3計算導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)函數(shù)的概念并能求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)知識點一導(dǎo)函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)，f(x)，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù).區(qū)別聯(lián)系f(x0)f(x0)是具體的值，是數(shù)值在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點的函數(shù)值f(x)f(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)知識點二導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yc(c是常數(shù))y0yx (為實數(shù))yx1yax (a>0，a1)yaxlnayexyexylogax(a>0，a1)yylnxyysinxycosxycosxysinxytanxyycotxy1函數(shù)f(x)與f(x)的定義域相同()2求f(x0)時，可先計算出f(x0)，再對f(x0)求導(dǎo)()3求f(x0)時，可先求出f(x)，再求f(x)在xx0處的函數(shù)值()題型一利用導(dǎo)函數(shù)求某點處的導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)f(x)x23x的導(dǎo)函數(shù)f(x)，并利用f(x)求f(3)，f(1)考點導(dǎo)函數(shù)題點利用導(dǎo)函數(shù)求某點處的導(dǎo)數(shù)解f(x) (x2x3)2x3，即f(x)2x3，f(3)2333，f(1)2(1)35.反思感悟f(x0)是f(x)在xx0處的函數(shù)值計算f(x0)可以直接使用定義，也可以先求f(x)，然后求f(x)在xx0處的函數(shù)值f(x0)跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)yf(x)5的導(dǎo)函數(shù)f(x)，并利用f(x)，求f(2)考點導(dǎo)函數(shù)題點利用導(dǎo)函數(shù)求某點處的導(dǎo)數(shù)解yf(xx)f(x)5，f(x).f(2).題型二導(dǎo)數(shù)公式表的應(yīng)用例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ysin；(2)yx；(3)ylog3x；(4)y；(5)y5x.考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用解(1)y0.(2)因為yx，所以y.(3)y(log3x).(4)因為ytanx，所以y(tanx).(5)y(5x)5xln5.反思感悟?qū)τ诮滩闹谐霈F(xiàn)的8個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要想在解題過程中應(yīng)用自如，必須做到以下兩點：一是正確理解，如sin是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為零，就不會出現(xiàn)cos這樣的錯誤結(jié)果二是準(zhǔn)確記憶，靈活變形如根式、分式可先轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用公式求導(dǎo)跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y(1)；(2)yx13；考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用解(1)y(1)，y.(2)y(x13)13x13113x12.題型三導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用命題角度1利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題例3已知點P(1,1)，點Q(2,4)是曲線yx2上兩點，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程，若沒有，說明理由考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題意利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題解因為y(x2)2x，假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線設(shè)切點為(x0，y0)，由PQ的斜率為k1，而切線與PQ垂直，所以2x01，即x0.所以切點為(，)所以所求切線方程為y(1)(x)，即4x4y10.引申探究若本例條件不變，求與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程解因為y(x2)2x，設(shè)切點為M(x0，y0)，由PQ的斜率為k1，而切線平行于PQ，所以2x01，即x0.所以切點為M.所以所求切線方程為yx，即4x4y10.反思感悟解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點，要充分利用(1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率(2)切點在切線上(3)切點又在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決跟蹤訓(xùn)練3(1)若直線l過點A(0，1)且與曲線yx3切于點B，求B點坐標(biāo)；(2)若直線l與曲線yx3在第一象限相切于某點，切線的斜率為3，求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積解(1)y3x2，設(shè)B(x0，x)(x00)，則切線斜率k3x.又直線l過點(0，1)，k.3x，2x1，x0，x，B.(2)設(shè)切點為(x0，x)(x0>0)，則該切線斜率為3x，3x3，x01，則切點為(1,1)直線l的方程為y13(x1)直線l與坐標(biāo)軸的交點分別為(0，2)，直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S|2|.命題角度2利用導(dǎo)數(shù)公式求解參數(shù)問題例4已知直線ykx是曲線ylnx的切線，則k的值等于()AeBeC.D考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題答案C解析y(lnx).設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線方程為yy0(xx0)，即ylnx01.直線ykx過原點，lnx010，得x0e，k.反思感悟解決利用導(dǎo)數(shù)公式求解參數(shù)問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率進(jìn)一步寫出切線方程跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)，g(x)alnx，aR，若曲線yf(x)與曲線yg(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題解設(shè)兩曲線的交點為(x0，y0)，由題意知，f(x0)g(x0)，即，即a，點(x0，y0)為兩曲線的交點，alnx0，由可得x0e2，將x0e2代入得a.1下列結(jié)論：(sinx)cosx；(lnx).其中正確的有()A0個B1個C2個D3個考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用答案C解析，錯誤，故選C.2函數(shù)f(x)，則f(3)等于( )A.B0C.D.答案A解析f(x)()，f(3).3設(shè)函數(shù)f(x)logax，f(1)1，則a.考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案解析f(x)，又f(1)1，a.4在曲線y上一點P處的切線的斜率為4，則點P的坐標(biāo)為考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題答案或解析設(shè)P(x0，y0)，y，則4，得x0.當(dāng)x0時，y02.當(dāng)x0時，y02，點P的坐標(biāo)為或.5曲線yex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲線在點(2，e2)處的切線方程為ye2e2(x2)，即ye2xe2.當(dāng)x0時，ye2，當(dāng)y0時，x1.S1|e2|e2.1利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想與化歸2有些函數(shù)可先化簡再求導(dǎo)如求y12sin2的導(dǎo)數(shù)因為y12sin2cosx，所以y(cosx)sinx.3對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號的變化一、選擇題1下列結(jié)論中正確的個數(shù)為()yln2，則y；yf(x)，則f(3)；y2x，則y2xln2；ylog2x，則y.A0B1C2D3考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用答案D解析中yln2為常數(shù)，所以y0.錯2已知f(x)，則f等于()A25BC.D25考點幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案B解析因為f(x)，所以f(x).故f25，ff(25).3設(shè)函數(shù)f(x)ax3，若f(1)3，則a等于()A2B2C3D3考點函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)題點根據(jù)導(dǎo)數(shù)值求坐標(biāo)或參數(shù)答案C解析f(1)a，f(1)3，a3.4正弦曲線ysinx上切線的斜率等于的點為()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案D解析設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，函數(shù)在點P處的導(dǎo)數(shù)為ycosx0，x02k或2k，kZ，y0或.5設(shè)曲線yax2在點(2,4a)處的切線與直線4xy40垂直，則a等于()AB.CD.考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題答案C解析由題意知切線的斜率是，y2ax，4a，得a.6已知直線ykx是曲線yex的切線，則實數(shù)k的值為()A.BCeDe答案D解析yex，設(shè)切點為(x0，y0)，則x0，x01，ke.7設(shè)正弦曲線ysinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()A.B0，)C.D.答案A解析(sinx)cosx，klcosx，1kl1，l.8設(shè)f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2018(x)等于()AsinxBsinxCcosxDcosx考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案B解析f1(x)f0(x)(sinx)cosx，f2(x)f1(x)(cosx)sinx，f3(x)f2(x)(sinx)cosx，f4(x)(cosx)sinx，f5(x)(sinx)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期為4，f2018(x)f50442(x)sinx.二、填空題9已知f(x)，g(x)mx且g(2)，則m.考點幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案4解析f(x)，g(x)m，f(2)，又g(2)，m4.10設(shè)曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題答案(1,1)解析因為yex，所以曲線yex在點(0,1)處的切線的斜率k1e01.設(shè)P(m，n)，y(x>0)的導(dǎo)數(shù)為y (x>0)，曲線y (x>0)在點P處的切線斜率k2 (m>0)因為兩切線垂直，所以k1k21，所以m1，n1，點P的坐標(biāo)為(1,1)11已知f(x)cosx，g(x)x，則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)0的解集為考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用答案解析f(x)sinx，g(x)1，由f(x)g(x)0，得sinx10，即sinx1，則sinx1，解得x2k，kZ，其解集為.三、解答題12已知曲線y5(x0)，求：(1)曲線上與直線y2x4平行的切線方程；(2)過點P(0,5)，且與曲線相切的切線方程考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題解(1)設(shè)切點為(x0，y0)，由y5，得曲線在xx0處的切線的斜率k.因為切線與直線y2x4平行，所以2，解得x0，所以y0.故所求切線方程為y2，即16x8y250.(2)因為點P(0,5)不在曲線y5上，所以設(shè)切點坐標(biāo)為M(x1，y1)，則切線斜率為(x10)，又因為切線斜率為，所以，解得x14(x10舍去)所以切點為M(4,10)，斜率為，故切線方程為y10(x4)，即5x4y200.13點P是曲線yex上任意一點，求點P到直線yx的最小距離考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求解切線問題解如圖，當(dāng)曲線yex在點P(x0，y0)處的切線與直線yx平行時，點P到直線yx的距離最近則曲線yex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用點到直線的距離公式得最小距離為.14設(shè)函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)xex，則f(1)等于()A1B2C3D4考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案B解析設(shè)ext，則xlnt(t>0)，f(t)lntt，f(t)1，f(1)2.15已知拋物線yx2，直線xy20，求拋物線上的點到直線的最短距離解根據(jù)題意可知與直線xy20平行的拋物線yx2的切線，對應(yīng)的切點到直線xy20的距離最短，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x)，則k2x01，所以x0，所以切點坐標(biāo)為，切點到直線xy20的距離d，所以拋物線上的點到直線xy20的最短距離為.