第2講線性規(guī)劃與基本不等式考情考向分析1.線性規(guī)劃的要求是A級，主要考查線性目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最值.2.基本不等式是江蘇考試說明中的C級內(nèi)容，高考會重點(diǎn)考查主要考查運(yùn)用基本不等式求最值及其在實(shí)際問題中的運(yùn)用，試題難度中檔以上熱點(diǎn)一簡單的線性規(guī)劃問題例1(1)(2017全國)設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_答案5解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由z3x2y得yx，求z的最小值，即求直線yx在y軸上的截距的最大值，當(dāng)直線yx過圖中點(diǎn)A時(shí)，其在y軸上的截距最大，由解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，此時(shí)z3(1)215.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是_答案解析不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(3，1)，(3,2)和為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，設(shè)z，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率，則當(dāng)z經(jīng)過(3，1)時(shí)取得最小值，經(jīng)過點(diǎn)(3,2)時(shí)取得最大值，故的取值范圍是.思維升華線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是： 畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較；一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤演練1(1)設(shè)變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy的最小值為2，則a_.答案2解析約束條件對應(yīng)的可行域是以點(diǎn)(1,1)，(1,3)和(2,2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過點(diǎn)(1,1)時(shí)，z取得最小值，則zmina12，即a3(舍去)；當(dāng)a<1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過點(diǎn)(2,2)時(shí)，z取得最小值，則zmin2a22，即a2，符合題意，故a2.(2)甲、乙兩種食物的維生素含量如下表：維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，則混合物重量的最小值為_ kg.答案30解析設(shè)甲食物重x kg，乙食物重y kg，維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，由得A(20,10)，混合物重zxy，平移直線zxy，由圖知，當(dāng)直線過A(20,10)時(shí)，z取最小值為201030.熱點(diǎn)二利用基本不等式求最值例2(1)(2018蘇北六市模擬)已知a，b，c均為正數(shù)，且abc4(ab)，則abc的最小值為_答案8解析abc4(ab)，c，abcabab22448.(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)，等號成立)(2)設(shè)ABC的BC邊上的高ADBC，a，b，c分別表示角A，B，C對應(yīng)的三邊，則的取值范圍是_答案 2，解析因?yàn)锽C邊上的高ADBCa，所以SABCa2bcsin A，所以sin A.又因?yàn)閏os A，所以2cos Asin A，同時(shí)2(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號成立)，所以2，思維升華用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號成立的條件跟蹤演練2(1)設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_答案3解析a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)，等號成立，則3，即最大值為3.(2)(2018興化三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exexx33x，若正數(shù)a，b滿足f(2a1)f(b1)0，則的最小值為_答案解析由題意得f(x)f(x)，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(2a1)f(b1)0，即f(2a1)f(b1)，所以2a11b，即 2ab2，所以 b 2b4.又，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)取等號所以的最小值為.熱點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際運(yùn)用例3(2018蘇州期末)如圖，長方形材料ABCD中，已知AB2，AD4.點(diǎn)P為材料ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF.現(xiàn)要在長方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN，滿足MPN150，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上(1)設(shè)FPN，試將四邊形材料AMPN的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；(2)試確定點(diǎn)N在AD上的位置，使得四邊形材料AMPN的面積S最小，并求出其最小值解(1)在RtNFP中，因?yàn)镻F，F(xiàn)PN，所以NFtan ，所以SNAPNAPF，在RtMEP中，因?yàn)镻E1，EPM，所以MEtan，所以SAMPAMPE1，所以SSNAPSAMP tan tan，.(2)因?yàn)镾tan tantan ，令t1tan ，由，得t，所以S 22，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t時(shí)，即tan 時(shí)等號成立，此時(shí)，AN，Smin2.答案當(dāng)AN時(shí)，四邊形材料AMPN的面積S最小，最小值為2.思維升華利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型(2)注意當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解跟蹤演練3一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)400 km外的災(zāi)區(qū)，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于2 km，則這批物資全部運(yùn)送到災(zāi)區(qū)最少需_ h.答案10解析時(shí)間最短，則兩車之間的間距最小，且要安全，則時(shí)間t210，當(dāng)且僅當(dāng)v80時(shí)等號成立1(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是_答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)為6(萬元)，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用的和為萬元因?yàn)?x2 240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時(shí)取得等號，所以當(dāng)x30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小2(2018江蘇)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC120，ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD1，則4ac的最小值為_答案9解析方法一如圖，SABCSABDSBCD，acsin 120c1sin 60a1sin 60，acac，1.4ac(4ac)5259.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號方法二如圖，以B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D(1,0)，A，C.又A，D，C三點(diǎn)共線，acac.以下同方法一3已知正實(shí)數(shù)x，y滿足向量a(xy,2)，b(xy2,1)共線，c，且a(ac)0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由a(xy,2)，b(xy2,1)共線得xy2(xy2)，則xy42xy，即(xy)22(xy)80，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號成立又由x，y是正實(shí)數(shù)，得xy4.不等式a(ac)0，即a2ac，所以(xy)24m(xy)3，即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4，則t2mt10，t4，)(*)恒成立對于方程t2mt10，當(dāng)m240，即2m2時(shí)，(*)恒成立；當(dāng)m<2時(shí)，相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對稱軸t<1，(*)恒成立；當(dāng)m>2時(shí)，由相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對稱軸t<4，且164m10，得2<m.綜上可得，當(dāng)m時(shí)，(*)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.4某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元，則倉庫面積S的最大允許值是_平方米答案100解析設(shè)鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則頂部面積為Sxy，依題意得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故0<10，從而0<S100，當(dāng)且僅當(dāng)即x15，y時(shí)等號成立所以S的最大允許值是100平方米A組專題通關(guān)1(2018江蘇無錫一中期末)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z9x3y的最大值是_答案27解析由題意得z9x3y32x3y32xy.不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示的OAB及其內(nèi)部，設(shè)u2xy，則y2xu，當(dāng)直線y2xu經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，umax2113，所以zmax3327.2(2018連云港期末)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則zx2y2的最小值為_答案解析先根據(jù)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，zx2y2表示可行域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖可知，zx2y2的最小值就是直線xy10與原點(diǎn)的距離的平方，所以最小值為2.3已知x>1，則函數(shù)y2x的最小值為_答案5解析x>1，2x1>0，y2x112 15，當(dāng)且僅當(dāng)2x1，即x時(shí)，等號成立4(2018常州期末)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a2a3a4a2a3a4，則a3的最小值為_答案解析因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a3a4a2a3a4，所以aa3a2a4，則aa3a2a422a3，(當(dāng)且僅當(dāng)a2a4，即數(shù)列an為正數(shù)常數(shù)列時(shí)取等號)即a30，即a3，a3，即a3的最小值為.5若點(diǎn)A(m，n)在第一象限，且在直線1上，則mn的最大值是_答案3解析點(diǎn)A(m，n)在第一象限，且在直線1上，所以m，n0，且1，所以2，所以2，即mn3，所以mn的最大值為3.6設(shè)P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原點(diǎn)的動點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_答案解析因?yàn)閥(x1)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)“”成立所以切線的斜率ktan ，又0，)，所以.7已知正數(shù)a，b，滿足5，則ab的最小值為_答案36解析正數(shù)a，b滿足5，52，化為()2560，解得6，當(dāng)且僅當(dāng)，5，即a2，b18時(shí)取等號，解得ab36.8(2018揚(yáng)州期末)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xyxy，則的最小值為_答案52解析正實(shí)數(shù)x，y滿足xyxy，1， ，故得到552，等號成立的條件為11，即xy2.9若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，及正弦定理得ab2c.又由余弦定理得cos C，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號成立，故cos C<1，故cos C的最小值為.10某工廠利用輻射對食品進(jìn)行滅菌消毒，現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進(jìn)行防輻射處理，建造宿舍的費(fèi)用與宿舍到工廠的距離有關(guān)若建造宿舍的所有費(fèi)用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系式為p(0x8)，若距離為1 km時(shí)，測算宿舍建造費(fèi)用為100萬元為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路面每千米的成本為6萬元設(shè)f(x)為建造宿舍與修路費(fèi)用之和(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用f(x)最小，并求最小值解(1)根據(jù)題意得100，所以k800，故f(x)56x(0x8)(2)因?yàn)閒(x)2(3x5)580575，當(dāng)且僅當(dāng)2(3x5)，即當(dāng)x5時(shí)f(x)min75.所以宿舍應(yīng)建在離工廠5 km處，可使總費(fèi)用f(x)最小，最小為75萬元B組能力提高11已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值為_答案4解析由題意知，所以2224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號成立12已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域?yàn)?，)，則的最小值為_答案10解析由f(x)的值域?yàn)?，)可知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且函數(shù)的最小值為0，因此有0，從而c>0，所以24210，當(dāng)且僅當(dāng)即a時(shí)取等號故所求的最小值為10.13(2018江蘇如東高級中學(xué)等五校聯(lián)考)已知a，b，c(0，)，則的最小值為_答案4解析a2b2c2acbc，即ac2bc，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)等號成立，則4(經(jīng)驗(yàn)證兩次等號可同時(shí)取得)，所以 的最小值為4.14已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(2x1)6；(2)已知ab1(a，b0)，且對于xR，f(xm)f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)f(2x1)|x2|2x1|當(dāng)x<時(shí)，由33x6，解得x1；當(dāng)x2時(shí)，x16不成立；當(dāng)x2時(shí)，由3x36，解得x3.不等式的解集為(，13，)(2)ab1(a，b0)，(ab)5529，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)等號成立，對于xR，f(xm)f(x)恒成立等價(jià)于對xR，|x2m|x2|9，即|x2m|x2|max9，|x2m|x2|(x2m)(x2)|4m|，9m49，13m5.