8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)最新考綱考情考向分析1.理解空間線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.2.理解直線與平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.1.直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面互相垂直，記作l，直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行ab2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0的角.(2)范圍：.3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直l概念方法微思考1.若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面嗎？提示垂直.若兩平行線中的一條垂直于一個平面，那么在平面內(nèi)可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內(nèi)的那兩條直線成90的角，即垂直于平面內(nèi)的這兩條相交直線，所以垂直于這個平面.2.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面嗎？提示垂直.在兩個相交平面內(nèi)分別作與第三個平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個平面，那么這兩條直線互相平行.由線面平行的性質(zhì)定理可知，這兩個相交平面的交線與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個平面.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)直線a，b，則ab.()(4)若，a，則a.()(5)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直.()(6)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()題組二教材改編2.P73T1下列命題中錯誤的是()A.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面答案D解析對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項均是正確的.3.P67練習(xí)T2在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心.答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心.(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG為ABC邊AB上的高.同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心.題組三易錯自糾4.(2018臺州模擬)若l，m為兩條不同的直線，為平面，且l，則“m”是“ml”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，則m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要條件，故選A.5.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A.與AC，MN均垂直B.與AC垂直，與MN不垂直C.與AC不垂直，與MN垂直D.與AC，MN均不垂直答案A解析因為DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因為ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因為OM平面BDD1B1，所以O(shè)MAC.設(shè)正方體的棱長為2，則OM，MN，ON，所以O(shè)M2MN2ON2，所以O(shè)MMN.故選A.6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A.MNABB.平面VAC平面VBCC.MN與BC所成的角為45D.OC平面VAC答案B解析由題意得BCAC，因為VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC.因為ACVAA，所以BC平面VAC.因為BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故選B.題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點，F(xiàn)是CC1上一點.當CF2時，證明：B1F平面ADF.證明因為ABAC，D是BC的中點，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因為BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因為BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因為B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因為C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因為ADFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.顯然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.因為ADFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF，所以B1F平面ADF.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明線面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性；面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1(2019紹興模擬)如圖，在三棱錐A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD，則ABEF.又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2018全國)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC為折痕將ACM折起，使點M到達點D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BPDQDA，求三棱錐QABP的體積.(1)證明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如圖，過點Q作QEAC，垂足為E，則QEDC且QEDC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐QABP的體積為VQABPSABPQE32sin4511.思維升華 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.跟蹤訓(xùn)練2(2018寧波調(diào)研)如圖，三棱錐PABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PAPC，PB2.(1)求證：平面PAC平面ABC；(2)若PAPC，求三棱錐PABC的體積.證明(1)如圖，取AC的中點O，連接BO，PO，因為ABC是邊長為2的正三角形，所以BOAC，BO.因為PAPC，所以POAC1.因為PB2，所以O(shè)P2OB2PB2，所以POOB.因為ACOPO，AC，OP平面PAC，所以BO平面PAC.又OB平面ABC，所以平面PAC平面ABC.(2)解因為PAPC，PAPC，AC2，所以PAPC.由(1)知BO平面PAC，所以VPABCVBAPCSPACBO.題型三與垂直有關(guān)的探索性問題例3如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求證：C1E平面ADF；(2)設(shè)點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM平面ADF.(1)證明連接CE交AD于O，連接OF.因為CE，AD為ABC的中線，則O為ABC的重心，故，故OFC1E，因為OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)解當BM1時，平面CAM平面ADF.證明如下：因為ABAC，AD平面ABC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，F(xiàn)C2，故RtCBMRtFCD.易證CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.思維升華對命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證.途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求證：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一點H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的長，若不存在，請說明理由.(1)證明連接BD交AC于點O，則BDAC.設(shè)AB，AD的中點分別為M，N，連接MN，則MNBD，連接FM，GN，則FMGN，且FMGN，所以四邊形FMNG為平行四邊形，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC.由于AE平面ABCD，所以AEBD.所以FGAE，又因為ACAEA，AC，AE平面ACE，所以FG平面ACE.又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.(2)解存在.設(shè)平面ACE交FG于Q，則Q為FG的中點，連接EQ，CQ，取CO的中點H，連接EH，由已知易知，平面EFG平面ABCD，又平面ACE平面EFGEQ，平面ACE平面ABCDAC，所以CHEQ，又CHEQ，所以四邊形EQCH為平行四邊形，所以EHCQ，又CQ平面CFG，EH平面CFG，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一點H，使得EH平面CFG，且CH.1.已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()A.mlB.mnC.nlD.mn答案C解析因為l，所以l，又n，所以nl.2.(2019寧波模擬)已知直線l，m與平面，l，m，則下列命題中正確的是()A.若lm，則必有B.若lm，則必有C.若l，則必有D.若，則必有m答案C解析對于選項A，平面和平面還有可能相交，所以選項A錯誤；對于選項B，平面和平面還有可能相交或平行，所以選項B錯誤；對于選項C，因為l，l，所以.所以選項C正確；對于選項D，直線m可能和平面不垂直，所以選項D錯誤.3.如圖，在四面體DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因為ABCB，且E是AC的中點，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則()A.MNC1D1B.MNBC1C.MN平面ACD1D.MN平面ACC1答案D解析對于選項A，因為M，N分別是BC1，CD1的中點，所以點N平面CDD1C1，點M平面CDD1C1，所以直線MN是與平面CDD1C1相交的直線，又因為直線C1D1在平面CDD1C1內(nèi)，故直線MN與直線C1D1不可能平行，故選項A錯；對于選項B，正方體中易知NBNC1，因為點M是BC1的中點，所以直線MN與直線BC1不垂直，故選項B不對；對于選項C，假設(shè)MN平面ACD1，可得MNCD1，因為N是CD1的中點，所以MCMD1，這與MCMD1矛盾，故假設(shè)不成立，所以選項C不對；對于選項D，分別取B1C1，C1D1的中點P，Q，連接PM，QN，PQ.因為點M是BC1的中點，所以PMCC1且PMCC1.同理QNCC1且QNCC1.所以PMQN且PMQN，所以四邊形PQNM為平行四邊形.所以PQMN.在正方體中，CC1PQ，PQAC，因為ACCC1C，AC平面ACC1，CC1平面ACC1，所以PQ平面ACC1.因為PQMN，所以MN平面ACC1.故選項D正確.5.已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.B.C.D.答案B解析如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，則PAO是PA與平面ABC所成的角.因為底面邊長為，所以AD，AOAD1.三棱柱的體積為()2AA1，解得AA1，即OPAA1，所以tanPAO，因為直線與平面所成角的范圍是，所以PAO.6.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_.答案4解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形.由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，從而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.7.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線_上.答案AB解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上.8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析PA底面ABCD，BDPA，連接AC，則BDAC，且PAACA，BD平面PAC，BDPC.當DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.9.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_.答案解析連接A1C1，則AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角.因為ABBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.10.如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上.點P到直線CC1的距離的最小值為_.答案解析點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值.當PCDE時，PC的長度最小，此時PC.11.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：ABEF；(2)若AFEF，求證：平面PAD平面ABCD.證明(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因為AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABAD.因為AFEF，(1)中已證ABEF，所以ABAF.又ABAD，由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.(2019浙江省臺州中學(xué)模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PNPB.(1)證明：MN平面PDC；(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值.(1)證明因為ABBC，ADCD，所以BD垂直平分線段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等邊三角形，所以BM，所以3，又因為PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直線MN與平面PAC所成的角即直線PD與平面PAC所成的角，故DPM即為所求的角.在RtPAD中，PD2，所以sinDPM，所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為.13.(2018湖州質(zhì)檢)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H.那么，在這個空間圖形中必有()A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF答案B解析根據(jù)折疊前、后AHHE，AHHF不變，AH平面EFH，B正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，A不正確；AGEF，EFGH，AGGHG，AG，GH平面HAG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，過點H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；由條件證不出HG平面AEF，D不正確.故選B.14.(2018全國)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A.B.C.D.答案A解析如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCDA1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等.取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點E，F(xiàn)，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN6sin60.故選A.15.(2019金華模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是_.(寫出所有正確說法的序號)不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN平面DEC；不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNAE；不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNAB；在折起過程中，一定不會有ECAD.答案解析由已知，在未折疊的原梯形中，易知四邊形ABCE為矩形，所以ABEC，所以ABDE，又ABDE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BEAD，折疊后如圖所示.過點M作MPDE，交AE于點P，連接NP.因為M，N分別是AD，BE的中點，所以點P為AE的中點，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正確；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正確；假設(shè)MNAB，則MN與AB確定平面MNBA，從而BE平面MNBA，AD平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾，錯誤；當ECED時，ECAD.因為ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面AED，所以ECAD，不正確.16.在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M為BC的中點.(1)求證：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求點F到平面BDE的距離.(1)證明取BD的中點O，連接OM，OE，因為O，M分別為BD，BC的中點，所以O(shè)MCD，且OMCD.因為四邊形ABCD為菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF，所以EFCD，所以O(shè)MEF，且OMEF，所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)解由(1)得FM平面BDE，所以點F到平面BDE的距離等于點M到平面BDE的距離.取AD的中點H，連接EH，BH，因為EAED，四邊形ABCD為菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因為平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，所以EHBH，易得EHBH，所以BE，所以SBDE.設(shè)點F到平面BDE的距離為h，連接DM，則SBDMSBCD4，連接EM，由V三棱錐EBDMV三棱錐MBDE，得h，解得h，即點F到平面BDE的距離為.