《立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)（240道附詳細(xì)答案）[共94頁(yè)]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)（240道附詳細(xì)答案）[共94頁(yè)]（94頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、狀元源 免注冊(cè)、免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 狀元源 免注冊(cè)、免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)二（有詳細(xì)答案） 361. 有一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，棱長(zhǎng)都相等，將它們一個(gè)側(cè)面重疊后，還有幾個(gè)暴露面? 解析：有5個(gè)暴露面. 如圖所示，過(guò)V作VS′∥AB，則四邊形S′ABV為平行四邊形，有∠S′VA=∠VAB=60°，從而ΔS′VA為等邊三角形，同理ΔS′VD也是等邊三角形，從而ΔS′AD也是等邊三角形，得到以Δ

2、VAD為底，以S′與S重合. 這表明ΔVAB與ΔVSA共面，ΔVCD與ΔVSD共面，故共有5個(gè)暴露面. 362. 若四面體各棱長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .(只須寫出一個(gè)可能的值) 解析： 該題的顯著特點(diǎn)是結(jié)論發(fā)散而不惟一.本題表面上是考查錐體求積公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個(gè)四面體的能力，首先得考慮每個(gè)面的三條棱是如何構(gòu)成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個(gè)四面體，再求其體積. 由平時(shí)所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2

3、，另一邊為1，對(duì)棱相等的四面體. 對(duì)于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1，取AD的中點(diǎn)為M，平面BCM把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐，由對(duì)稱性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以 VABCD=SΔBCM·AD. CM===.設(shè)N是BC的中點(diǎn)，則MN⊥BC，MN===，從而SΔBCM=×2×=， 故VABCD=××1=. 對(duì)于對(duì)棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計(jì)算可先將其置于一個(gè)長(zhǎng)方體之中，再用長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積來(lái)進(jìn)行.亦可套公式V=·， 不妨令a=b=2，c=

4、1，則 V=· =·=. 363. 湖結(jié)冰時(shí)，一個(gè)球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個(gè)直徑為24cm,深為8cm的空穴，求該球的半徑. 解析：設(shè)球的半徑為R，依題意知截面圓的半徑r＝12,球心與截面的距離為d＝R-8，由截面性質(zhì)得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2. 得R＝13 ∴該球半徑為13cm. 364. 在有陽(yáng)光時(shí)，一根長(zhǎng)為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長(zhǎng)為米，同時(shí)將一個(gè)半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無(wú)理數(shù)表示). 解析：由題意知，光線與地面成60°角，設(shè)球的陰影部分

5、面積為S，垂直于光線的大圓面積為S′，則Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2) 365. 設(shè)棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑. 解析： ∵AB⊥AD，AB⊥MA， ∴AB⊥平面MAD， 由此，面MAD⊥面AC. 記E是AD的中點(diǎn)， 從而ME⊥AD. ∴ME⊥平面AC， ME⊥EF 設(shè)球O是與平面MAD、AC、平面MBC都相切的球. 不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心. 設(shè)球O的半徑為r，則r＝ 設(shè)AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1. ∴ME＝.M

6、F＝, r＝≤＝-1 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝時(shí)，等號(hào)成立. ∴當(dāng)AD＝ME＝時(shí)，滿足條件的球最大半徑為-1. 366. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，期棱長(zhǎng)為a. (1)求證BD⊥截面AB1C； (2)求點(diǎn)B到截面AB1C的距離； (3)求BB1與截面AB1C所成的角的余弦值。 同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1. (2)AB=BC=BB1G為△AB1C的中心.AC=a AG=a ∴BG==a (3)∠BB1G為所求 cos∠BB1G= 367. 已知Ｐ為ＡＢＣＤ所在平面外一點(diǎn)，Ｍ為ＰＢ的中點(diǎn)，求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 解析：　因M為PB的中點(diǎn)，連

7、BD∩AC于O后，可將PD縮小平移到MO，可見MO為所求作的平行線． 證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ， 則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線， ∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 368. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分別是棱Ｂ1Ｃ1，A1D1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中點(diǎn)． （１）求證：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ． （２）平面直線A1E與MF所成的角． 解析：（１）要證A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到兩條相交直線與A1E都垂直，顯然MN與它垂直，這是因?yàn)镸N⊥平面A1ADD1，另一方面，AN與A1E是否垂直，這是同一個(gè)平面中的問(wèn)

8、題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識(shí)解決．（２）為（１）的應(yīng)用． 證明?。ǎ保逜B⊥平面A1ADD1， 而Ａ1Ｅ平面A1ADD1， ∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN，　　 ∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN． 解?。ǎ玻┯桑ǎ保┲狝1E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A1E⊥MF， 則A1E與MF所成的角為９０° 369. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M為棱CＣ1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD． 解析：要證A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD內(nèi)找到兩條相交直線與A1O都垂直，首先想到DB，先觀察 A1

9、O垂直DB嗎？ 方法１：發(fā)現(xiàn)A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否為等腰三角形） ∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB． 方法２：A1O⊥DB嗎？即DB⊥A1O嗎？DB垂直包含A1O的平面嗎？（易見DB⊥平面A1ACC1） 再觀察A1O垂直何直線？DM？BM？因這兩條直線與A1O均異面，故難以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到MO，因MO與A1O相交，它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)，這是一個(gè)平幾問(wèn)題，可畫出平幾圖進(jìn)行觀察． 證明　取CC1中點(diǎn)M，連結(jié)MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1A

10、CC1中，∵tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD． 370. 點(diǎn)P在線段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距離分別為a，b，求點(diǎn)P到平面α的距離． 解析：（１）A，B在平面α的同側(cè)時(shí)，P平面α的距離為； （２）A，B在平面α的異側(cè)時(shí)，P平面α的距離為． 點(diǎn)評(píng)　一是畫圖時(shí)，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無(wú)需畫出空間圖形；二是對(duì)第（２）種情形，若以平面為“水平面”，在其上方的點(diǎn)高度為正，在其下方的點(diǎn)高度為負(fù)，則第（２）種情形的結(jié)論，就是將（１）結(jié)論中的b

11、改為(－b)，而無(wú)需再畫另一圖形加以求解． 371. 若兩直線a與b異面，則過(guò)a且與b垂直的平面 （?。? （Ａ）有且只有一個(gè) （Ｂ）可能存在也可能不存在 （Ｃ）有無(wú)數(shù)多個(gè) （Ｄ）一定不存在 （Ｂ） 解析：若存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直． 372. 在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于 （?。? （Ａ）AC ?。ǎ拢〣D 　（Ｃ）A1D ?。ǎ模〢1D1 解析：（Ｂ） BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE． 373. 定點(diǎn)P不在△ABC所在平面內(nèi)，過(guò)P作平面α，使△

12、ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 （　） （Ａ）１個(gè) （Ｂ）２個(gè) （Ｃ）３個(gè) （Ｄ）４個(gè) 解析：D 過(guò)P作一個(gè)與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求 374. P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，，，則P到A點(diǎn)的距離是 （?。? （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）４　 解析：（A） 設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1． 375.

13、 線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上，AP：PB＝１：２，則P到平面α的距離為　　　　　?。? 解析：７cm或１cm． 分A，B在平面α的同側(cè)與異側(cè)兩種情況．同側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為＝７（cm），異側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為＝１（cm）． 376. △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面α的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們?cè)讦恋耐粋?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為　　　 ． 解析：3cm ． ＝3cm ． 377. Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，則ED＝　　　　　．

14、 解析：１３． AB＝１０，∴CD＝５，則ED＝＝１３． 378. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求： （１）A1B與平面A1B1CD所成的角； （２）B1B在平面A1C1B所成角的正切值． 解析：　求線面成角，一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影． （１）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線，一定要證明它是平面A1B1CD的垂線． 這里可證BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足， ∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影． （２）若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計(jì)B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影

15、應(yīng)落在O1B上，這是因?yàn)锳1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H時(shí)，BH1⊥A1C1，即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影．另在求此角大小時(shí)，只要求∠B1BO1即可． 解析：（１）如圖，連結(jié)BC1，交B1C于O，連A1O．　 ∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1． 又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足， ∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影， 則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角． sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝３０°． （２）連結(jié)A1C1交B1D1于O1，

16、連BO1， 作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H． 又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B， ∴∠B1BO1為B1B與平面A1C1B所成的角， tan∠B1BO =，即B1B與平面A1C1B所成的角的正切值為． 379. Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC＝３６，若平面ABC外一點(diǎn)P與平面A，B，C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為８０，M為AC的中點(diǎn)． （１）求證：PM⊥AC； （２）求P到直線AC的距離； （３）求PM與平面ABC所成角的正切值． 解析：點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面AB

17、C內(nèi)的射影為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn)． 證明?。ǎ保逷A＝PC，M是AC中點(diǎn)，∴PM⊥AC 解?。ǎ玻連C＝３６，∴MH＝１８，又PH＝８０， ∴PM＝，即P到直線AC的距離為８２； （３）∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心， ∵∠C=90° ∴P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點(diǎn)H。 ∵PH⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影， 則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝ 380. 如圖，在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體，M為A

18、D的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值． 解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影，而M為AD的中點(diǎn)，故只需觀察A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問(wèn)題解法已明朗． 解　作AO⊥平面BCD于O，連DO，作MN⊥平面BCD于N，則N∈OD． 設(shè)AD＝a，則OD＝，∴AO＝，∴MN＝． 又∵CM＝，∴CN＝． ∴CM與平面BCD所成角的余弦值為． 381. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中點(diǎn)，N在AB上，且AN∶NB＝１∶３，求證：C1M⊥MN． 解析：在空間中作出兩條直線垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難．此題C1M與MN是相交

19、直線，一種方法可通過(guò)勾股定理來(lái)驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線，可考慮MC1在平面A1ABB1內(nèi)的射影． 證明１　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為ａ，則MN＝， C1M＝，C1N＝， ∵M(jìn)N２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN． 證明２　連結(jié)B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1， ∴B1M為C1M在平面A1ABB1上的射影． 設(shè)棱長(zhǎng)為a ，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝， 又tan∠A1B1M＝，則∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN， 由三垂線定理知，C1M⊥MN． 382. 如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB

20、＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面ABCD，PA＝a． （１） 求證：PC⊥CD； （２） 求點(diǎn)B到直線PC的距離． 解析：（１）要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫出底面圖形進(jìn)行證明．（２）從B向直線PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀（事實(shí)上，這里的∠PBC＝９０°）；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”，則只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影． 證明?。ǎ保┤D的中點(diǎn)E，連AC，CE， 則ABC

21、E是正方形，△CED為等腰直角三角形． ∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD； 解?。ǎ玻┻BBE交AC于O，則BE⊥AC， 又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC． 過(guò)O作OH⊥PC于H，連BH，則BH⊥PC． ∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，則OH＝， ∵BO＝，∴BH＝ 383. 四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有 （ ） （Ａ）１個(gè) （Ｂ）２個(gè) （Ｃ）３個(gè) （Ｄ）４個(gè) 解析：（D） 設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平面的垂線，則這樣的四面體的每個(gè)面都是直角三角形． 38

22、4. 直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C在平面α外，C在平面α內(nèi)的射影為C1，且C1AB，則△C1AB為 ?。? ） （Ａ）銳角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）鈍角三角形 （Ｄ）以上都不對(duì) 解析：（C） ∵C1A2+C1B2<CA2+CB2 ＝AB, ∴∠AC1B為鈍角，則△C1AB為鈍角三角形． 385. △ABC在平面α內(nèi)，∠C＝90°，點(diǎn)Ｐα，PA=PB=PC=7, AB=10, 則點(diǎn)P到平面α的距離等于 解析：． ∵PA＝PB＝PC,∴P在平面α內(nèi)的射影為△ABC的外心Ｏ，∵∠C＝90°，∴Ｏ

23、為AB的中點(diǎn)，∵AO＝５，PA＝７，∴PO＝ 386. P是邊長(zhǎng)為a的六邊形ABCDEF所成平面外一點(diǎn)，PA⊥AB，PA⊥AF，PA＝a，則點(diǎn)P到邊CD的距離是 解析：2a． PA⊥平面ABCDEF，A到CD的距離為，∴P到邊CD的距離是2a 387. 如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)． （１） 求證：MN⊥CD； （２） 若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD． 證明?。ǎ保┻BAC∩BD＝O，連NO，MO，則NO∥PA． ∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD． ∵M(jìn)O⊥AB，∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴M

24、N⊥CD； （２）∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD， 由△PAM≌△CBM得PM＝CM， ∵N為PC中點(diǎn)，∴MN⊥PC． 又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD． 388. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PCD是邊長(zhǎng)等于2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2cm2的菱形，∠ADC是銳角. 求證：PA⊥CD 證明：設(shè)∠ADC=θ，則：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60° ∴△ACD是等邊三角形，取CD中點(diǎn)E連AE、PE，則AE⊥CD，PE⊥CD AE⊥CD，PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA

25、 389. 設(shè)P點(diǎn)在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP兩兩垂直；又是的重心；為上一點(diǎn)，；為上一點(diǎn)，；，如圖 (1)求證：GF⊥平面PBC；(2)求證：EF⊥BC。 解析：(1)連結(jié)BG并延長(zhǎng)交PA于M.G為△ABP的重心 注  要充分注意平面幾何中的知識(shí)(如本題中三角形重心性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等)在證題中的運(yùn)用。 390. 已知α∩β=C，a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求證：a⊥EF 解析：b∥a,b,aα, ∴b∥α 又bβ，α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b 又AE⊥b, AE∩AF=A ∴b

26、⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEF EF平面AEF ∴a⊥EF 391. 如圖，△ABC為銳角三角形，PA⊥平面ABC，A點(diǎn)在平面PBC上的射影為H，求：H不可能是△PBC的垂心． 解析：連結(jié)CH，則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影，若H為垂心，則CH⊥PB，由三垂線定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，從而AC⊥AB與△ABC為銳角三 角形矛盾，故H不可能是垂心． 392. 如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．（1）求PB與平面BCD所成角；（2）求BP與平面PCD所成的角

27、 解析：（1）PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂線定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中， cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB與平面BCD所成角為45°． （2）過(guò)B作BE⊥CD于E，連結(jié)PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD， ∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30° 即BP與平面PCD所成角為30°． P A B C 39

28、3. 正四棱錐的一個(gè)對(duì)角面與一個(gè)側(cè)面的面積之比為，求側(cè)面與底面所成的角的大小。 解析：如圖，正四棱錐P—ABCD的一個(gè)對(duì)角面△PAC。設(shè)棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，斜高為h′，底面中心為O，連PO，則PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC=，PO=h， P A B C D O E ∴ 在△PBC中，° ∴ ∴h:h′=. 取BC中點(diǎn)E，連OE，PE，可證∠PEO即為側(cè)面與底面所成兩面角的平面角。 在Rt△POE中，sin

29、∠PEO=， ∴∠PEO=，即側(cè)面與底面所成的角為. 394. 如右圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60°角。 （1）求證：AC⊥面ABC1； （2）求證：C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上； （3）求此三棱柱體積的最小值。 解析：（1）由棱柱性質(zhì)，可知A1C1//AC ∵A1C1BC1， ∴ACBC1，又∵ACAB，∴AC平面ABC1 （2）由（1）知AC平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC平面A

30、BC1 在平面ABC1內(nèi)，過(guò)C1作C1HAB于H，則C1H平面ABC，故點(diǎn)C1在平面ABC上 的射影H在直線AB上。 （3）連結(jié)HC，由（2）知C1H平面ABC， ∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角， ∴∠C1CH=60°，C1H=CH·tan60°= V棱柱= ∵CAAB，∴CH，所以棱柱體積最小值3。 395. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB

31、=900，∠BAC=300，BC=1，AA1=，M為CC1中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M。 解析：因結(jié)論是線線垂直，可考慮用三垂線定理或逆定理 ∵ ∠ACB=900 ∴ ∠A1C1B1=900 即B1C1⊥C1A1 又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1 ∴ B1C1⊥平面AA1C1C ∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影 由三垂線定理，下證AC1⊥A1M即可 在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1= ∵ ， ∴ ∴ Rt△A1C1M∽R(shí)t△AA1C1 ∴ ∠1=∠2 又∠2+∠3=900 ∴ ∠1+∠3=900 ∴ AC1⊥A1

32、M ∴ AB1⊥A1M 評(píng)注：利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線 396. 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，在側(cè)棱BB1上截取BD=，在側(cè)棱CC1上截取CE=a，過(guò)A、D、E作棱柱的截面ADE （1）求△ADE的面積；（2）求證：平面ADE⊥平面ACC1A1。 解析：分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長(zhǎng) AE=a，AD=a，DE= ∴ 截面ADE為等腰三角形 S= （2）∵ 底面ABC⊥側(cè)面AA1C1C ∴ △ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AA1C1C 下設(shè)法把BM平移到平面AED中去 取AE中點(diǎn)N，連MN、DN ∵ MNEC，B

33、DEC ∴ MNBD ∴ DN∥BM ∴ DN⊥平面AA1C1C ∴ 平面ADE⊥平面AA1C1C 397. 斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角，AA1=7 （1）求證：AA1⊥BC；（2）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面積；（3）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積；（4）求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。 解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0 ∵ ∠A1AB=∠A1AC ∴ O在∠BAC的平行線AM上 ∵ △ABC為正三角形 ∴ AM⊥BC 又AM為A1A在平面ABC上的射影 ∴ A

34、1A⊥BC （2） ∵ B1B∥A1A ∴ B1B⊥BC，即側(cè)面BB1C1C為矩形 ∴ 又 ∴ S全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB ∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO= ∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ （4）把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離 為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影，首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面 設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1 ∵ BC⊥AM，BC⊥A1A ∴ BC⊥平面AA1M1M ∴ 平面AA1M1M⊥

35、側(cè)面BCC1B1 在平行四邊形AA1M1M中 過(guò)A1作A1H⊥M1M，H為垂足 則A1H⊥側(cè)面BB1C1C ∴ 線段A1H長(zhǎng)度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離 ∴ 398. 平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O，過(guò)直徑AB的端點(diǎn)A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB=600，求三棱錐P—OBC的側(cè)面積。 解析：三棱錐P—OBC的側(cè)面由△POB、△POC、△PBC三個(gè)三角形組成 在求出邊長(zhǎng)元素后，求三角形面積時(shí)，應(yīng)注意分析三角形的形狀，簡(jiǎn)化計(jì)算 ∵ PA⊥平面ABC ∴ PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影 ∵ BC⊥AC ∴ BC⊥PC △ POB中， △

36、PBC中，BC=ABsin600=2a ∴ AC=a ∴ PC= ∴ △ POC中，PO=PC=，OC=a ∴ ∴ S側(cè)= 399. 四棱錐V—ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠BAD=1200，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，（1）求點(diǎn)V到CD的距離；（2）求點(diǎn)V到BD的距離；（3）作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；（4）求異面直線BD與VC間的距離。 解析：用三垂線定理作點(diǎn)到線的垂線 在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD，E為垂足 ∵ VA⊥平面ABCD ∴ AE為VE在平面ABCD上的射影 ∴ VE⊥CD ∴ 線段VE長(zhǎng)為點(diǎn)V到直

37、線CD的距離 ∵ ∠BAD=1200 ∴ ∠ADC=600 ∴ △ACD為正三角形 ∴ E為CD中點(diǎn)，AE= ∴ VE= （2）∵ AO⊥BD ∴ 由三垂線定理VO⊥BD ∴ VO長(zhǎng)度為V到直線BD距離 VO= （3）只需證OF⊥BD ∵ BD⊥HC，BD⊥VA ∴ BD⊥平面VAC ∴ BD⊥OF ∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線 （4）求出OF長(zhǎng)度即可 在Rt△VAC中 OC=AC=2，VC= ∴ OF=OC·sin∠ACF=OC· 400. 斜三棱柱ABC—A1B1C1的

38、底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三點(diǎn)的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側(cè)面積。 解析：∵A1A=A1B=A1C ∴ 點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心，在∠BAC平分線AD上 ∵ AB=AC ∴ AD⊥BC ∵ AD為A1A在平面ABC上的射影 ∴ BC⊥AA1 ∴ BC⊥BB1 ∴ BB1C1C為矩形，S=BB1×BC=156 取AB中點(diǎn)E，連A1E ∵ A1A=A1B ∴ A1E⊥AB ∴ ∴ ∴ S側(cè)=396 401. 如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜邊A

39、B上的點(diǎn)，以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎樣的位置時(shí)，AB為最小，最小值是多少? 解析： 設(shè)∠ACD＝θ，則∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ. ∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因?yàn)锳—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM與BN成90°的角，于是AB＝＝≥. ∴當(dāng)θ＝45°即CD是∠ACB的平分線時(shí)，AB有最小值，最小值為. 402.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補(bǔ). 已知：從二面角α—AB—β內(nèi)一點(diǎn)P，向面α和β

40、分別引垂線PC和PD，它們的垂足是C和D.求證：∠CPD和二面角的平面角互補(bǔ). 證：設(shè)過(guò)PC和PD的平面PCD與棱AB交于點(diǎn)E， ∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB ∴CE⊥AB，DE⊥AB 又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角. 在四邊形PCED內(nèi)：∠C＝90°，∠D＝90° ∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互補(bǔ). 403.求證：在已知二面角，從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，到二面角兩個(gè)面的距離的比是一個(gè)常數(shù). 已知：二面角α—ED—β，平面過(guò)ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.

41、 求證：AB∶AC＝k(k為常數(shù)) 證明：過(guò)AB、AC的平面與棱DE交于點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF. ∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE. ∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE. ∠BFA，∠AFC分別為二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它們?yōu)槎ㄖ? 在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB. 在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得： ＝＝定值. 404. 如果直線l、m與平面α、β、滿足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有( ) A.α⊥且l⊥m B.α⊥且m∥β

42、 C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥ 解析：∵mα,m⊥. ∴α⊥. 又∵m⊥,β∩＝l. ∴m⊥l. ∴應(yīng)選A. 說(shuō)明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力. 405. 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函數(shù)表示)；(2)點(diǎn)A到平面PBC的距離. 解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′為矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中. ∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，

43、 ∴sin∠CDD′＝＝ ∴CD＝a ∴D′D＝2a ∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在RtΔABC中，AC＝＝a, ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB. 在RtΔPAB中，可得PB＝a. 在RtΔPAC中，可得PC＝＝a. 在RtΔPAD中，PD＝＝a. ∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2 ∴cos∠PCD＜0，則∠PCD＞90° ∴作PE⊥CD于E，E在DC延長(zhǎng)線上，連AE，由三垂線定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP為二面角P—CD—A的平面角. 在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a. ∴AE

44、＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a. 在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝. ∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小為arctan. (2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB. ∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB. ∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC. AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離. 在RtΔPAB中，AH＝＝＝a. 即A到平面PBC的距離為a. 說(shuō)明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長(zhǎng)線上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，從而∠PEA為所求，同樣可得結(jié)果，避免過(guò)多的推算.(2)中距

45、離的計(jì)算，在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”求. 406. 如圖，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn). (1)求二面角α—l—β的大小； (2)求證：MN⊥AB； (3)求異面直線PA與MN所成角的大小. 解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l. ∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α—l—β的平面角. ∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小為45°. (2)過(guò)

46、M作ME∥AD，交CD于E，連結(jié)NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB (3)過(guò)N作NF∥CD，交PD于F，則F為PD的中點(diǎn).連結(jié)AF，則AF為∠PAD的角平線，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴異面直線PA與MN所成的45°角. 407. 如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB. (1)求證：平面CA′B⊥平面A′AB； (2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數(shù)表

47、示) 解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB (2)由四邊形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，連AB′，可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中點(diǎn)H，連結(jié)AH，則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而AH垂直于兩平面交線BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.連結(jié)C′H，則∠AC′H為 AC′與平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B

48、′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直線AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin. 408. 已知四棱錐P—ABCD，它的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E為PA的中點(diǎn). (1)求證：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離； (3)求二面角A—BE—D的大小. (1)證明: 在四棱錐P—ABCD中，底面是菱形，連結(jié)AC、BD，交于F，則F為AC的中點(diǎn). 又E為AD的中點(diǎn)，∴EF∥PC 又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面E

49、BD. ∴平面EBD⊥平面ABCD. (2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC ∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離 過(guò)F作FH⊥BC交BC于H， ∵PC⊥平面ABCD，F(xiàn)H平面ABCD ∴PC⊥FH. 又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，則FH是F到平面PBC的距離，也是E到平面PBC的距離. ∵∠FCH＝30°，CF＝a. ∴FH＝CF＝a. (3)取BE的中點(diǎn)G，連接FG、AG由(1)的結(jié)論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD， ∴AF⊥平面BDC. ∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE， ∴∠FGA為二面角D—BE—A的

50、平面角. FG＝×＝a,AF＝a. ∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg 即二面角A—BE—D的大小為arctg 409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，求證： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi)； (2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖). (1)證明：∵AA1∩BB1＝O, ∴AA1、BB1確定平面BAO， ∵A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi)， ∴AB平面ABO；A1B1平面ABO. 同理可證，BC

51、和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi). (2)分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上. 證明：如圖，設(shè)AB∩A1B1＝P； AC∩A1C1＝R； ∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR. ∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1， 且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q在同一直線上. 410. 點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y(jié).求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線. 解析： 證明點(diǎn)共線的基本方

52、法是利用公理2，證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn). 證明 ∵P、Q、R三點(diǎn)不共線，∴P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α. ∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD. ∴ 點(diǎn)X是平面α和平面BCD的公共點(diǎn).同理可證，點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上. 411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面. 解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重

53、合. 證明 ∵a∥b,∴過(guò)a、b可以確定一個(gè)平面α. ∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a. 又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可證nα. ∵b∥c,∴過(guò)b,c可以確定平面β，同理可證mβ. ∵平面α、β都經(jīng)過(guò)相交直線b、m, ∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面. 412. 證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi). 已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點(diǎn). 求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi) 解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面α，然后證其它直線也在α內(nèi). 證明：圖①中，l1∩l2

54、＝P， ∴ l1,l2確定平面α. 又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α. 故 l3α. 同理 l4α. ∴ l1,l2,l3,l4共面. 圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面. 所以結(jié)論成立. 413. 證明推論3成立.（如圖） 已知：a∥b，求證：經(jīng)過(guò)a,b的平面有且只有一個(gè). 證明：(存在性)∵a∥b，由平行線的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過(guò)a、b的平面有一個(gè). (唯一性)，在a上取兩點(diǎn)A、B，在b上取一點(diǎn)C. ∵a∥b,∴A、B、C三點(diǎn)不共線，由公理3知過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面只有一個(gè)，從而過(guò)

55、a,b兩直線的平面也是惟一的. 414.一條直線過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，它和這個(gè)平面有幾個(gè)公共點(diǎn)?為什么? 解析：只有一個(gè)，假設(shè)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1知該直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這和直線過(guò)平面外一點(diǎn)矛盾. 415.過(guò)已知直線外一點(diǎn)與這條直線上的三點(diǎn)分別畫三條直線，證明：這三條直線在同一平面內(nèi). 解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證明：AB、AC、AD共面. 證明：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα. ∴B、C、D∈α 又A∈α. ∴AB、AC、ADα. 即AB、AC、AD共面. 416. 空間可以確定一個(gè)平面的條件是( )

56、A.兩條直線 B.一點(diǎn)和一直線 C.一個(gè)三角形 D.三個(gè)點(diǎn) 解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個(gè)平面，兩條直線還有位置關(guān)系異面.故排除A，由推論1知點(diǎn)必在線外才合適，排除B.由公理3知不共線三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，D中三個(gè)點(diǎn)不一定不共線，排除D.公理3結(jié)合公理1，知選C. 417. 下列命題正確的是( ) A.經(jīng)過(guò)兩條直線有且只有一個(gè)平面 B.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 C.如果平面α與β有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面一定是重合平面 D.兩個(gè)平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線 解

57、析：根據(jù)公理2、公理3知選D. 418. 已知四點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線，則可以確定( ) A.1個(gè)平面 B.4個(gè)平面 C.1個(gè)或4個(gè)平面 D.無(wú)法確定 解析： 因?yàn)闊o(wú)三點(diǎn)共線，所以任意三個(gè)點(diǎn)都可以確定平面α，若第四個(gè)點(diǎn)也在α內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在α外，由公理3知可確定4個(gè)平面.故選C. 419. 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個(gè)球的半徑是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 解析： 如圖，設(shè)球的半徑是r，則πBD2＝5π，πAC2＝8π， ∴BD2＝5，AC2＝8.又A

58、B＝1，設(shè)OA＝x. ∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2. 解之，得r＝3 故選B. 420. 在桌面上有三個(gè)球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個(gè)小球，使它與三個(gè)球相切.求此小球半徑. 解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過(guò)O作O1O2O3平面的垂線，垂足為H，它一定是ΔO1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1-r)2，解得r＝. 421. 地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為，求

59、球面上A、B兩點(diǎn)間球面距離. 解析：本題關(guān)鍵是求出∠AOB的大小，(如圖1)現(xiàn)在我們將這個(gè)球的截面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長(zhǎng)方體問(wèn)題.如圖2，以O(shè)1O，O1A，O1B為三條相互垂直的棱，可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體截面ABO內(nèi)求∠BOA的問(wèn)題. 解： 如圖2，∵∠O1OA＝＝∠O1OB，OA＝OB＝R，∴OO1＝O1A＝O1B＝R ∴AB2＝O1A2+O1B2＝R， ∴ΔAOB為等邊Δ， ∴∠AOB＝，A、B間的球面距離為R. 422. 一個(gè)圓在平面上的射影圖形是( ) A.圓 B.橢圓 C.線段 D.圓或橢圓或線段 解析：D 423.

60、 兩面都是凸形的鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為10cm和17cm，兩球心間的距離為21cm，求此鏡面的表面積和體積. 解析：軸截面如圖，設(shè)O2C＝x，則CO1＝21-x,∵AB⊥O1O2 ∴AO22-O2C2＝AO12-CO12，即102-x2＝172-(21-x)2，解得x＝6,CO1＝15,又設(shè)左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2，則h1＝17-15＝2,h2＝10-6＝4,∴S表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)2,V＝π［22(3·10-2)+42(3·17-4)］＝288π(cm3). 424. 正三棱錐的底面

61、邊長(zhǎng)是2cm，側(cè)棱與底面成60°角，求它的外接球的表面積. 解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ΔABC的中心，延長(zhǎng)PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD·PE＝＝，R＝，∴S球＝π(cm)2. 425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍. 證明： 設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VA—BCD＝VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD，如圖，即Sh＝4×SR,∴h＝4R. 426. 地球

62、半徑為R，A、B兩地都在北緯45°線上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經(jīng)度的差. 解析：如圖，O為球心，O1為北緯45°小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線段AB的長(zhǎng)，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差. 解： 設(shè)O1是北緯45°圓的中心， ∵A、B都在此圓上， ∴O1A＝O1B＝R. ∵A、B的球面距離為， ∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB為等邊三角形. AB＝R，在ΔAO1B中， ∵O1A2+O1B2＝R2+R2＝R2＝AB2， ∴∠AO1B＝90°. ∴A、B兩地的經(jīng)度差是

63、90°. 評(píng)析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問(wèn)題，球面距離三步驟的運(yùn)用是非常重要的問(wèn)題. 427. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為l，母線對(duì)圓錐底面的傾角為θ，在這個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)接的正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的體積. 解析：設(shè)球半徑為R，以內(nèi)接正方體對(duì)角面為軸截面，如圖.連接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方體＝(lcosθtan)3. 428. 如圖，過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+

64、PC2為定值；(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值. 解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了. 解： (1)設(shè)過(guò)PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB， ∴AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，則PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2. 設(shè)O為球心，則OO1⊥平面⊙O1， ∵PC⊥⊙O1平面， ∴OO1∥PC，因此過(guò)PC、PD的平面經(jīng)過(guò)球心O，截球得大圓，又PC⊥PD. ∴CD是球的直徑. 故 PA

65、2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值. (2)設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為x、y、z，則三棱錐P—ABC的體積V＝xyz， V2＝x2y2z2≤()3＝·＝R6. ∴V≤R3. 即 V最大＝R3. 評(píng)析：定值問(wèn)題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向. 球面上任一點(diǎn)對(duì)球的直徑所張的角等于90°，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì). 429. 求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑. 解析：如圖，作AH⊥底面BCD于H，則AH＝a，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點(diǎn)與A、B、C、D相連

66、，得四個(gè)錐體，設(shè)底面為S，則每個(gè)側(cè)面積為S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,設(shè)外接球心為O，半徑R，過(guò)A點(diǎn)作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)2. 解得R＝a. 430.求證：球的任意兩個(gè)大圓互相平分. 證明：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)大圓都過(guò)球心O，所以它們必交于過(guò)球心的直徑，這條直徑也是兩個(gè)大圓的公共直徑，所以任意兩個(gè)大圓互相平分. 2.在球心的同一側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積各為49πcm2和400πcm2.求球的表面積. 解： 如圖，設(shè)球的半徑

67、為R， ∵πO2B2＝49π， ∴O2B＝7 同理 O1A＝20 設(shè)OO1＝xcm，則OO2＝(x+9)cm. 在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+202 在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2 ∴x2+202＝72+(x+9)2 解方程得 x＝15cm R2＝x2+202＝252 ∴S球＝4π·OA2＝2500π(cm2) 431. 球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4π，那么這個(gè)球的半徑為( ) A.4 B.2 C.2 D. 解析： 設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，則2πr＝4π,∴r＝2.如圖，設(shè)三點(diǎn)A、B、C，O為球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB ∴ΔAOB是等邊三角形 同理，ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形，得ΔABC為等邊三角形. 邊長(zhǎng)等于球半徑R，r為ΔABC的外接圓半徑. r＝AB＝R R＝r＝2 ∴應(yīng)選B. 432. 已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球表面積是( ) A.π B.π C.4π D.π 解析： 如圖，過(guò)ABC三點(diǎn)的截面圓的圓心是O