專題對(duì)點(diǎn)練257.17.3組合練(限時(shí)90分鐘,滿分100分)一、選擇題(共9小題,滿分45分)1.直線x-3y+3=0與圓(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦長為()A.30B.532C.42D.332.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43B.-34C.3D.23.圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離的差是()A.18B.62C.52D.424.已知直線l:mx+y-1=0(mR)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對(duì)稱軸,過點(diǎn)A(-2,m)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|為()A.4B.25C.42D.35.若直線2x+y-4=0,x+ky-3=0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓,則此四邊形的面積為()A.114B.554C.4120D.56.已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx=y+4(k>0)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若四邊形PACB面積的最小值是2,則k的值是()A.2B.212C.2D.227.(2018全國,文10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.2B.2C.322D.228.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=19.已知離心率為52的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn),且OMMF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若SOMF2=16,則雙曲線C的實(shí)軸長是()A.32B.16C.8D.4二、填空題(共3小題,滿分15分)10.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,已知點(diǎn)C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A,若FAC=120,則圓的方程為.11.(2018江蘇,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為32c,則其離心率的值為.12.(2018浙江,17)已知點(diǎn)P(0,1),橢圓x24+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A,B滿足AP=2PB,則當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.三、解答題(共3個(gè)題,滿分分別為13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程;(2)P為軌跡M上動(dòng)點(diǎn),PBC的外接圓為O1(O1為圓心),當(dāng)P在M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值.14.已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為233,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.15.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),EFA的面積為b22.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上,|FQ|=32c,延長線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PMQN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.求直線FP的斜率;求橢圓的方程.專題對(duì)點(diǎn)練25答案1.A解析 圓(x-1)2+(y-3)2=10的圓心坐標(biāo)為(1,3),半徑r=10,圓心到直線x-3y+3=0的距離d=|1-9+3|10=510,故弦|AB|=210-2510=30,故選A.2.A解析 由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圓心坐標(biāo)為(1,4).因?yàn)閳Ax2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,所以|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故選A.3.B解析 由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,圓半徑r=32.圓上的點(diǎn)到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離分別是d+r,d-r,其兩者之差即為圓的直徑,故圓的點(diǎn)到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離的差是62,故選B.4.A解析 由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,圓心C(2,-1),r=2.由題意可得,直線l:mx+y-1=0經(jīng)過圓C的圓心(2,-1),則2m-1-1=0,m=1,故點(diǎn)A(-2,1).|AC|=20,|CB|=r=2,切線的長|AB|=20-4=4.5.C解析 圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),因?yàn)閤軸與y軸垂直,所以2x+y-4=0與x+ky-3=0垂直.所以21+1k=0,解得k=-2,直線2x+y-4=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(2,0),(0,4),x+ky-3=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為0,-32,(3,0),兩直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為-25,所以四邊形的面積為12332-12125=4120,故選C.6.C解析 圓的方程為x2+(y-1)2=1,圓心C(0,1),半徑r=1.根據(jù)題意,若四邊形面積最小,當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí),即距離為圓心到直線l的距離最小時(shí),切線長PA,PB最小.切線長為2,|PA|=|PB|=2,圓心到直線l的距離為d=5.直線方程為y+4=kx,即kx-y-4=0,5=|-4-1|1+k2,解得k=2,k>0,所求直線的斜率為2.故選C.7.D解析 雙曲線C的離心率為2,e=ca=2,即c=2a,a=b.其漸近線方程為y=x,故(4,0)到C的漸近線的距離d=|4|2=22.8.D解析 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,且OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.9.B解析 設(shè)F2(c,0),雙曲線C一條漸近線方程為y=bax,可得|F2M|=bca2+b2=b.OMMF2,|OM|=c2-b2=a,由SOMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,解得a=8,即有雙曲線的實(shí)軸長為16.故選B.10.(x+1)2+(y-3)2=1解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,由題意可設(shè)圓C的方程為(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),則C(-1,b),A(0,b).FAC=120,kAF=tan 120=-3,直線AF的方程為y=-3x+3.點(diǎn)A在直線AF上,b=3.則圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1.11.2解析 因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線y=bax的距離為|bc0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因?yàn)閍2=c2-b2=c2-34c2=14c2,所以a=12c,e=2.12.5解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).P(0,1),AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1).AP=2PB,-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),即x1=-2x2,y1=3-2y2.又x124+y12=m,(-2x2)24+(3-2y2)2=m,即4x224+4y22-12y2+9=m.又x224+y22=m,4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.x224+m+342=m,即x22+m2+6m+94=4m,即x22=-m24+52m-94.當(dāng)m=5時(shí),x22的最大值為4,即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.13.解 (1)根據(jù)題意知,動(dòng)點(diǎn)A滿足橢圓的定義,設(shè)橢圓的方程x2a2+y2b2=1(a>b>0且y0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=3,所以,動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M滿足的方程為x24+y23=1(y0).(2)設(shè)P(x0,y0),不妨設(shè)0<y03,線段PB的垂直平分線方程為y-y02=-x0+1y0x-x0-12,線段BC的垂直平分線方程為x=0,兩條垂線方程聯(lián)立求得y=-x0+1y0-x0-12+y02=x02-12y0+y02.因?yàn)閤024+y023=1,所以y=32y0-y06,所以O(shè)1的圓心O1到x軸的距離d=32y0-y06.又知y=32y0-y06在(0,3)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù),所以當(dāng)y0=3時(shí),ymin=33,所以dmin=33.14.解 (1)設(shè)F(c,0),由條件知2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為x24+y2=1.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當(dāng)=16(4k2-3)>0,即k2>34時(shí),x1,2=8k24k2-34k2+1.從而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+14k2-34k2+1.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=2k2+1,所以O(shè)PQ的面積SOPQ=12d|PQ|=44k2-34k2+1.設(shè)4k2-3=t,則t>0,SOPQ=4tt2+4=4t+4t.因?yàn)閠+4t4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=72時(shí),等號(hào)成立,且滿足>0,所以,當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),l的方程為y=72x-2或y=-72x-2.15.解 (1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因?yàn)?<e<1,解得e=12.所以,橢圓的離心率為12.(2)依題意,設(shè)直線FP的方程為x=my-c(m>0),則直線FP的斜率為1m.由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34.由a=2c,可得b=3c,故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1.由得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得點(diǎn)Pc,3c2,進(jìn)而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP.因?yàn)镼NFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面積為12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面積等于75c232,由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,橢圓的方程為x216+y212=1.