第6講 排列、組合、二項式定理 一、選擇題 1．設i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為(　　) A．－15x4　　　　　　 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 解析：(x＋i)6的展開式的通項為Tr＋1＝Cx6－rir(r＝0,1,2，…，6)，令r＝2，得含x4的項為Cx4i2＝－15x4，故選A. 答案：A 2．用0,1，…，9這十個數(shù)字可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2，…，9共能組成91010＝900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有998＝648(個)， 所以有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個)． 答案：B 3．甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則有多少種坐法(　　) A．10 B．16 C．20 D．24 解析：一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座．因為要求每人左右均有空座，所以在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A＝20種坐法． 答案：C 4．二項式9的展開式中x的系數(shù)等于(　　) A．84 B．24 C．6 D．－24 解析：根據(jù)二項式定理可知，Tr＋1＝Cr99－＝令9－r＝1，得r＝6，所以x的系數(shù)為C693＝84，故選A. 答案：A 5．小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒時只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有(　　) A．18種 B．27種 C．37種 D．212種 解析：由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為C，為35種．共計37種取法．故選C. 答案：C 6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：(1＋x)5中含有x與x2的項為T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，所以x2的系數(shù)為10＋5a＝5，所以a＝－1，故選D. 答案：D 7．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為(　　) A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680 解析：根據(jù)題意，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和也應為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，即2n＝256，n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項為第5項，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展開式的中間項的系數(shù)為1 120，故選C. 答案：C 8．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于(　　) A．27 B．28 C．7 D．8 解析：取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，　① 取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，?、? ①與②兩式左、右兩邊分別相減得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7. 答案：C 9．從8名網(wǎng)絡歌手中選派4名同時去4個地區(qū)演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，則不同的選派方案共有(　　) A．240種 B．360種 C．480種 D．600種 解析：分兩步，第一步，先選4名網(wǎng)絡歌手，又分兩類，第一類，甲去，則乙一定去，丙一定不去，有C＝10種不同選法，第二類，甲不去，則乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C＝15種不同選法，所以不同的選法有10＋15＝25(種)．第二步，4名網(wǎng)絡歌手同時去4個地區(qū)演出，有A＝24種方案．由分步乘法計數(shù)原理知不同的選派方案共有2524＝600(種)． 答案：D 10．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為(　　) A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3 解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3. 答案：A 11．某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方法有(　　) A．80種 B．90種 C．120種 D．150種 解析：有兩類情況：①其中一所學校3名教師，另兩所學校各一名教師的分法有CA＝60種；②其中一所學校1名教師，另兩所學校各兩名教師的分法有CA＝90種．所以共有60＋90＝150種．故選D. 答案：D 12．兩對夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)為(　　) A．48 B．36 C．24 D．12 解析：分三步：①先分派兩位爸爸，必須一首一尾，有A＝2種排法；②兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有A＝2種排法；③將兩個小孩與兩位媽媽進行全排列，有A＝6種排法．則共有226＝24種排法．故選C. 答案：C 二、填空題 13．若4展開式的常數(shù)項為54，且a>0，則a＝__________. 解析：依題意，二項式4的展開式的通項Tr＋1＝C()4－rr＝Carx2－r.令2－r＝0得r＝2.因此，二項式4的展開式中的常數(shù)項是T3＝Ca2＝6a2＝54，a2＝9.又a>0，因此a＝3. 答案：3 14．若直線x＋ay－1＝0與2x－y＋5＝0垂直，則二項式5的展開式中x4的系數(shù)為__________． 解析：由兩條直線垂直，得12＋a(－1)＝0，得a＝2，所以二項式為5，其通項Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二項式的展開式中x4的系數(shù)為23C＝80. 答案：80 15．現(xiàn)有5名教師要帶3個興趣小組外出學習考察，要求每個興趣小組的帶隊教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案有__________種．(用數(shù)字作答) 解析：第一類，把甲、乙看作一個復合元素，另外3人分成兩組，再分配到3個小組中，有CA＝18種；第二類，先把另外的3人分配到3個小組，再把甲、乙分配到其中2個小組，有AA＝36種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36＋18＝54種． 答案：54 16．從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)，從0,2,4,6中任取2個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若將所有個位是5的四位數(shù)從小到大排成一列，則第100個數(shù)是__________． 解析：①形如“15”，中間所缺的兩數(shù)只能從0,2,4,6中選取，有A＝12個． ②形如“25”，中間所缺的兩數(shù)是奇偶各一個，有CCA＝24個． ③形如“35”，同①有A＝12個． ④形如“45”，同②，也有CCA＝24個， ⑤形如“65”，也有CCA＝24個， 以上5類小于7 000的數(shù)共有96個． 故第97個數(shù)是7 025，第98個數(shù)是7 045，第99個數(shù)是7 065，第100個數(shù)是7 205. 答案：7 205