北師大八年級(jí)上勾股定理單元測(cè)試(五)含答案解析
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1、第1章 勾股定理 一、選擇題(共11小題) 1.如圖,有兩棵樹,一棵高10米,另一棵高4米,兩樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 2.下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是( ?。? A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,6 3.如圖,透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒,此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁,且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處,則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是( ?。? A.1
2、3cm B.2cm C. cm D.2cm 4.△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,如果a2+b2=c2,那么下列結(jié)論正確的是( ?。? A.csinA=a B.bcosB=c C.a(chǎn)tanA=b D.ctanB=b 5.一圓錐體形狀的水晶飾品,母線長(zhǎng)是10cm,底面圓的直徑是5cm,點(diǎn)A為圓錐底面圓周上一點(diǎn),從A點(diǎn)開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點(diǎn),則彩帶最少用多少厘米(接口處重合部分忽略不計(jì))( ?。? A.10πcm B.10cm C.5πcm D.5cm 6.下列四組線段中,可以構(gòu)成直角三角形的是( ) A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D
3、.1,,3 7.a(chǎn)、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,且a:b:c=1::,則cosB的值為( ?。? A. B. C. D. 8.如圖,小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端,繩子末端剛好接觸到地面,然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處,發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m,則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計(jì))為( ?。? A.12m B.13m C.16m D.17m 9.下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng),其中能構(gòu)成直角三角形的是( ?。? A.,, B.1,, C.6,7,8 D.2,3,4 10.如圖,已知直線a∥b,且a與b之間的距離為4,點(diǎn)A到直線a的距離為2,點(diǎn)B到直線b
4、的距離為3,AB=.試在直線a上找一點(diǎn)M,在直線b上找一點(diǎn)N,滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短,則此時(shí)AM+NB=( ?。? A.6 B.8 C.10 D.12 11.如圖,在6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形及其部分對(duì)角線構(gòu)成的圖形中,如圖從A點(diǎn)到B點(diǎn)只能沿圖中的線段走,那么從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有( ?。? A.1種 B.2種 C.3種 D.4種 二、填空題(共11小題) 12.已知A,B,C三地位置如圖所示,∠C=90,A,C兩地的距離是4km,B,C兩地的距離是3km,則A,B兩地的距離是 km;若A地在C地的正東方向,則B地在C地的 方向. 13.
5、太原市公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國(guó)首位.公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示,AB⊥AD,AD⊥DC,點(diǎn)B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=80cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,則點(diǎn)A到地面的距離是 cm. 14.如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系,公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,古塔位于點(diǎn)A(400,300),從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B,從盆景園B向左轉(zhuǎn)90后直行400m到達(dá)梅花閣C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ?。? 15.如圖,小明從A地沿北偏東60方向走2千米到B地,再?gòu)腂地正南方向走3千米到C地,此時(shí)小明距離
6、A地 千米(結(jié)果可保留根號(hào)). 16.如圖,一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過3個(gè)面爬到點(diǎn)B,如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的,則AC的長(zhǎng)為 . 17.如圖,有兩棵樹,一棵高12米,另一棵高6米,兩樹相距8米,一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行 米. 18.如圖,小聰用一塊有一個(gè)銳角為30的直角三角板測(cè)量樹高,已知小聰和樹都與地面垂直,且相距3米,小聰身高AB為1.7米,則這棵樹的高度= 米. 19.如圖,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù):AM=4米,AB=8米,∠MAD=45,∠MBC=30,則警示牌的高CD
7、為 米(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73). 20.在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上,用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞,則絲帶的最短長(zhǎng)度為 cm.(結(jié)果保留π) 21.圖①所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm,沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(圖中虛線)剪掉一角,得到如圖②的幾何體,一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 cm. 22.如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),連接AE、BE、CE,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C= 度. 三、解答
8、題(共8小題) 23.如圖,有兩條公路OM、ON相交成30角,沿公路OM方向離O點(diǎn)80米處有一所學(xué)校A.當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛時(shí),在以P為圓心50米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響,且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時(shí). (1)求對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離; (2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時(shí)間. 24.“為了安全,請(qǐng)勿超速”.如圖,一條公路建成通車,在某直線路段MN限速60千米/小時(shí),為了檢測(cè)車輛是否超速,在公路MN旁設(shè)立了觀測(cè)點(diǎn)C,從觀測(cè)點(diǎn)C測(cè)得一小車
9、從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒鐘,已知∠CAN=45,∠CBN=60,BC=200米,此車超速了嗎?請(qǐng)說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73) 25.校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題,安全隱患主要是超速和超載.某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組進(jìn)行了測(cè)試汽車速度的實(shí)驗(yàn),如圖,先在筆直的公路l旁選取一點(diǎn)A,在公路l上確定點(diǎn)B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60,再在AC上確定點(diǎn)D,使得∠BDC=75,測(cè)得AD=40米,已知本路段對(duì)校車限速是50千米/時(shí),若測(cè)得某校車從B到C勻速行駛用時(shí)10秒,問這輛車在本路段是否超速?請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73) 26.如圖,一根長(zhǎng)6米的
10、木棒(AB),斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上,與地面的傾斜角(∠ABO)為60.當(dāng)木棒A端沿墻下滑至點(diǎn)A′時(shí),B端沿地面向右滑行至點(diǎn)B′. (1)求OB的長(zhǎng); (2)當(dāng)AA′=1米時(shí),求BB′的長(zhǎng). 27.小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高.小明說:“這樓起碼20層!”小華卻不以為然:“20層?我看沒有,數(shù)數(shù)就知道了!”小明說:“有本事,你不用數(shù)也能明白!”小華想了想說:“沒問題!讓我們來量一量吧!”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn),測(cè)量數(shù)據(jù)如圖,其中矩形CDEF表示樓體,AB=150米,CD=10米,∠A=30,∠B=45,(A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線上)問: (1
11、)樓高多少米? (2)若每層樓按3米計(jì)算,你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢?請(qǐng)說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.73,≈1.41,≈2.24) 28.如圖,修公路遇到一座山,于是要修一條隧道.為了加快施工進(jìn)度,想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工.為了使山的另一側(cè)的開挖點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,設(shè)想過C點(diǎn)作直線AB的垂線L,過點(diǎn)B作一直線(在山的旁邊經(jīng)過),與L相交于D點(diǎn),經(jīng)測(cè)量∠ABD=135,BD=800米,求直線L上距離D點(diǎn)多遠(yuǎn)的C處開挖?(≈1.414,精確到1米) 29.小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通,便設(shè)計(jì)了如下問題:如圖,以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B,現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C
12、,再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB=80km,BC=20km,∠ABC=120.請(qǐng)你幫助小明解決以下問題: (1)求A、C之間的距離;(參考數(shù)據(jù)=4.6) (2)若客車的平均速度是60km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h,城際列車的平均速度為180km/h,為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站,小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案?請(qǐng)說明理由.(不計(jì)候車時(shí)間) 30.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長(zhǎng)邊,當(dāng)a2+b2=c2時(shí),△ABC是直角三角形;當(dāng)a2+b2≠c2時(shí),利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系,探究△ABC的形狀(按角分類). (1)當(dāng)△ABC
13、三邊分別為6、8、9時(shí),△ABC為 三角形;當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí),△ABC為 三角形. (2)猜想,當(dāng)a2+b2 c2時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)a2+b2 c2時(shí),△ABC為鈍角三角形. (3)判斷當(dāng)a=2,b=4時(shí),△ABC的形狀,并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍. 第1章 勾股定理 參考答案與試題解析 一、選擇題(共11小題) 1.如圖,有兩棵樹,一棵高10米,另一棵高4米,兩樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行( ?。? A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【專題】應(yīng)用
14、題. 【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知:小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行,所行的路程最短,運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出. 【解答】解:如圖,設(shè)大樹高為AB=10m, 小樹高為CD=4m, 過C點(diǎn)作CE⊥AB于E,則EBDC是矩形, 連接AC, ∴EB=4m,EC=8m,AE=AB﹣EB=10﹣4=6m, 在Rt△AEC中,AC==10m, 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理.善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 2.下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是( ) A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,6
15、 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理. 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)是直角三角形判定則可.如果有這種關(guān)系,這個(gè)就是直角三角形. 【解答】解:A、∵302+402=502,∴該三角形符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形,故正確; B、∵72+122≠132,∴該三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,故錯(cuò)誤; C、∵52+92≠122,∴該三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,故錯(cuò)誤; D、∵32+42≠62,∴該三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,故錯(cuò)誤; 故選A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理,在應(yīng)用
16、勾股定理的逆定理時(shí),應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系,確定最大邊后,再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系,進(jìn)而作出判斷. 3.如圖,透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒,此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁,且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處,則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是( ?。? A.13cm B.2cm C. cm D.2cm 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題. 【分析】將容器側(cè)面展開,建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求. 【解答】解:如圖: ∵高為12cm,底面
17、周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒, 此時(shí)螞蟻正好在容器外壁,離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處, ∴A′D=5cm,BD=12﹣3+AE=12cm, ∴將容器側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′, 連接A′B,則A′B即為最短距離, A′B= = =13(Cm). 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴},將圖形展開,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力. 4.△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,如果a2+b2=c2,那么下列結(jié)論正確的是( ?。? A.csinA
18、=a B.bcosB=c C.a(chǎn)tanA=b D.ctanB=b 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理;銳角三角函數(shù)的定義. 【分析】由于a2+b2=c2,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形,且∠C=90,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項(xiàng). 【解答】解:∵a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形,且∠C=90. A、sinA=,則csinA=a.故本選項(xiàng)正確; B、cosB=,則cosBc=a.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; C、tanA=,則=b.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、tanB=,則atanB=b.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理.判
19、斷三角形是否為直角三角形,已知三角形三邊的長(zhǎng),只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可. 5.一圓錐體形狀的水晶飾品,母線長(zhǎng)是10cm,底面圓的直徑是5cm,點(diǎn)A為圓錐底面圓周上一點(diǎn),從A點(diǎn)開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點(diǎn),則彩帶最少用多少厘米(接口處重合部分忽略不計(jì))( ?。? A.10πcm B.10cm C.5πcm D.5cm 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題;圓錐的計(jì)算. 【專題】計(jì)算題. 【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng),進(jìn)而得出扇形圓心角的度數(shù),再利用勾股定理求出AA′的長(zhǎng). 【解答】解:由兩點(diǎn)間直線距離最短可知,圓錐側(cè)面展開圖AA′最短, 由題意可得
20、出:OA=OA′=10cm, ==5π, 解得:n=90, ∴∠AOA′=90, ∴AA′==10(cm), 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題,得出∠AOA′的度數(shù)是解題關(guān)鍵. 6.下列四組線段中,可以構(gòu)成直角三角形的是( ?。? A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1,,3 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理. 【專題】計(jì)算題. 【分析】由勾股定理的逆定理,只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可. 【解答】解:A、42+52=41≠62,不可以構(gòu)成直角三角形,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、1.52+22=6.25=2.52,
21、可以構(gòu)成直角三角形,故B選項(xiàng)正確; C、22+32=13≠42,不可以構(gòu)成直角三角形,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、12+()2=3≠32,不可以構(gòu)成直角三角形,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形. 7. a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,且a:b:c=1::,則cosB的值為( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理;銳角三角函數(shù)的定義. 【專題】計(jì)算題. 【分析】先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形,再利用余弦函數(shù)的定義即可求解. 【
22、解答】解:∵a:b:c=1::, ∴b=a,c=a, ∴a2+b2=a2+(a)2=3a2=c2, ∴△ABC是直角三角形,∠C=90, ∴cosB===. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形,同時(shí)考查了余弦函數(shù)的定義:銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦,記作cosA. 8.(2013?濟(jì)南)如圖,小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端,繩子末端剛好接觸到地面,然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處,發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m,則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計(jì))為( ?。? A.1
23、2m B.13m C.16m D.17m 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【專題】應(yīng)用題. 【分析】根據(jù)題意畫出示意圖,設(shè)旗桿高度為x,可得AC=AD=x,AB=(x﹣2)m,BC=8m,在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x. 【解答】解:設(shè)旗桿高度為x,則AC=AD=x,AB=(x﹣2)m,BC=8m, 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即(x﹣2)2+82=x2, 解得:x=17, 即旗桿的高度為17米. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線. 9.下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的
24、邊長(zhǎng),其中能構(gòu)成直角三角形的是( ?。? A.,, B.1,, C.6,7,8 D.2,3,4 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理. 【分析】知道三條邊的大小,用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較,如果相等,則三角形為直角三角形;否則不是. 【解答】解:A、()2+()2≠()2,不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤; B、12+()2=()2,能構(gòu)成直角三角形,故正確; C、62+72≠82,不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤; D、22+32≠42,不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形,已知三角形三邊的長(zhǎng),只要利用勾股定理的
25、逆定理加以判斷即可. 10.(2013?鄂州)如圖,已知直線a∥b,且a與b之間的距離為4,點(diǎn)A到直線a的距離為2,點(diǎn)B到直線b的距離為3,AB=.試在直線a上找一點(diǎn)M,在直線b上找一點(diǎn)N,滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短,則此時(shí)AM+NB=( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間線段最短;平行線之間的距離. 【專題】壓軸題. 【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離,是定值,只要滿足AM+NB的值最小即可,作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A′,并延長(zhǎng)AA′,過點(diǎn)B作BE⊥AA′于點(diǎn)E,連接A′B交直線b于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作N
26、M⊥直線a,連接AM,則可判斷四邊形AA′NM是平行四邊形,得出AM=A′N,由兩點(diǎn)之間線段最短,可得此時(shí)AM+NB的值最?。^點(diǎn)B作BE⊥AA′,交AA′于點(diǎn)E,在Rt△ABE中求出BE,在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB. 【解答】解:作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A′,并延長(zhǎng)AA′,過點(diǎn)B作BE⊥AA′于點(diǎn)E,連接A′B交直線b于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NM⊥直線a,連接AM, ∵A到直線a的距離為2,a與b之間的距離為4, ∴AA′=MN=4, ∴四邊形AA′NM是平行四邊形, ∴AM+NB=A′N+NB=A′B, 過點(diǎn)B作BE⊥AA′,交AA′于點(diǎn)E, 易得AE=2+4+3
27、=9,AB=2,A′E=2+3=5, 在Rt△AEB中,BE==, 在Rt△A′EB中,A′B==8. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離,解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)M、點(diǎn)N的位置,難度較大,注意掌握兩點(diǎn)之間線段最短. 11.如圖,在6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形及其部分對(duì)角線構(gòu)成的圖形中,如圖從A點(diǎn)到B點(diǎn)只能沿圖中的線段走,那么從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有( ) A.1種 B.2種 C.3種 D.4種 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【專題】計(jì)算題. 【分析】如圖所示,找出從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法即可. 【解答】解:根據(jù)題意得出最短路程如
28、圖所示, 最短路程長(zhǎng)為+1=2+1, 則從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有3種, 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用,弄清題意是解本題的關(guān)鍵. 二、填空題(共11小題) 12.(2015?廈門)已知A,B,C三地位置如圖所示,∠C=90,A,C兩地的距離是4km,B,C兩地的距離是3km,則A,B兩地的距離是 5 km;若A地在C地的正東方向,則B地在C地的 正北 方向. 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;方向角. 【分析】根據(jù)勾股定理來求AB的長(zhǎng)度.由于∠C=90,A地在C地的正東方向,則B地在C地的正北方向. 【解答】解:∵∠C=90,A,C兩地的距離是4km
29、,B,C兩地的距離是3km, ∴AB===5(km). 又∵A地在C地的正東方向,則B地在C地的 正北方向. 故答案是:5;正北. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和方向角.勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用:運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題. 13.太原市公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國(guó)首位.公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示,AB⊥AD,AD⊥DC,點(diǎn)B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=80cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,則點(diǎn)A到地面的距離是 cm. 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】分別過點(diǎn)A作AM⊥BF于
30、點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N,利用勾股定理得出BN的長(zhǎng),再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可. 【解答】解:過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N, ∵AD=24cm,則NC=24cm, ∴BN===7(cm), ∵∠AMB=∠CNB=90,∠ABM=∠CBN, ∴△BNC∽△BMA, ∴=, ∴=, 則:AM==, 故點(diǎn)A到地面的距離是: +4=(m). 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì),得出△BNC∽△BMA是解題關(guān)鍵. 14.如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系,公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)
31、O,古塔位于點(diǎn)A(400,300),從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B,從盆景園B向左轉(zhuǎn)90后直行400m到達(dá)梅花閣C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是?。?00,800)?。? 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;坐標(biāo)確定位置;全等三角形的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AOD≌△ACB(SAS),進(jìn)而得出C,A,D也在一條直線上,求出CD的長(zhǎng)即可得出C點(diǎn)坐標(biāo). 【解答】解:連接AC, 由題意可得:AB=300m,BC=400m, 在△AOD和△ACB中 ∵, ∴△AOD≌△ACB(SAS), ∴∠CAB=∠OAD, ∵B、O在一條直線上, ∴C,A,D也在一條直
32、線上, ∴AC=AO=500m,則CD=AC=AD=800m, ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為:(400,800). 故答案為:(400,800). 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理,得出C,A,D也在一條直線上是解題關(guān)鍵. 15.如圖,小明從A地沿北偏東60方向走2千米到B地,再?gòu)腂地正南方向走3千米到C地,此時(shí)小明距離A地 千米(結(jié)果可保留根號(hào)). 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;方向角. 【分析】根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)得出BD,AD的長(zhǎng),再利用勾股定理得出AC的長(zhǎng). 【解答】解:如圖所示,由題意可得:AB=2,∠B=60, 則BD=ABcos60=1(k
33、m), AD=ABsin60=(km), 故DC=2km, 則AC===(km). 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形的應(yīng)用,得出AD,DC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵. 16.如圖,一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過3個(gè)面爬到點(diǎn)B,如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的,則AC的長(zhǎng)為 ?。? 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題. 【專題】計(jì)算題. 【分析】將正方體展開,右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上,此時(shí)AB最短,根據(jù)三角形MCB與三角形ACN相似,由相似得比例得到MC=2NC,求出CN的長(zhǎng),利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可. 【解答】解
34、:將正方體展開,右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上,展開圖如圖所示,此時(shí)AB最短, ∵△BCM∽△ACN, ∴=,即==2,即MC=2NC, ∴CN=MN=, 在Rt△ACN中,根據(jù)勾股定理得:AC==, 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴},涉及的知識(shí)有:相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,熟練求出CN的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵. 17.如圖,有兩棵樹,一棵高12米,另一棵高6米,兩樹相距8米,一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行 10 米. 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【專題】幾何圖形問題;轉(zhuǎn)化思想. 【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間
35、線段最短”可知:小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行,所行的路程最短,運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出. 【解答】解:如圖,設(shè)大樹高為AB=12m, 小樹高為CD=6m, 過C點(diǎn)作CE⊥AB于E,則四邊形EBDC是矩形, 連接AC, ∴EB=6m,EC=8m,AE=AB﹣EB=12﹣6=6(m), 在Rt△AEC中, AC==10(m). 故小鳥至少飛行10m. 故答案為:10. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,根據(jù)實(shí)際得出直角三角形,培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力. 18.如圖,小聰用一塊有一個(gè)銳角為30的直角三角板測(cè)量樹高,已知小聰和樹都與地面垂直,且相距3米,
36、小聰身高AB為1.7米,則這棵樹的高度= 4.7 米. 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】先根據(jù)題意得出AD的長(zhǎng),在Rt△ACD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng),由CE=CD+DE即可得出結(jié)論. 【解答】解:由題意,易知∠CAD=30,∠CDA=90,AD=3,CE⊥BE,DE=AB=1.7米, ∴tan∠CAD=, ∴CD=3=3, ∴CE=3+1.7=4.7(米). 即這棵樹的高度為4.7米. 故答案為:4.7. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用,難度適中,熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵. 19.如圖,是矗立在高速公
37、路水平地面上的交通警示牌,經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù):AM=4米,AB=8米,∠MAD=45,∠MBC=30,則警示牌的高CD為 2.9 米(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73). 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m,再根據(jù)勾股定理可得MC2+MB2=(2MC)2,代入數(shù)可得答案. 【解答】解:由題意可得:∵AM=4米,∠MAD=45, ∴DM=4m, ∵AM=4米,AB=8米, ∴MB=12米, ∵∠MBC=30, ∴BC=2MC, ∴MC2+MB2=(2MC)2, MC2+122=(2MC)2, ∴MC
38、=4, 則DC=4﹣4≈2.9(米), 故答案為:2.9. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用,關(guān)鍵是掌握直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 20.在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上,用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞,則絲帶的最短長(zhǎng)度為 3 cm.(結(jié)果保留π) 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題. 【專題】壓軸題. 【分析】根據(jù)繞兩圈到C,則展開后相當(dāng)于求出直角三角形ACB的斜邊長(zhǎng),并且AB的長(zhǎng)為圓柱的底面圓的周長(zhǎng)的1.5倍,BC的長(zhǎng)為圓柱的高,根據(jù)勾股定理求出即可. 【解答】解:如圖所示, ∵無彈性的絲帶從A至C,繞了1.5圈,
39、 ∴展開后AB=1.52π=3πcm,BC=3cm, 由勾股定理得:AC===3cm. 故答案為:3. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪肪€問題和勾股定理的應(yīng)用,能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,用了數(shù)形結(jié)合思想. 21.圖①所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm,沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(圖中虛線)剪掉一角,得到如圖②的幾何體,一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 (3+3) cm. 【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題;截一個(gè)幾何體. 【專題】壓軸題;數(shù)形結(jié)合. 【分析】要求螞蟻爬行的最短距離,需將圖②的幾何體表面展開,進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果.
40、 【解答】解:如圖所示: △BCD是等腰直角三角形,△ACD是等邊三角形, 在Rt△BCD中,CD==6cm, ∴BE=CD=3cm, 在Rt△ACE中,AE==3cm, ∴從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為(3+3)cm. 故答案為:(3+3). 【點(diǎn)評(píng)】考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴},本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題. 22.如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),連接AE、BE、CE,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,則∠BE′C= 135 度. 【考點(diǎn)】
41、勾股定理的逆定理;正方形的性質(zhì);旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 【專題】壓軸題. 【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出,△EBE′是直角三角形,進(jìn)而得出∠BEE′=∠BE′E=45,即可得出答案. 【解答】解:連接EE′ ∵△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′ ∴∠EBE′是直角,∴△EBE′是直角三角形, ∵△ABE與△CE′B全等 ∴BE=BE′=2,∠AEB=∠BE′C ∴∠BEE′=∠BE′E=45, ∵EE′2=22+22=8,AE=CE′=1,EC=3, ∴EC2=E′C2+EE′2, ∴△EE′C是直角三角形, ∴∠EE′C=90, ∴∠AEB=135. 故答案為:135
42、. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),根據(jù)已知得出△EBE′是直角三角形是解題關(guān)鍵. 三、解答題(共8小題) 23.如圖,有兩條公路OM、ON相交成30角,沿公路OM方向離O點(diǎn)80米處有一所學(xué)校A.當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛時(shí),在以P為圓心50米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到卡車噪聲的影響,且卡車P與學(xué)校A的距離越近噪聲影響越大.若已知重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時(shí). (1)求對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離; (2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時(shí)間. 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;垂徑定理的應(yīng)用. 【分析】
43、(1)直接利用直角三角形中30所對(duì)的邊等于斜邊的一半求出即可; (2)根據(jù)題意可知,圖中AB=50m,AD⊥BC,且BD=CD,∠AOD=30,OA=80m;再利用垂徑定理及勾股定理解答即可. 【解答】解:(1)過點(diǎn)A作AD⊥ON于點(diǎn)D, ∵∠NOM=30,AO=80m, ∴AD=40m, 即對(duì)學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離為40米; (2)由圖可知:以50m為半徑畫圓,分別交ON于B,C兩點(diǎn),AD⊥BC,BD=CD=BC,OA=80m, ∵在Rt△AOD中,∠AOB=30, ∴AD=OA=80=40m, 在Rt△ABD中,AB=50,AD=40,由勾股定理得
44、:BD===30m, 故BC=230=60米,即重型運(yùn)輸卡車在經(jīng)過BC時(shí)對(duì)學(xué)校產(chǎn)生影響. ∵重型運(yùn)輸卡車的速度為18千米/小時(shí),即=300米/分鐘, ∴重型運(yùn)輸卡車經(jīng)過BC時(shí)需要60300=0.2(分鐘)=12(秒). 答:卡車P沿道路ON方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時(shí)間為12秒. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是垂徑定理與勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用,解答此題的關(guān)鍵是卡車在哪段路上運(yùn)行時(shí)對(duì)學(xué)校產(chǎn)生影響. 24. “為了安全,請(qǐng)勿超速”.如圖,一條公路建成通車,在某直線路段MN限速60千米/小時(shí),為了檢測(cè)車輛是否超速,在公路MN旁設(shè)立了觀測(cè)點(diǎn)C,從觀測(cè)點(diǎn)C測(cè)得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B
45、行駛了5秒鐘,已知∠CAN=45,∠CBN=60,BC=200米,此車超速了嗎?請(qǐng)說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73) 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)題意結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH,CH,AB的長(zhǎng)進(jìn)而求出汽車的速度,進(jìn)而得出答案. 【解答】解:此車沒有超速. 理由:過C作CH⊥MN, ∵∠CBN=60,BC=200米, ∴CH=BC?sin60=200=100(米), BH=BC?cos60=100(米), ∵∠CAN=45, ∴AH=CH=100米, ∴AB=100﹣100≈73(m), ∵60千米/小時(shí)=m/s, ∴=14.6(m/s)<≈1
46、6.7(m/s), ∴此車沒有超速. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,得出AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵. 25.校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題,安全隱患主要是超速和超載.某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組進(jìn)行了測(cè)試汽車速度的實(shí)驗(yàn),如圖,先在筆直的公路l旁選取一點(diǎn)A,在公路l上確定點(diǎn)B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60,再在AC上確定點(diǎn)D,使得∠BDC=75,測(cè)得AD=40米,已知本路段對(duì)校車限速是50千米/時(shí),若測(cè)得某校車從B到C勻速行駛用時(shí)10秒,問這輛車在本路段是否超速?請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73) 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【分析】
47、過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,證明△BCD≌△BED,在Rt△ADE中求出DE,繼而得出CD,計(jì)算出AC的長(zhǎng)度后,在Rt△ABC中求出BC,繼而可判斷是否超速. 【解答】解:過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E, ∵∠CDB=75, ∴∠CBD=15,∠EBD=15, 在Rt△CBD和Rt△EBD中, ∵, ∴△CBD≌△EBD, ∴CD=DE, 在Rt△ADE中,∠A=60,∴∠ADE=30,AD=40米, 則AE=AD=20米, ∴DE==20米, ∴AC=AD+CD=AD+DE=(40+20)米, 在Rt△ABC中,∵∠A=60, ∴∠ABC=30, ∴AB=2AC=80+4
48、0, ∴BC==(40+60)米, 則速度==4+6≈12.92米/秒, ∵12.92米/秒=46.512千米/小時(shí), ∴該車沒有超速. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,求出BC的長(zhǎng)度,需要多次解直角三角形,有一定難度. 26.如圖,一根長(zhǎng)6米的木棒(AB),斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上,與地面的傾斜角(∠ABO)為60.當(dāng)木棒A端沿墻下滑至點(diǎn)A′時(shí),B端沿地面向右滑行至點(diǎn)B′. (1)求OB的長(zhǎng); (2)當(dāng)AA′=1米時(shí),求BB′的長(zhǎng). 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用;解直角三角形的應(yīng)用. 【分析】(1)由已知數(shù)據(jù)解直
49、角三角形AOB即可; (2)首先求出OA的長(zhǎng)和OA′的長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理求出OB′的長(zhǎng)即可. 【解答】解:(1)根據(jù)題意可知:AB=6,∠ABO=60,∠AOB=90, 在Rt△AOB中,∵cos∠ABO=, ∴OB=ABcos∠ABO=6cos60=3米, ∴OB的長(zhǎng)為3米; (2)根據(jù)題意可知A′B′=AB=6米, 在Rt△AOB中,∵sin∠ABO=, ∴OA=ABsin∠ABO=6sin60=9米, ∵OA′=OA﹣AA′,AA′=1米, ∴OA′=8米, 在Rt△A′OB′中,OB′=2米, ∴BB′=OB′﹣OB=(2﹣3)米. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股
50、定理的應(yīng)用和特殊角的銳角三角函數(shù),是中考常見題型. 27.小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高.小明說:“這樓起碼20層!”小華卻不以為然:“20層?我看沒有,數(shù)數(shù)就知道了!”小明說:“有本事,你不用數(shù)也能明白!”小華想了想說:“沒問題!讓我們來量一量吧!”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn),測(cè)量數(shù)據(jù)如圖,其中矩形CDEF表示樓體,AB=150米,CD=10米,∠A=30,∠B=45,(A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線上)問: (1)樓高多少米? (2)若每層樓按3米計(jì)算,你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢?請(qǐng)說明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.73,≈1.41,≈2.24) 【考點(diǎn)】勾股定理的
51、應(yīng)用. 【專題】應(yīng)用題. 【分析】(1)設(shè)樓高為x,則CF=DE=x,在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值,然后根據(jù)AC+CD+BD=150,求出x的值即可; (2)根據(jù)(1)求出的樓高x,然后求出20層樓的高度,比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點(diǎn)正確. 【解答】解:(1)設(shè)樓高為x米,則CF=DE=x米, ∵∠A=30,∠B=45,∠ACF=∠BDE=90, ∴AC=x米,BD=x米, ∴x+x=150﹣10, 解得x==70(﹣1)(米), ∴樓高70(﹣1)米. (2)x=70(﹣1)≈70(1.73﹣1)=700.73=51.1米<32
52、0米, ∴我支持小華的觀點(diǎn),這樓不到20層. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用方程思想求解,難度一般. 28.如圖,修公路遇到一座山,于是要修一條隧道.為了加快施工進(jìn)度,想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工.為了使山的另一側(cè)的開挖點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,設(shè)想過C點(diǎn)作直線AB的垂線L,過點(diǎn)B作一直線(在山的旁邊經(jīng)過),與L相交于D點(diǎn),經(jīng)測(cè)量∠ABD=135,BD=800米,求直線L上距離D點(diǎn)多遠(yuǎn)的C處開挖?(≈1.414,精確到1米) 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【專題】幾何圖形問題. 【分析】首先證明△BCD是等腰直角三角形,再根據(jù)勾股定理可得CD2
53、+BC2=BD2,然后再代入BD=800米進(jìn)行計(jì)算即可. 【解答】解:∵CD⊥AC, ∴∠ACD=90, ∵∠ABD=135, ∴∠DBC=45, ∴∠D=45, ∴CB=CD, 在Rt△DCB中:CD2+BC2=BD2, 2CD2=8002, CD=400≈566(米), 答:直線L上距離D點(diǎn)566米的C處開挖. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用,在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法,關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用. 29.小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通,便設(shè)計(jì)了如下問
54、題:如圖,以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B,現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C,再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB=80km,BC=20km,∠ABC=120.請(qǐng)你幫助小明解決以下問題: (1)求A、C之間的距離;(參考數(shù)據(jù)=4.6) (2)若客車的平均速度是60km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h,城際列車的平均速度為180km/h,為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站,小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案?請(qǐng)說明理由.(不計(jì)候車時(shí)間) 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用. 【專題】幾何圖形問題. 【分析】(1)過點(diǎn)C作AB的垂線,交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn),利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可;
55、 (2)分別求得乘車時(shí)間,然后比較即可得到答案. 【解答】解:(1)過點(diǎn)C作AB的垂線,交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn), ∵∠ABC=120,BC=20, ∴BE=10, 在△ACE中, ∵AC2=8100+300, ∴; (2)乘客車需時(shí)間(小時(shí)); 乘列車需時(shí)間(小時(shí)); ∴選擇城際列車. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形. 30.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長(zhǎng)邊,當(dāng)a2+b2=c2時(shí),△ABC是直角三角形;當(dāng)a2+b2≠c2時(shí),利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系,探究△ABC的形狀(按角分類). (
56、1)當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí),△ABC為 銳角 三角形;當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí),△ABC為 鈍角 三角形. (2)猜想,當(dāng)a2+b2?。尽2時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)a2+b2?。肌2時(shí),△ABC為鈍角三角形. (3)判斷當(dāng)a=2,b=4時(shí),△ABC的形狀,并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍. 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理;勾股定理. 【專題】壓軸題. 【分析】(1)利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時(shí)的斜邊的值,然后作出判斷即可; (2)根據(jù)(1)中的計(jì)算作出判斷即可; (3)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長(zhǎng)邊c點(diǎn)的最大值,然后得到c的取值范圍,然后分情
57、況討論即可得解. 【解答】解:(1)兩直角邊分別為6、8時(shí),斜邊==10, ∴△ABC三邊分別為6、8、9時(shí),△ABC為銳角三角形; 當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí),△ABC為鈍角三角形; 故答案為:銳角;鈍角; (2)當(dāng)a2+b2>c2時(shí),△ABC為銳角三角形; 當(dāng)a2+b2<c2時(shí),△ABC為鈍角三角形; 故答案為:>;<; (3)∵c為最長(zhǎng)邊,2+4=6, ∴4≤c<6, a2+b2=22+42=20, ①a2+b2>c2,即c2<20,0<c<2, ∴當(dāng)4≤c<2時(shí),這個(gè)三角形是銳角三角形; ②a2+b2=c2,即c2=20,c=2, ∴當(dāng)c=2時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形; ③a2+b2<c2,即c2>20,c>2, ∴當(dāng)2<c<6時(shí),這個(gè)三角形是鈍角三角形. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,勾股定理逆定理,讀懂題目信息,理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 36 / 36文檔可自由編輯打印
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