睛】對于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.二、線性規(guī)劃【例4】已知點x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為A5 B6C7 D8【答案】C【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作直線并平移知，當(dāng)直線經(jīng)過點A時,z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過點B時,z取得最小值.由,得,即A(2,3),故zmax=9.由,得,即B(0,2),故zmin=2,故z的最大值與最小值之差為7,選C.【名師點睛】求解時需要注意以下幾點：（1）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時，最優(yōu)解只有1個.如邊界為實線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時，會在某個頂點處取得最值.（2）同時有多個可行解取得一樣的最值時，最優(yōu)解有多個.如邊界為實線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與某一邊界線平行時，會有多個最優(yōu)解.（3）可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時也就不存在最優(yōu)解.（4）形如z=AxBy(B0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時取到最值，還要看B的符號【例5】已知不等式組表示的平面區(qū)域為,若直線：與區(qū)域D有公共點，則實數(shù)的取值范圍是A BC D【答案】A【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因為，所以直線過定點（1，），且斜率為，如圖所示，當(dāng)直線過點時，取得最小值；當(dāng)直線過點時，取得最大值，所以的取值范圍是，故選A.【名師點睛】求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).【例6】已知實數(shù)滿足約束條件則的取值范圍為 .【答案】【解析】依題意，.作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示（含邊界）.表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點連線的斜率，觀察可知，則，所以，所以，故的取值范圍為.【名師點睛】斜率問題是線性規(guī)劃延伸變化的一類重要問題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問題，不過是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見模型或其變形形式.三、基本不等式【例7】若x0，y0，且x2y1，則的最小值為_【答案】【名師點睛】利用基本不等式求最值的注意點：（1）要能夠通過恒等變形及配湊，使其“和”或“積”為定值；（2）要注意在正數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用基本不等式，同時等號成立的條件要驗證.【例8】若實數(shù)，且，則的最小值為A BC D 【答案】D【解析】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選擇D【名師點睛】基本不等式的常用變形(1)ab2(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立(2)a2b22ab，ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立(3)2(a，b同號且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立(4)a2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，等號成立；a2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時，等號成立1若a>b>0，c<d<0，則一定有A BC D【答案】C2已知函數(shù)的定義域為集合，集合，則為A BC D【答案】B【解析】由題可知所以故選B3不等式0的解集為A(-,-3 B(1,2C(-,-31,2 D(-,-3(1,2【答案】D【解析】由0得,解得或,故選D.4若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是A2，) B(，6C6,2 D(，62，)【答案】D5已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前9項和，則的最小值為ABCD【答案】B【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故選B6已知動點滿足，則的最大值是A50B60C70D100【答案】D【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，由得，平移直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過點C時，直線的縱截距最大，此時最大易得，所以故目標(biāo)函數(shù)的最大值為故選D7已知函數(shù)，則的最小值是_【答案】8已知實數(shù)滿足記點圍成的封閉區(qū)域為，若的最大值為8，則的面積為_【答案】12【解析】依題意，區(qū)域是以點，為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，z有最大值8，即，解得，故點到直線的距離為，而，故的面積為9已知實數(shù)滿足約束條件，記該不等式組所表示的平面區(qū)域為，且，現(xiàn)有如下說法：；.則上述說法正確的有_.（橫線上填寫所有正確命題的序號）【答案】 1（2017新課標(biāo)全國理科）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則A2x<3y<5zB5z<2x<3yC3y<5z<2xD3y<2x<5z【答案】D【解析】令，則，則，則，故選D.2（2018新課標(biāo)全國理科）已知集合，則A B CD 【答案】B3（2017新課標(biāo)全國理科）設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是ABCD【答案】A【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點處取得最小值，故選A4（2018新課標(biāo)全國理科）若，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】6【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點A時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.5（2018新課標(biāo)全國理科）若滿足約束條件 則的最大值為_【答案】9【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，則目標(biāo)函數(shù)可化為，由圖可知，當(dāng)直線過點A時，取得最大值，由得A（5,4），則.