《華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之重積分》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之重積分(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第12章 重積分
內(nèi)容提要
(一)二重積分概念和性質(zhì)
1.二重積分定義:設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒(méi)有其它公共部分的個(gè)子區(qū)域(),在每個(gè)中任取一點(diǎn)(),作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值,若極限存在,且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)域上可積,并稱(chēng)此極限為在區(qū)域上的二重積分,記作,即
其中,稱(chēng)為被積函數(shù),為被積表達(dá)式,為面積元素,、是積分變量,是積分區(qū)域,并稱(chēng)為積分和式。
2.二重積分的幾何意義:設(shè)在區(qū)域上連續(xù),當(dāng)時(shí),二重積分表示以曲面為頂,底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。
3.性質(zhì)
(1
2、)線性性質(zhì)
若,在上可積,和為任意常數(shù),則在上可積,且
。
(2)積分區(qū)域可加性質(zhì)
若,且和除邊界外沒(méi)有公共部分,則在上可積的充要條件是在和上都可積,且
。
(3)不等式性質(zhì)
設(shè),在上可積,則
(i)若,,則
,
特別有 。
(ii)若,是的面積,則有
。
(4)積分中值定理
設(shè)為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則存在,使得
,
其中是的面積。
(5)對(duì)稱(chēng)區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)
設(shè)在有界閉區(qū)域上可積,
(i)若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則
,
其中。
(ii)若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則
,
其中。
(二)二重積分的計(jì)算
1.利用直角坐標(biāo)系計(jì)算
3、二重積分
設(shè)在平面有界閉區(qū)域上連續(xù):
(i)若,其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點(diǎn)是:穿過(guò)內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點(diǎn),稱(chēng)為型區(qū)域。則
。
(ii)若,其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點(diǎn)是:穿過(guò)內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點(diǎn),稱(chēng)為型區(qū)域。則
。
如果區(qū)域不滿(mǎn)足以上條件,可以將區(qū)域分成若干個(gè)部分區(qū)域,使每個(gè)部分區(qū)域滿(mǎn)足以上條件,再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性來(lái)計(jì)算。
2.利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為,極坐標(biāo)系中的面積元素為。在極坐標(biāo)系下,二重積分可變?yōu)?
(i)極點(diǎn)在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為
,
其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù),則
(ii)極點(diǎn)在區(qū)
4、域邊界上。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為
,
其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則
(iii)極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)。區(qū)域在極坐標(biāo)下可表示為
,
其中在區(qū)間上連續(xù),從而有
(三)二重積分的應(yīng)用
1.曲面面積:設(shè)曲面是由方程給出,在平面上的投影區(qū)域?yàn)?,且函?shù)在上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則曲面的面積為
2.物理應(yīng)用:設(shè)平面薄片在平面上所占的區(qū)域?yàn)?,其面密度為?
(1) 薄片質(zhì)量:。
(2) 一階矩:薄片關(guān)于、軸的一階矩、分別為
,
(3) 薄片質(zhì)心:,。
(4) 薄片關(guān)于、軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為:
,
(四)三重積分的定義
設(shè)為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意分成個(gè)子域,以表示第個(gè)子域的
5、體積。在每一個(gè)子域上任取一點(diǎn),作和式,如果當(dāng)所有子域直徑中的最大值趨于零時(shí),這和式的極限存在,則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分,記作,即
(五) 三重積分的性質(zhì)
(1)線性性質(zhì)
,其中在上可積,為常數(shù)。
(2)分域性質(zhì)
,
其中在上可積,且無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)。
(3)若在上可積且,則有
(4)估值公式
設(shè)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),其最大值為,最小值,則
上式中表示閉區(qū)域的體積。
(5)中值定理
設(shè)在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則,使
(六)三重積分的計(jì)算
(1)在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法
(a)先單后重法
若先對(duì)積分,則將積分區(qū)域向平面投影,記投影區(qū)域?yàn)椋?/p>
6、可表示為,則
類(lèi)似可以先對(duì)y積分或先對(duì)x積分。
(b)先重后單法
將積分區(qū)域向子軸投影得,再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域,得,則有
(2)在柱面坐標(biāo)系中的算法
設(shè)
若,則
(3)在球坐標(biāo)系中的方法
設(shè),若
則一
(七)三重積分的應(yīng)用
(1)體積
(2)物體的質(zhì)量
若物體所占空間區(qū)域?yàn)?,密度函?shù)為,則質(zhì)量
(3)質(zhì)心坐標(biāo)
(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
復(fù)習(xí)指導(dǎo):
第12章 重積分
學(xué)習(xí)指導(dǎo)
1. 掌握二重積分的概念。
2. 會(huì)用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。
3. 熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。能按照積分區(qū)域的特征將二重
7、積分轉(zhuǎn)化為二次積分,也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域,并進(jìn)一步變換二次積分的次序。
4. 會(huì)將直角坐標(biāo)系中簡(jiǎn)單曲線的方程改寫(xiě)為極坐標(biāo)系下的方程,會(huì)確定極坐標(biāo)系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍,會(huì)在極坐標(biāo)系下計(jì)算簡(jiǎn)單區(qū)域的二重積分。
5. 掌握二重積分的幾何意義,能用二重積分計(jì)算平面區(qū)域的面積和空間中簡(jiǎn)單立體的體積。
6. 會(huì)用二重積分計(jì)算質(zhì)量、質(zhì)心、一階矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。
7. 掌握第一型曲面積分的概念,會(huì)確定曲面在坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域,會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單曲面上的第一型曲面積分。
8.對(duì)三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域?yàn)榈奈矬w的質(zhì)量。理解這一點(diǎn)對(duì)三重積分的許多性質(zhì)的理解有極大的幫助
8、。
還應(yīng)將三重積分和以前各類(lèi)積分比較,一方面可以加強(qiáng)理解,另一方面也使同學(xué)不易忘記和混淆。
三重積分
變密度三維空間立體的質(zhì)量
定積分dx
變密度一維直剛絲的質(zhì)量
第一型曲線積分
變密度彎曲剛絲的質(zhì)量
二重積分
變密度二維平面薄片的質(zhì)量
第一型曲面積分
變密度空間曲面薄片的質(zhì)量
9.對(duì)稱(chēng)性
當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱(chēng)時(shí),若被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù),即
,則
其中為在面之上方的部分
若被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù), ,即,則
當(dāng)關(guān)于其他坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)時(shí)有類(lèi)似結(jié)論。
10.各類(lèi)坐標(biāo)系的選擇
(1)當(dāng)積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域,或在某坐標(biāo)面上的投影是圓域,被積函數(shù)具有的形式,常采用柱坐標(biāo)系。
(2)當(dāng)積分區(qū)域是與球相關(guān)的區(qū)域,而被積函數(shù)具有的形式時(shí),常采用球坐標(biāo)。
(3)其他如平面或拋物面構(gòu)成的區(qū)域,可選用直角坐標(biāo)系。
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