第第3434講講 平面向量基本定理及坐標(biāo)運算平面向量基本定理及坐標(biāo)運算知識梳理第第3434講講 知識梳理知識梳理有且只有有且只有 不共線不共線 基底基底 第第3434講講 知識梳理知識梳理夾角夾角 圖圖341第第3434講講 知識梳理知識梳理0 180 90 3. 3.平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個把一個向量分解為兩個_的向量，叫做把向量正交分的向量，叫做把向量正交分解解 4 4平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算第第3434講講 知識梳理知識梳理互相垂直互相垂直 第第3434講講 知識梳理知識梳理單位向量單位向量 (1) (1)平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x x軸、軸、y y軸方向相同的兩個軸方向相同的兩個_i i，j j作為基底由平面向量的作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任意向量基本定理知，該平面內(nèi)的任意向量a a可表示成可表示成a axixiyjyj，由于，由于a a與數(shù)對與數(shù)對( (x x，y y) )是一一對應(yīng)的，因此把是一一對應(yīng)的，因此把_叫做向量叫做向量a a的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，記作記作_，其中，其中x x叫做叫做a a在在x x軸上的坐標(biāo)，軸上的坐標(biāo)，y y叫做叫做a a在在y y軸上的坐軸上的坐標(biāo)標(biāo) 注意注意 兩個向量相等的充要條件是這兩個向量在兩個向量相等的充要條件是這兩個向量在_與與_上的坐標(biāo)分別相等上的坐標(biāo)分別相等 ( (x x，y y) ) a a( (x x，y y) ) x x軸軸 y y軸軸 第第3434講講 知識梳理知識梳理( (x x1 1x x2 2，y y1 1y y2) 2) (2) (2)平面向量的坐標(biāo)運算平面向量的坐標(biāo)運算 ( (x x1 1x x2 2，y y1 1y y2) 2) ( (xx1 1，yy1) 1) ( (x x2 2x x1 1，y y2 2y y1) 1) 終點終點 始點始點 第第3434講講 知識梳理知識梳理x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0 要點探究 探究點探究點1平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量基本定理的應(yīng)用第第3434講講 要點探究要點探究圖圖343 第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究 點評點評 解決此類問題的關(guān)鍵在于以一組不共線解決此類問題的關(guān)鍵在于以一組不共線的向量為基底，通過向量的加、減、數(shù)乘，把其他相的向量為基底，通過向量的加、減、數(shù)乘，把其他相關(guān)的向量用這一組基底表示出來，再利用向量相等建關(guān)的向量用這一組基底表示出來，再利用向量相等建立方程組，從而解出相應(yīng)的值通過下面變式題可以立方程組，從而解出相應(yīng)的值通過下面變式題可以發(fā)現(xiàn)，只要是平面內(nèi)不共線的兩個向量都可以作為基發(fā)現(xiàn)，只要是平面內(nèi)不共線的兩個向量都可以作為基底，平面內(nèi)的向量都可以被這一組基底表示出來底，平面內(nèi)的向量都可以被這一組基底表示出來 第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究 探究點探究點2平面向量的坐標(biāo)運算的應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運算的應(yīng)用第第3434講講 要點探究要點探究圖圖344 第第3434講講 要點探究要點探究 思路思路 本題的切入點是根據(jù)題意設(shè)出點本題的切入點是根據(jù)題意設(shè)出點M M、P P、Q Q的的坐標(biāo)，然后利用已知條件轉(zhuǎn)化成向量相等的關(guān)系，利用坐標(biāo)，然后利用已知條件轉(zhuǎn)化成向量相等的關(guān)系，利用向量的坐標(biāo)運算得到方程組，從而求解向量的坐標(biāo)運算得到方程組，從而求解 第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究 點評點評 利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加、利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，然后根據(jù)減、數(shù)乘運算法則進行，然后根據(jù)“相等的向量坐標(biāo)相相等的向量坐標(biāo)相同同”這一原則，通過方程這一原則，通過方程( (組組) )進行求解若已知有向線進行求解若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則利用向量要注意方程思想的運用及正確使用運算法則利用向量的坐標(biāo)運算，建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)和方的坐標(biāo)運算，建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)和方程，利用函數(shù)與方程的思想解題如下面變式題：程，利用函數(shù)與方程的思想解題如下面變式題： 第第3434講講 要點探究要點探究 思路思路 把向量把向量a abb用坐標(biāo)表示，進而求出用坐標(biāo)表示，進而求出a abb的模，把的模，把| |a abb|(|(RR) )表示為表示為的函數(shù)的函數(shù) 答案答案 C第第3434講講 要點探究要點探究 探究點探究點3向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用第第3434講講 要點探究要點探究 答案答案 -1第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究 點評點評 向量共線向量共線( (平行平行) )的坐標(biāo)表示實質(zhì)是的坐標(biāo)表示實質(zhì)是把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，它提供了通過把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，它提供了通過坐標(biāo)公式建立參數(shù)的方程坐標(biāo)公式建立參數(shù)的方程( (組組) )，進而解方程，進而解方程( (組組) )，求出參數(shù)的值，來解決向量共線，求出參數(shù)的值，來解決向量共線( (平行平行) )的方法，也為點共線、線平行問題的處理提的方法，也為點共線、線平行問題的處理提供了簡易的方法，體現(xiàn)方程的思想在向量中供了簡易的方法，體現(xiàn)方程的思想在向量中的運用下面變式題就是上述思想方法的具的運用下面變式題就是上述思想方法的具體應(yīng)用體應(yīng)用第第3434講講 要點探究要點探究圖圖345 第第3434講講 要點探究要點探究 思路思路 本題的切入點是三點共線轉(zhuǎn)化為向量共本題的切入點是三點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，利用向量平行的條件設(shè)出系數(shù)或坐標(biāo)進行計算，線，利用向量平行的條件設(shè)出系數(shù)或坐標(biāo)進行計算，轉(zhuǎn)化為方程求解本題還可用求直線方程的方法求坐轉(zhuǎn)化為方程求解本題還可用求直線方程的方法求坐標(biāo)標(biāo) 第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究 探究點探究點4向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究 點評點評 解決向量與三角函數(shù)綜合的問題，其基本思解決向量與三角函數(shù)綜合的問題，其基本思路是應(yīng)用向量的基本運算，把問題化歸為一般三角函數(shù)路是應(yīng)用向量的基本運算，把問題化歸為一般三角函數(shù)的問題求解下面與解析幾何綜合的問題，也是這一解的問題求解下面與解析幾何綜合的問題，也是這一解題思路的體現(xiàn)題思路的體現(xiàn) 第第3434講講 要點探究要點探究第第3434講講 要點探究要點探究規(guī)律總結(jié)第第3434講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)第第3434講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)