第1講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組小題提速練一、選擇題1若直線l1：(a1)xy10和直線l2：3xay20垂直，則實數(shù)a的值為()A.B.C. D.解析：由已知得3(a1)a0，解得a，故選D.答案：D2“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件解析：因為兩條直線平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又當(dāng)a1，b4時，滿足ab4，但是兩直線重合，故選C.答案：C3當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線(a1)xya10恒過定點C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0Dx2y22x4y0解析：由(a1)xya10得(x1)a(xy1)0，由x10且xy10，解得x1，y2，即該直線恒過點(1,2)，所求圓的方程為(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案：C4(2018北京西城區(qū)模擬)與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：由題意知，曲線為(x6)2(y6)218，過圓心(6,6)作直線xy20的垂線，垂線方程為yx，則所求的最小圓的圓心必在直線yx上，又(6,6)到直線xy20的距離d5，故最小圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)22.答案：D5一束光線從圓C的圓心C(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C1：(x2)2(y3)21上的最短路程剛好是圓C的直徑，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)24B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)216D(x1)2(y1)225解析：圓C1的圓心C1的坐標(biāo)為(2,3)，半徑為r11.點C(1,1)關(guān)于x軸的對稱點C的坐標(biāo)為(1，1)因為C在反射線上，所以最短路程為|CC1|r1，即14.故圓C的半徑為r42，所以圓C的方程為(x1)2(y1)24，故選A.答案：A6圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離解析：兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1、半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓相交答案：B7圓x2y24x4y100上的點到直線xy140的最大距離與最小距離的差是()A30 B18C6 D5解析：由圓x2y24x4y100知圓心坐標(biāo)為(2,2)，半徑為3，則圓上的點到直線xy140的最大距離為38，最小距離為32，故最大距離與最小距離的差為6.答案：C8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點若圓上一點C滿足，則r()A2 B.C2 D.解析：已知，兩邊平方化簡得r2，所以cos AOB，所以cos，圓心O(0,0)到直線的距離為，所以，解得r.答案：B9已知直線l過圓x2(y3)24的圓心，且與直線xy10垂直，則直線l的方程為()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析：由已知得，圓心為(0,3)，所求直線的斜率為1，由直線方程的斜截式得yx3，即xy30，故選D.答案：D10已知直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點A，B.O是坐標(biāo)原點，且有|，那么k的取值范圍是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：當(dāng)|時，O，A，B三點為等腰三角形的三個頂點，其中OAOB，AOB120，從而圓心O到直線xyk0(k>0)的距離為1，此時k；當(dāng)k>時，|>|，又直線與圓x2y24有兩個不同的交點，故k<2.綜上，k的取值范圍為，2)答案：C11(2018唐山一中調(diào)研)點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：設(shè)圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，則，即，代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化簡得(x2)2(y1)21.答案：A12已知圓x2y24ax2byb20(a>0，b>0)關(guān)于直線xy10對稱，則ab的最大值是()A. B.C. D.解析：由圓x2y24ax2byb20(a>0，b>0)關(guān)于直線xy10對稱，可得圓心(2a，b)在直線xy10上，故有2ab10，即2ab12 ，解得ab，故ab的最大值為，故選B.答案：B二、填空題13已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_解析：設(shè)圓心為(a,0)(a>0)，則圓心到直線2xy0的距離d，得a2，半徑r3，所以圓C的方程為(x2)2y29.答案：(x2)2y2914點P(1,2)和圓C：x2y22kx2yk20上的點的距離的最小值是_解析：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(xk)2(y1)21.圓心C(k，1)，半徑r1.易知點P(1,2)在圓外點P到圓心C的距離為：|PC|3.|PC|min3.點P和圓C上點的最小距離dmin|PC|minr312.答案：215過點M(1,2)的直線l與圓C：(x3)2(y4)225交于A，B兩點，C為圓心，當(dāng)ACB最小時，直線l的方程是_解析：驗證得M(1,2)在圓內(nèi)，當(dāng)ACB最小時，直線l與CM垂直，又圓心為(3,4)，則kCM1，則kl1，故直線l的方程為y2(x1)，整理得xy30.答案：xy30B組大題規(guī)范練1.若橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y22bx的焦點F內(nèi)分成了31的兩段(1)求橢圓的離心率；(2)如圖，過點C(1,0)的直線l交橢圓于不同兩點A，B，且2，當(dāng)AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方程解析：(1)由題意知c3，bc，a22b2，e.(2)設(shè)直線l：xky1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，(1x1，y1)2(x21，y2)，即2y2y10，由(1)知a22b2，橢圓方程為x22y22b2.由消去x得(k22)y22ky12b20，y1y2，y1y2，由知y2，y1.SAOB|y1|y2|y1y2|，S333，當(dāng)且僅當(dāng)|k|22，即k時取等號，此時直線的方程為xy1或xy1.又當(dāng)|k|22時，y1y21，由y1y2得b2，橢圓方程為1.2(2017貴州興義八中月考)已知點M(，)在橢圓C：1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2)，求PAB的面積解析：(1)由已知得解得故橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，則x0m，y0x0mm，即D.因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此時x1x23，x1x20，則|AB|x1x2|3，又點P到直線l：xy20的距離為d，所以PAB的面積為S|AB|d.3已知P是圓C：x2y24上的動點，P在x軸上的射影為P，點M滿足，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動時，點M形成的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點A(0,2)的直線l與曲線E相交于點C，D，并且，求直線l的方程解析：(1)如圖，設(shè)M(x，y)，則P(x,2y)在圓C：x2y24上所以x24y24，即曲線E的方程為y21.(2)經(jīng)檢驗，當(dāng)直線lx軸時，題目條件不成立，所以直線l的斜率存在(如圖)設(shè)直線l：ykx2，C(x1，y1)，D(x2，y2)，則聯(lián)立(14k2)x216kx120.(16k)24(14k2)12>0，得k2>.x1x2，x1x2.又由，得x1x2，將它代入，得k21，k1(滿足k2>)所以直線l的斜率為k1.所以直線l的方程為yx2.4已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，焦點F(1,0)，其準(zhǔn)線與x軸的交點為K，過點K的直線l與C交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D.(1)證明：點F在直線BD上；(2)設(shè)，求BDK內(nèi)切圓M的方程解析：(1)證明：由題設(shè)可知K(1,0)，拋物線的方程為y24x，則可設(shè)直線l的方程為xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，故整理得y24my40，故則直線BD的方程為yy2(xx2)，即yy2，令y0，得x1，所以F(1,0)在直線BD上(2)由(1)可知所以x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1，又(x11，y1)，(x21，y2)，故(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)584m2，則84m2，m，故直線l的方程為3x4y30或3x4y30，y2y1，故直線BD的方程為3xy30或3xy30，又KF為BKD的平分線，故可設(shè)圓心M(t,0)(1<t<1)，M(t,0)到直線l及BD的距離分別為，由，得t或t9(舍去)故圓M的半徑為r，所以圓M的方程為2y2.單獨成冊：對應(yīng)學(xué)生用書第137頁(二)A組小題提速練一、選擇題1橢圓1的離心率是()A.B.C. D.解析：橢圓方程為1，a3，b2，c.e.故選B.答案：B2已知F為雙曲線C：x2my23m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為()A. B3C.m D3m解析：雙曲線方程為1，焦點F到一條漸近線的距離為b.選A.答案：A3已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2 B.C. D1解析：因為雙曲線的方程為1，所以e214，因此a21，a1.選D.答案：D4等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|4，則C的實軸長為()A. B2C4 D8解析：拋物線y216x的準(zhǔn)線方程是x4，所以點A(4,2)在等軸雙曲線C：x2y2a2(a>0)上，將點A的坐標(biāo)代入得a2，所以C的實軸長為4.答案：C5已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析：點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|PN|.又AM是圓的半徑，|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由橢圓定義知，點P的軌跡是橢圓答案：B6下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21解析：A、B選項中雙曲線的焦點在x軸上，C、D選項中雙曲線的焦點在y軸上，又令x20，得y2x，令y20，得yx，故選C.答案：C7已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：由題意得c，則a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.答案：A8已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦距為10，點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：依題意，解得，雙曲線C的方程為1.答案：A9已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：由題意得e，又右焦點為F2(5,0)，a2b2c2，所以a216，b29，故雙曲線C的方程為1.答案：C10在同一平面直角坐標(biāo)系中，方程a2x2b2y21與axby20(a>b>0)表示的曲線大致是()解析：將方程a2x2b2y21變形為1，a>b>0，<，橢圓焦點在y軸上將方程axby20變形為y2x，a>b>0，<0，拋物線焦點在x軸負(fù)半軸上，開口向左故選D.答案：D11(2017高考天津卷)已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：根據(jù)題意畫出草圖如圖所示.由AOF是邊長為2的等邊三角形得到AOF60，c|OF|2.又點A在雙曲線的漸近線yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，雙曲線的方程為x21.故選D.答案：D12已知雙曲線1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形雙曲線的漸近線方程為yx，圓的方程為x2y24，不妨設(shè)交點A在第一象限，由yx，x2y24得xA，yA，故四邊形ABCD的面積為4xAyA2b，解得b212，故所求的雙曲線方程為1，選D.答案：D二、填空題13若橢圓的方程為1，且此橢圓的焦距為4，則實數(shù)a_.解析：由橢圓的焦距為4得c2，當(dāng)2<a<6時，橢圓的焦點在x軸上，則10a(a2)4，解得a4；當(dāng)6<a<10時，橢圓的焦點在y軸上，則a2(10a)4，解得a8.故a4或a8.答案：4或814(2018山西四校聯(lián)考)過拋物線y24x的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點，則弦長|AB|為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得拋物線的焦點是F(1,0)，所以直線AB的方程是yx1，聯(lián)立消去y得x26x10，所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.答案：815已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_解析：由拋物線y28x可知準(zhǔn)線方程為x2，所以雙曲線的左焦點為(2,0)，即c2；又因為雙曲線的離心率為2，所以e2，故a1，由a2b2c2知b23，所以該雙曲線的方程為x21.答案：x2116已知雙曲線E：1(a>0，b>0)矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_解析：由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因為2|AB|3|BC|，所以6c,2b23ac，3e,2(e21)3e,2e23e20，解得e2，或e(舍去)答案：2B組大題規(guī)范練1過雙曲線1的右焦點F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點(1)求|AB|；(2)求AOB的面積解析：(1)由題意得a23，b26，c29，F(xiàn)2(3,0)直線方程為y(x3)，由得2x226.即5x26x270，x3或x.則A，B(3，2)|AB|.(2)由(1)得直線方程為x3y30，(0,0)到直線的距離d，SAOB|AB|d.2已知對稱中心在原點的橢圓的一個焦點與圓x2y22x0的圓心重合，且橢圓過點(，1)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若2，求AOB的面積解析：(1)設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，c為半焦距，由c得a2b22， 橢圓過點(，1)，1，由解得a24，b22，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，有設(shè)直線方程為ykx1，代入橢圓方程整理得(2k21)x24kx20，解得x，設(shè)x1，x2，則2，解得k2，所以AOB的面積S|OP|x1x2|.3已知橢圓：1(a>b>0)經(jīng)過點M，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點M在x軸上的射影為點N，過點N的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且3 0，求直線l的方程解析：(1)由已知可得1，解得a2，b1，所以橢圓的方程為y21.(2)由已知N的坐標(biāo)為(，0)，當(dāng)直線l斜率為0時，直線l為x軸，易知3 0不成立當(dāng)直線l斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為xmy，代入y21，整理得(4m2)y22my10，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，由3 0，得y23y1，由解得m.所以直線l的方程為xy，即y(x)4.如圖所示，拋物線y24x的焦點為F，動點T(1，m)，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N.(1)證明：線段NT平行于x軸(或在x軸上)；(2)若m>0且|NF|TF|，求m的值及點N的坐標(biāo)解析：(1)證明：易知拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，動點T(1，m)在準(zhǔn)線上，則kTF.當(dāng)m0時，T為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，顯然線段NT在x軸上當(dāng)m0時，由條件知kPQ，所以直線PQ的方程為y(x1)，聯(lián)立得x2(2m2)x10，(2m2)24m2(4m2)>0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1x22m2，y1y2(x1x22)2m.所以弦PQ的中點N.又T(1，m)，所以kNT0，則NT平行于x軸綜上可知，線段NT平行于x軸(或在x軸上)(2)已知|NF|TF|，在TFN中，tanNTF1NTF45，設(shè)A是準(zhǔn)線與x軸的交點，則TFA是等腰直角三角形，所以|TA|AF|2，又動點T(1，m)，其中m>0，則m2.因為NTF45，所以kPQtan 451，又焦點F(1,0)，可得直線PQ的方程為yx1.由m2，得T(1,2)，由(1)知線段NT平行于x軸，設(shè)N(x0，y0)，則y02，代入yx1，得x03，所以N(3,2)