《華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之?dāng)?shù)列及無(wú)窮級(jí)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《華理高數(shù)全部復(fù)習(xí)資料之?dāng)?shù)列及無(wú)窮級(jí)數(shù)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8章 數(shù)列與無(wú)窮級(jí)數(shù) （一） 數(shù)列 1． 數(shù)列極限的定義 若>0，正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)成立<,則稱(chēng)常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱(chēng)數(shù)列收斂于，記為。否則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散。 2． 數(shù)列極限的運(yùn)算法則 若，，c是常數(shù)，則 ； ； ； 。 3． 數(shù)列極限的性質(zhì) (1)若>0則，當(dāng)時(shí)成立>0；，則。 (2) 收斂數(shù)列是有界數(shù)列。 4．?dāng)?shù)列極限的存在性準(zhǔn)則 (1) 夾逼準(zhǔn)則（夾逼定理）: （2）單調(diào)有界準(zhǔn)則（數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理）: 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 5． 數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系 對(duì)于數(shù)列，若存在定義域包含的函數(shù)，使，且，且。 6． 數(shù)列與數(shù)列的關(guān)系

2、 （1）若，是的一個(gè)子數(shù)列，則。 （2）若，則。 （二）無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念 1．級(jí)數(shù)斂散性的定義 　稱(chēng)為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和，而稱(chēng)數(shù)列為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列。 　若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂，即，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，稱(chēng)s為該級(jí)數(shù)的和，記為，同時(shí)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的余和。 　若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散。 2．級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) （１）若，是常數(shù)，則。 （2）若=s，，則。 （3）若收斂，則也收斂，其中任一正整數(shù)；反之亦成立。 （4）收斂級(jí)數(shù)添加括弧后仍收斂于原來(lái)的和。 （5）級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則。 （三）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1．正項(xiàng)級(jí)數(shù) （1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和

3、數(shù)列有界。 （2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法及其極限形式 設(shè)，（１）若收斂，則收斂；（２）若發(fā)散，則發(fā)散。 設(shè)與均是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則與具有相同的斂散性。 （3）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的積分判別法 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)與廣義積分具有相同的斂散性。 （4）正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法的極限形式 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且, 則 （a）<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； （b）當(dāng)>1（包含）時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； （c）當(dāng)時(shí)，本判別法失效。 （5）正項(xiàng)級(jí)數(shù)根值判別法的極限形式 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且,　則 （a）當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

4、 (b) 當(dāng)>1（包含）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； ( c) 當(dāng)時(shí)，本判別法失效。 2．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法 若正數(shù)列｛｝單調(diào)減少，且, 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)（及）收斂，且余和。 3.　絕對(duì)收斂與條件收斂 若收斂，則稱(chēng)絕對(duì)收斂； 若發(fā)散，而收斂，則稱(chēng)條件收斂。 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必收斂。 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任一更序級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂于原級(jí)數(shù)的和。 （四）冪級(jí)數(shù) 1．冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）阿貝爾定理 若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)(0)處收斂，則在區(qū)間（）內(nèi)的任一點(diǎn)處均絕對(duì)收斂； 若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)散，則在

5、滿(mǎn)足的任一點(diǎn)處均發(fā)散。 （2）收斂半徑的定義 若冪級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0處收斂，也不是在（）內(nèi)的任一點(diǎn)處均收斂，則存在正數(shù)r，使當(dāng)時(shí)，收斂；而當(dāng)時(shí)，發(fā)散，稱(chēng)此正數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。當(dāng)僅在點(diǎn)=0處收斂時(shí)，定義收斂半徑=0; 當(dāng)在（）上都收斂時(shí)，定義收斂半徑=+。 (3) 　收斂半徑的計(jì)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)滿(mǎn)足,（這里的是某個(gè)正整數(shù)）,且，則?。╝）當(dāng)L>0時(shí)，=; 　　(b) 當(dāng)L=0時(shí)，= +; 　 　(c) 當(dāng)L= +時(shí)，=0。 （４）收斂區(qū)間與收斂域 　　當(dāng)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑r>0時(shí)，稱(chēng)（）是它的收斂區(qū)間；當(dāng)判定在=處的斂散性后，可確定其收斂域。

6、2．冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 （1）代數(shù)運(yùn)算 設(shè)　　　，收斂域?yàn)?，收斂半?０， 　　　，收斂域，收斂半徑>０， 則 　a) 　　　　　　　　　　　　　?。剑諗坑?yàn)椋? b) 　 　　　　　　　　　　　　　　 ＝，收斂半徑 （這里兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的乘積是柯西乘積）。 （2）、分析運(yùn)算 設(shè)，收斂域，收斂半徑，則 a) 和函數(shù)在上連續(xù)； b) 和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且可逐項(xiàng)求導(dǎo)： 　　　　 ； 　ｃ）和函數(shù)在內(nèi)可積，且可逐項(xiàng)積分： 　　　　　==，； 3． 冪級(jí)數(shù)的展開(kāi) （1）函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 設(shè)函數(shù)f

7、(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)冪級(jí)數(shù) 　　　=++… 為f(x)在點(diǎn)x的泰勒級(jí)數(shù)。而稱(chēng) 　　　　　=++… 為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)（=0時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)）。 （2）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（間接展開(kāi)法） 利用五個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通過(guò)冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，分析運(yùn)算， 變量代換等手段，求給定函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 復(fù)習(xí)指導(dǎo)： 第8章 數(shù)列與無(wú)窮級(jí)數(shù) （一）、數(shù)列 計(jì)算數(shù)列的極限，通常可利用代數(shù)恒等變形、數(shù)列極限的運(yùn)算法則和利用函數(shù)極限的方法。這里必須注意的是：由于數(shù)列是定義域?yàn)殡x散點(diǎn)集的函數(shù)，故不能直接使用洛必達(dá)法則，如需使用此法則，必須先化成具有連續(xù)變量的函數(shù)

8、，再利用函數(shù)極限計(jì)算數(shù)列極限。 　　假定數(shù)列由遞推公式定義，則一般可考慮利用數(shù)列的單調(diào)有界收斂定理。 　　如果數(shù)列的通項(xiàng)是由n個(gè)項(xiàng)的和構(gòu)成，通?？煽紤]利用夾逼定理或定積分的定義，也可以考慮先將和求出來(lái)，再求極限。 （二）、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念 1、級(jí)數(shù)斂散性的定義 　　每個(gè)級(jí)數(shù)涉及到兩個(gè)數(shù)列：一是由其項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列｛u｝，二是由其部分和構(gòu)成的數(shù)列｛s｝。級(jí)數(shù)的斂散性是用｛s｝的斂散性定義的。 　　一般，即使級(jí)數(shù)收斂，要求其和也是很困難的。但只要級(jí)數(shù)收斂，我們就可以用部分和近似表示它的和，其誤差為。故我們首先關(guān)心的是判斷級(jí)數(shù)的斂散性。 ２、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) （１）、在級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)上同乘

9、以一不為零的常數(shù)，級(jí)數(shù)的斂散性不變。 （２）、收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加。而且，若收斂，發(fā)散，則必有發(fā)散。 （３）、在級(jí)數(shù)的前面添上或去掉有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性。 （４）、收斂級(jí)數(shù)可以加括弧，即滿(mǎn)足加法的結(jié)合律。若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散。 （５）、＝０是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件。因此由?。翱赏频眉?jí)數(shù)發(fā)散。 　　若需證明數(shù)列{ }收斂于零，也可考慮以下方法：證明級(jí)數(shù)收斂，再利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件得{ }收斂于零。 （三）、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) １、正項(xiàng)級(jí)數(shù) （１）、首先得注意多種正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法使用的前提，就是必須是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 （２）、一般，對(duì)于通項(xiàng)含有階乘、指數(shù)函數(shù)、冪指

10、函數(shù)等因式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可優(yōu)先考慮利用比值判別法；對(duì)于通項(xiàng)含有指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等因式，但不含階乘因式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可考慮利用根值判別法；以n的冪（整數(shù)冪或分?jǐn)?shù)冪）有理式為通項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)閚時(shí)，通項(xiàng)關(guān)于無(wú)窮小的階數(shù)易觀察而得，應(yīng)優(yōu)先考慮與p級(jí)數(shù)比較，（利用比較判別法或其極限形式）。 （３）、比較判別法的比較對(duì)象，一般可取等比級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)，故下列結(jié)論應(yīng)牢記。 等比級(jí)數(shù)當(dāng)<1時(shí)，收斂于，當(dāng) 1時(shí)發(fā)散。 P級(jí)數(shù)，當(dāng)p>１時(shí)收斂，當(dāng)p１時(shí)發(fā)散。 ２、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法 　　這里需指出，與其他的判別法一樣，萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。 對(duì)于萊布尼茲型級(jí)數(shù)，其“截?cái)嗾`差”有估

11、計(jì)式 ３、絕對(duì)收斂與條件收斂 （１）、判斷變號(hào)級(jí)數(shù)的斂散性，是指判斷其絕對(duì)收斂、條件收斂還是發(fā)散。 （２）、若發(fā)散，且此結(jié)論是由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值或根值判別法而得，則必有，因而立即可得 發(fā)散。 （四）、冪級(jí)數(shù) 1、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）、冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)必是其收斂域的端點(diǎn)。 （2）、對(duì)于“缺項(xiàng)”的冪級(jí)數(shù)，不能直接利用公式求收斂半徑，我們可以將任意取定為一常數(shù)，再利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值或根值判別法來(lái)確定其收斂半徑。 2、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的運(yùn)算，可能會(huì)改變其收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性。 3．冪級(jí)數(shù)的展開(kāi) 通常利用間接法展開(kāi)。這里首先需要注意

12、的是基點(diǎn)，如果是將函數(shù)在點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，是指將表達(dá)成 的形式。一般，對(duì)數(shù)函數(shù)可利用的麥克勞林級(jí)數(shù)，指數(shù)函數(shù)利用的麥克勞林級(jí)數(shù)等等，又，反三角函數(shù)或變限積分函數(shù)常常 先求導(dǎo)再展開(kāi)。 若在展開(kāi)過(guò)程中，利用了冪級(jí)數(shù)的乘法，逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分的運(yùn)算，則收斂區(qū)間端點(diǎn)上的斂散性需重新判斷。 求所得冪級(jí)數(shù)的收斂域是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的必要步驟之一，千萬(wàn)不要遺漏。 4．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)與收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 若在冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)中沒(méi)出現(xiàn)階乘記號(hào)，通常利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，將其化為等比級(jí)數(shù)，利用等比級(jí)數(shù)收斂性的結(jié)論求冪級(jí)數(shù)在收斂域上的和函數(shù)。若在冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)中出現(xiàn)階乘記號(hào)，則利用 、sinx、cosx的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通過(guò)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，求其在收斂域上的和函數(shù)。 求收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，可以利用級(jí)數(shù)斂散性的定義，即計(jì)算。也可構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，使收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)某點(diǎn)處的值，通過(guò)計(jì)算冪級(jí)數(shù)在收斂域上的和函數(shù)達(dá)到目的。 9 / 9文檔可自由編輯打印