課時規(guī)范練23平面向量的概念及線性運算基礎鞏固組1.下列關于平面向量的說法正確的是() A.零向量是唯一沒有方向的向量B.平面內(nèi)的單位向量是唯一的C.方向相反的向量是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量D.共線向量就是相等向量2.設a,b都是非零向量,下列四個條件中,使a|a|=b|b|成立的充分條件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab,且|a|=|b|3.設D為ABC所在平面內(nèi)一點,BC=3CD,則()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC4.(2017北京豐臺一模)設E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n為實數(shù)),那么m+n的值為()A.-12B.0C.12D.15.設向量a,b不共線,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三點共線,則實數(shù)p的值是()A.-2B.-1C.1D.26.已知平面上不共線的四點O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,則|BC|AB|的值為()A.12B.13C.14D.167.在四邊形ABCD中,O是四邊形ABCD內(nèi)一點,OA=a,OB=b,OC=c,OD=a-b+c,則四邊形ABCD的形狀為()A.梯形B.正方形C.平行四邊形D.菱形8.如圖,已知AB是圓O的直徑,點C,D是半圓弧的三等分點,AB=a,AC=b,則AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b導學號241907479.若點M是ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足5AM=AB+3AC,則ABM與ABC的面積比為.10.已知A,B,C為圓O上的三點,若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為.11.已知D為ABC的邊BC的中點,點P滿足PA+BP+CP=0,AP=PD,則實數(shù)的值為.12.在任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點,若EF=AB+DC,則+=.綜合提升組13.在ABC中,D是AB邊上的一點,CD=CA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,則用a,b表示CD為()A.CD=23a+13bB.CD=13a+23bC.CD=13a+13bD.CD=23a+23b導學號2419074814.在ABC中,點O在線段BC的延長線上,且與點C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,則實數(shù)x的取值范圍是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)15.A,B,C三點共線的充要條件是對不在直線AB上的任意一點O,存在實數(shù)t使得OC=tOA+OB.16.已知向量a,b,c中任意兩個都不共線,且a+b與c共線,b+c與a共線,則a+b+c=.創(chuàng)新應用組17.已知A,B,C三點不共線,且點O滿足OA+OB+OC=0,則下列結論正確的是()A.OA=13AB+23BCB.OA=23AB+13BCC.OA=13AB-23BCD.OA=-23AB-13BC導學號2419074918.(2017安徽馬鞍山質檢)已知ABC是邊長為4的正三角形,D,P是ABC內(nèi)的兩點,且滿足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,則APD的面積為()A.34B.32C.3D.23答案：1.C對于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正確;對于B,單位向量的模為1,其方向可以是任意方向,故B不正確;對于C,方向相反的向量一定是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量,故C正確;對于D,由共線向量和相等向量的定義可知D不正確.故選C.2.C因為a|a|表示與a同向的單位向量,b|b|表示與b同向的單位向量,所以只要a與b同向即可,觀察可知C滿足題意.3.AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+43AC.故選A.4.C如圖,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故選C.5.BBC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三點共線,AB,BD共線.設AB=BD,則2a+pb=(2a-b).即2=2,p=-.解得=1,p=-1.6.A由OA+2OC=3OB,得OA-OB=2OB-2OC,即BA=2CB,所以|BC|AB|=12.故選A.7.C因為OD=a-b+c,所以AD=OD-OA=c-b.又BC=OC-OB=c-b,所以ADBC且|AD|=|BC|,所以四邊形ABCD是平行四邊形.8.D連接CD(圖略),由點C,D是半圓弧的三等分點,得CDAB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.9.35如圖,設AB的中點為D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD,故C,M,D三點共線,且MD=35CD,也就是ABM與ABC對于邊AB上的兩高之比為35,故ABM與ABC的面積比為35.10.90由AO=12(AB+AC),得O為BC的中點,則BC為圓O的直徑,即BAC=90,故AB與AC的夾角為90.11.-2如圖,由AP=PD,且PA+BP+CP=0,得P為以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的頂點,因此AP=-2PD,故=-2.12.1如圖,因為E,F分別是AD與BC的中點,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因為AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+,得2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),所以=12,=12.所以+=1.13.A由題意,得CD是ACB的平分線,則CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故選A.14.A設BO=BC(>1),則AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x>1,解得x<0.15.(1-t)根據(jù)共線向量定理知,A,B,C三點共線的充要條件是存在實數(shù)t使得BC=tBA,即OC-OB=t(OA-OB),即OC=tOA+(1-t)OB.16.0因為a+b與c共線,所以a+b=1c.又因為b+c與a共線,所以b+c=2a.由得b=1c-a.所以b+c=(1+1)c-a=2a,所以1+1=0,2=-1,即1=-1,2=-1.所以a+b+c=-c+c=0.17.DOA+OB+OC=0,O為ABC的重心,OA=-2312(AB+AC)=-13(AB+AC)=-13(AB+AB+BC)=-13(2AB+BC)=-23AB-13BC,故選D.18.A取BC的中點E,連接AE,因為ABC是邊長為4的正三角形,所以AEBC,AE=12(AB+AC).又AD=14(AB+AC),所以點D是AE的中點,AD=3.取AF=18BC,以AD,AF為鄰邊作平行四邊形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.因為APD是直角三角形,AF=12,所以APD的面積為12123=34.