立體幾何基礎(chǔ)題題庫(240道附詳細(xì)答案)[共94頁]
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立體幾何基礎(chǔ)題題庫二(有詳細(xì)答案)
361. 有一個三棱錐和一個四棱錐,棱長都相等,將它們一個側(cè)面重疊后,還有幾個暴露面?
解析:有5個暴露面.
如圖所示,過V作VS′∥AB,則四邊形S′ABV為平行四邊形,有∠S′VA=∠VAB=60°,從而ΔS′VA為等邊三角形,同理ΔS′VD也是等邊三角形,從而ΔS′AD也是等邊三角形,得到以ΔVAD為底,以S′與S重合.
這表明ΔVAB與ΔVSA共面,ΔVCD與ΔVSD共面,故共有5個暴露面.
362. 若四面體各棱長是1或2,且該四面體不是正四面體,則其體積的值是 .(只須寫出一個可能的值)
解析: 該題的顯著特點是結(jié)論發(fā)散而不惟一.本題表面上是考查錐體求積公式這個知識點,實際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個四面體的能力,首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的.
排除{1,1,2},可得{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2},然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四面體,再求其體積.
由平時所見的題目,至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體,五條邊為2,另一邊為1,對棱相等的四面體.
對于五條邊為2,另一邊為1的四面體,參看圖1所示,設(shè)AD=1,取AD的中點為M,平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐,由對稱性可知AD⊥面BCM,且VA—BCM=VD—BCM,所以
VABCD=SΔBCM·AD.
CM===.設(shè)N是BC的中點,則MN⊥BC,MN===,從而SΔBCM=×2×=,
故VABCD=××1=.
對于對棱相等的四面體,可參見圖2.其體積的計算可先將其置于一個長方體之中,再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進行.亦可套公式V=·,
不妨令a=b=2,c=1,則
V=·
=·=.
363. 湖結(jié)冰時,一個球漂在其上,取出后(未弄破冰),冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴,求該球的半徑.
解析:設(shè)球的半徑為R,依題意知截面圓的半徑r=12,球心與截面的距離為d=R-8,由截面性質(zhì)得:r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2.
得R=13 ∴該球半徑為13cm.
364. 在有陽光時,一根長為3米的旗軒垂直于水平地面,它的影長為米,同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上,如圖所示,求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示).
解析:由題意知,光線與地面成60°角,設(shè)球的陰影部分面積為S,垂直于光線的大圓面積為S′,則Scos30°=S′,并且S′=9π,所以S=6π(米2)
365. 設(shè)棱錐M—ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果ΔAMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.
解析: ∵AB⊥AD,AB⊥MA,
∴AB⊥平面MAD,
由此,面MAD⊥面AC.
記E是AD的中點,
從而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC, ME⊥EF
設(shè)球O是與平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.
不妨設(shè)O∈平面MEF,于是O是ΔMEF的內(nèi)心.
設(shè)球O的半徑為r,則r=
設(shè)AD=EF=a,∵SΔAMD=1.
∴ME=.MF=,
r=≤=-1
當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=時,等號成立.
∴當(dāng)AD=ME=時,滿足條件的球最大半徑為-1.
366. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中,期棱長為a.
(1)求證BD⊥截面AB1C;
(2)求點B到截面AB1C的距離;
(3)求BB1與截面AB1C所成的角的余弦值。
同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.
(2)AB=BC=BB1G為△AB1C的中心.AC=a
AG=a
∴BG==a
(3)∠BB1G為所求
cos∠BB1G=
367. 已知P為ABCD所在平面外一點,M為PB的中點,求證:PD∥平面MAC.
解析: 因M為PB的中點,連BD∩AC于O后,可將PD縮小平移到MO,可見MO為所求作的平行線.
證明 連AC交BD于O,連MO,
則MO為△PBD的中位線,
∴PD∥MO,∵PD平面MAC,MO平面MAC,
∴PD∥平面MAC.
368. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分別是棱B1C1,A1D1,D1D,AB的中點.
(1)求證:A1E⊥平面ABMN.
(2)平面直線A1E與MF所成的角.
解析:(1)要證A1E⊥平面ABMN,只要在平面中找到兩條相交直線與A1E都垂直,顯然MN與它垂直,這是因為MN⊥平面A1ADD1,另一方面,AN與A1E是否垂直,這是同一個平面中的問題,只要畫出平面幾何圖形,用平幾知識解決.(2)為(1)的應(yīng)用.
證明 (1)∵AB⊥平面A1ADD1,
而A1E平面A1ADD1,
∴AB⊥A1E.在平面A1ADD1中,A1E⊥AN,
∵AN∩AB=A,∴A1E⊥平面ABMN.
解?。ǎ玻┯桑ǎ保┲狝1E⊥平面ABMN,而MF平面ABMN,∴A1E⊥MF,
則A1E與MF所成的角為90°
369. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱CC1的中點,AC交BD于點O,求證:A1O⊥平面MBD.
解析:要證A1O⊥平面MBD,只要在平面MBD內(nèi)找到兩條相交直線與A1O都垂直,首先想到DB,先觀察 A1O垂直DB嗎?
方法1:發(fā)現(xiàn)A1O平分DB,想到什么?(△A1DB是否為等腰三角形)
∵A1D=A1B,DO=OB,∴A1O⊥DB.
方法2:A1O⊥DB嗎?即DB⊥A1O嗎?DB垂直包含A1O的平面嗎?(易見DB⊥平面A1ACC1)
再觀察A1O垂直何直線?DM?BM?因這兩條直線與A1O均異面,故難以直接觀察,平面MDB中還有何直線?易想到MO,因MO與A1O相交,它們在同一平面內(nèi),這是一個平幾問題,可畫出平幾圖進行觀察.
證明 取CC1中點M,連結(jié)MO,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1A∩AC=A,∴DB⊥平面A1ACC1,而A1O平面A1ACC1,∴A1O⊥DB.在矩形A1ACC1中,∵tan∠AA1O=,tan∠MOC=,∴∠AA1O=∠MOC,則∠A1OA+∠MOC=90°,∴A1O⊥OM,∵OM∩DB=O,∴A1O⊥平面MBD.
370. 點P在線段AB上,且AP∶PB=1∶2,若A,B到平面α的距離分別為a,b,求點P到平面α的距離.
解析:(1)A,B在平面α的同側(cè)時,P平面α的距離為;
(2)A,B在平面α的異側(cè)時,P平面α的距離為.
點評 一是畫圖時,只要畫出如右上圖的平面圖形即可,無需畫出空間圖形;二是對第(2)種情形,若以平面為“水平面”,在其上方的點高度為正,在其下方的點高度為負(fù),則第(2)種情形的結(jié)論,就是將(1)結(jié)論中的b改為(-b),而無需再畫另一圖形加以求解.
371. 若兩直線a與b異面,則過a且與b垂直的平面 (?。?
(A)有且只有一個 (B)可能存在也可能不存在
(C)有無數(shù)多個 (D)一定不存在
(B)
解析:若存在,則a⊥b,而由條件知,a不一定與b垂直.
372. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE垂直于 (?。?
(A)AC (B)BD ?。ǎ茫〢1D (D)A1D1
解析:(B)
BD⊥AC,BD⊥CC1,∴BD⊥平面A1ACC1,∴BD⊥CE.
373. 定點P不在△ABC所在平面內(nèi),過P作平面α,使△ABC的三個頂點到α的距離相等,這樣的平面共有 ( )
(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個
解析:D
過P作一個與AB,AC都平行的平面,則它符合要求;設(shè)邊AB,BC,CA的中點分別為E,F(xiàn),G,則平面PEF符合要求;同理平面PFG,平面PGE符合要求
374. P為矩形ABCD所在平面外一點,且PA⊥平面ABCD,P到B,C,D三點的距離分別是,,,則P到A點的距離是 ( )
(A)1 (B)2 (C) (D)4
解析:(A)
設(shè)AB=a,BC=b,PA=h,則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1.
375. 線段AB的兩個端點A,B到平面α的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上,AP:PB=1:2,則P到平面α的距離為 ?。?
解析:7cm或1cm.
分A,B在平面α的同側(cè)與異側(cè)兩種情況.同側(cè)時,P到平面α的距離為=7(cm),異側(cè)時,P到平面α的距離為=1(cm).
376. △ABC的三個頂點A,B,C到平面α的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們在α的同一側(cè),則△ABC的重心到平面α的距離為 .
解析:3cm .
=3cm .
377. Rt△ABC中,D是斜邊AB的中點,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,則ED= ?。?
解析:13.
AB=10,∴CD=5,則ED==13.
378. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1B與平面A1B1CD所成的角;
(2)B1B在平面A1C1B所成角的正切值.
解析: 求線面成角,一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影.
(1)先找到斜足A1,再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影,即從B向平面A1B1CD作垂線,一定要證明它是平面A1B1CD的垂線.
這里可證BC1⊥平面A1B1CD,O為垂足,
∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影.
(2)若將平面D1D1BB豎直放置在正前方,則A1C1橫放在正前方,估計B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影應(yīng)落在O1B上,這是因為A1C1⊥平面D1DBB1,∴故作B1H⊥O1B交于H時,BH1⊥A1C1,即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影.另在求此角大小時,只要求∠B1BO1即可.
解析:(1)如圖,連結(jié)BC1,交B1C于O,連A1O.
∵A1B1⊥平面B1BCC1,BC1平面B1BCC1,∴A1B1⊥BC1.
又B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1B1CD,O為垂足,
∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影,
則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
sin∠BA1O=,∴∠BA1O=30°.
(2)連結(jié)A1C1交B1D1于O1,連BO1,
作B1H⊥BO1于H.∵A1C1⊥平面D1DBB1,∴A1C1⊥B1H.
又B1H⊥BO1,A1C1∩BO1=O1,∴B1H⊥平面A1C1B,
∴∠B1BO1為B1B與平面A1C1B所成的角,
tan∠B1BO =,即B1B與平面A1C1B所成的角的正切值為.
379. Rt△ABC中,∠C=90°,BC=36,若平面ABC外一點P與平面A,B,C三點等距離,且P到平面ABC的距離為80,M為AC的中點.
(1)求證:PM⊥AC;
(2)求P到直線AC的距離;
(3)求PM與平面ABC所成角的正切值.
解析:點P到△ABC的三個頂點等距離,則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心,而△ABC為直角三角形,其外心為斜邊的中點.
證明 (1)∵PA=PC,M是AC中點,∴PM⊥AC
解?。ǎ玻連C=36,∴MH=18,又PH=80,
∴PM=,即P到直線AC的距離為82;
(3)∵PM=PB=PC,∴P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心,
∵∠C=90° ∴P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點H。
∵PH⊥平面ABC,∴HM為PM在平面ABC上的射影,
則∠PMH為PM與平面ABC所成的角,∴tan∠PMH=
380. 如圖,在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體,M為AD的中點,求CM與平面BCD所成角的余弦值.
解析:要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影,關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影,而M為AD的中點,故只需觀察A在平面BCD內(nèi)的射影,至此問題解法已明朗.
解 作AO⊥平面BCD于O,連DO,作MN⊥平面BCD于N,則N∈OD.
設(shè)AD=a,則OD=,∴AO=,∴MN=.
又∵CM=,∴CN=.
∴CM與平面BCD所成角的余弦值為.
381. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1A的中點,N在AB上,且AN∶NB=1∶3,求證:C1M⊥MN.
解析:在空間中作出兩條直線垂直相對較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難.此題C1M與MN是相交直線,一種方法可通過勾股定理來驗證它是否垂直,另一方法為:因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線,可考慮MC1在平面A1ABB1內(nèi)的射影.
證明1 設(shè)正方體的棱長為a,則MN=,
C1M=,C1N=,
∵MN2+MC12=NC12,∴C1M⊥MN.
證明2 連結(jié)B1M,∵C1B1⊥平面A1ABB1,
∴B1M為C1M在平面A1ABB1上的射影.
設(shè)棱長為a ,∵AN=,AM=,∴tan∠AMN=,
又tan∠A1B1M=,則∠AMN=∠A1B1M,∴B1M⊥MN,
由三垂線定理知,C1M⊥MN.
382. 如圖,ABCD為直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面ABCD,PA=a.
(1) 求證:PC⊥CD;
(2) 求點B到直線PC的距離.
解析:(1)要證PC與CD垂直,只要證明AC與CD垂直,可按實際情形畫出底面圖形進行證明.(2)從B向直線PC作垂直,可利用△PBC求高,但需求出三邊,并判斷其形狀(事實上,這里的∠PBC=90°);另一種重要的思想是:因PC在平面PAC中,而所作BH為平面PAC的斜線,故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影,因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”,則只要從B作“水平”的垂線,可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影.
證明?。ǎ保┤D的中點E,連AC,CE,
則ABCE是正方形,△CED為等腰直角三角形.
∴AC⊥CD,∵PA⊥平面ABCD,∴AC為PC在平面ABCD上的射影,∴PC⊥CD;
解?。ǎ玻┻BBE交AC于O,則BE⊥AC,
又BE⊥PA,AC∩PA=A,∴BE⊥平面PAC.
過O作OH⊥PC于H,連BH,則BH⊥PC.
∵PA=a,AC=,∴PC=,則OH=,
∵BO=,∴BH=
383. 四面體ABCD的四個面中,是直角三角形的面至多有 ( )
(A)1個 (B)2個
(C)3個 (D)4個
解析:(D)
設(shè)底面為直角三角形,從底面的一個銳角頂點作平面的垂線,則這樣的四面體的每個面都是直角三角形.
384. 直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),直角頂點C在平面α外,C在平面α內(nèi)的射影為C1,且C1AB,則△C1AB為 ?。? )
(A)銳角三角形 (B)直角三角形
(C)鈍角三角形 (D)以上都不對
解析:(C)
∵C1A2+C1B2<CA2+CB2 =AB, ∴∠AC1B為鈍角,則△C1AB為鈍角三角形.
385. △ABC在平面α內(nèi),∠C=90°,點Pα,PA=PB=PC=7, AB=10, 則點P到平面α的距離等于
解析:.
∵PA=PB=PC,∴P在平面α內(nèi)的射影為△ABC的外心O,∵∠C=90°,∴O為AB的中點,∵AO=5,PA=7,∴PO=
386. P是邊長為a的六邊形ABCDEF所成平面外一點,PA⊥AB,PA⊥AF,PA=a,則點P到邊CD的距離是
解析:2a.
PA⊥平面ABCDEF,A到CD的距離為,∴P到邊CD的距離是2a
387. 如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點.
(1) 求證:MN⊥CD;
(2) 若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD.
證明?。ǎ保┻BAC∩BD=O,連NO,MO,則NO∥PA.
∵PA⊥平面ABCD,∴NO⊥平面ABCD.
∵MO⊥AB,∴MN⊥AB,而CD∥AB,∴MN⊥CD;
(2)∵∠PDA=45°,∴PA=AD,
由△PAM≌△CBM得PM=CM,
∵N為PC中點,∴MN⊥PC.
又MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.
388. 如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PCD是邊長等于2cm的等邊三角形,底面ABCD是面積為2cm2的菱形,∠ADC是銳角.
求證:PA⊥CD
證明:設(shè)∠ADC=θ,則:由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2,易得θ=60°
∴△ACD是等邊三角形,取CD中點E連AE、PE,則AE⊥CD,PE⊥CD
AE⊥CD,PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA
389. 設(shè)P點在正三角形ABC所在平面外,且AP,BP,CP兩兩垂直;又是的重心;為上一點,;為上一點,;,如圖
(1)求證:GF⊥平面PBC;(2)求證:EF⊥BC。
解析:(1)連結(jié)BG并延長交PA于M.G為△ABP的重心
注  要充分注意平面幾何中的知識(如本題中三角形重心性質(zhì),等腰三角形性質(zhì)等)在證題中的運用。
390. 已知α∩β=C,a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E,AF⊥c于F,求證:a⊥EF
解析:b∥a,b,aα, ∴b∥α
又bβ,α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b
又AE⊥b, AE∩AF=A ∴b⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEF
EF平面AEF ∴a⊥EF
391. 如圖,△ABC為銳角三角形,PA⊥平面ABC,A點在平面PBC上的射影為H,求:H不可能是△PBC的垂心.
解析:連結(jié)CH,則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影,若H為垂心,則CH⊥PB,由三垂線定理得AC⊥PB,又PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,∴AC⊥平面PAB,從而AC⊥AB與△ABC為銳角三
角形矛盾,故H不可能是垂心.
392. 如圖,BCD是等腰直角三角形,斜邊CD的長等于點P到BC的距離,D是P在平面BCD上的射影.(1)求PB與平面BCD所成角;(2)求BP與平面PCD所成的角
解析:(1)PD⊥平面BCD,∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影,∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂線定理得BC⊥BD,∴BP=CD,設(shè)BC=a,則BD=a,BP=CD=a∴在Rt△BPD中,
cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB與平面BCD所成角為45°.
(2)過B作BE⊥CD于E,連結(jié)PE,PD⊥平面BCD得PD⊥BE,∴BE⊥平面PCD,
∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中,BE=a, BP=a,∴∠BPE=30° 即BP與平面PCD所成角為30°.
P
A
B
C
393. 正四棱錐的一個對角面與一個側(cè)面的面積之比為,求側(cè)面與底面所成的角的大小。
解析:如圖,正四棱錐P—ABCD的一個對角面△PAC。設(shè)棱錐的底面邊長為a,高為h,斜高為h′,底面中心為O,連PO,則PO⊥底面ABCD,∴PO⊥AC,在△PAC中,AC=,PO=h,
P
A
B
C
D
O
E
∴
在△PBC中,°
∴
∴h:h′=.
取BC中點E,連OE,PE,可證∠PEO即為側(cè)面與底面所成兩面角的平面角。
在Rt△POE中,sin∠PEO=,
∴∠PEO=,即側(cè)面與底面所成的角為.
394. 如右圖,斜三棱柱ABC—A1B1C1中,A1C1⊥BC1,AB⊥AC,AB=3,AC=2,側(cè)棱與底面成60°角。
(1)求證:AC⊥面ABC1;
(2)求證:C1點在平面ABC上的射影H在直線AB上;
(3)求此三棱柱體積的最小值。
解析:(1)由棱柱性質(zhì),可知A1C1//AC
∵A1C1BC1,
∴ACBC1,又∵ACAB,∴AC平面ABC1
(2)由(1)知AC平面ABC1,又AC平面ABC,∴平面ABC平面ABC1
在平面ABC1內(nèi),過C1作C1HAB于H,則C1H平面ABC,故點C1在平面ABC上
的射影H在直線AB上。
(3)連結(jié)HC,由(2)知C1H平面ABC,
∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角,
∴∠C1CH=60°,C1H=CH·tan60°=
V棱柱=
∵CAAB,∴CH,所以棱柱體積最小值3。
395. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=900,∠BAC=300,BC=1,AA1=,M為CC1中點,求證:AB1⊥A1M。
解析:因結(jié)論是線線垂直,可考慮用三垂線定理或逆定理
∵ ∠ACB=900
∴ ∠A1C1B1=900
即B1C1⊥C1A1
又由CC1⊥平面A1B1C1得:CC1⊥B1C1
∴ B1C1⊥平面AA1C1C
∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影
由三垂線定理,下證AC1⊥A1M即可
在矩形AA1C1C中,AC=A1C1=,AA1=CC1=
∵ ,
∴
∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1
∴ ∠1=∠2
又∠2+∠3=900
∴ ∠1+∠3=900
∴ AC1⊥A1M
∴ AB1⊥A1M
評注:利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線
396. 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,在側(cè)棱BB1上截取BD=,在側(cè)棱CC1上截取CE=a,過A、D、E作棱柱的截面ADE
(1)求△ADE的面積;(2)求證:平面ADE⊥平面ACC1A1。
解析:分別在三個側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長
AE=a,AD=a,DE=
∴ 截面ADE為等腰三角形
S=
(2)∵ 底面ABC⊥側(cè)面AA1C1C
∴ △ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AA1C1C
下設(shè)法把BM平移到平面AED中去
取AE中點N,連MN、DN
∵ MNEC,BDEC
∴ MNBD
∴ DN∥BM
∴ DN⊥平面AA1C1C
∴ 平面ADE⊥平面AA1C1C
397. 斜三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是邊長為4cm的正三角形,側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角,AA1=7
(1)求證:AA1⊥BC;(2)求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面積;(3)求斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積;(4)求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。
解析:設(shè)A1在平面ABC上的射影為0
∵ ∠A1AB=∠A1AC
∴ O在∠BAC的平行線AM上
∵ △ABC為正三角形
∴ AM⊥BC
又AM為A1A在平面ABC上的射影
∴ A1A⊥BC
(2)
∵ B1B∥A1A
∴ B1B⊥BC,即側(cè)面BB1C1C為矩形
∴
又
∴ S全=
(3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB
∴ cos∠A1AO=
∴ sin∠A1AO=
∴ A1O=A1Asin∠A1AO=
∴
(4)把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點A或A1到平面BB1C1C的距離
為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影,首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面
設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1
∵ BC⊥AM,BC⊥A1A
∴ BC⊥平面AA1M1M
∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1
在平行四邊形AA1M1M中
過A1作A1H⊥M1M,H為垂足
則A1H⊥側(cè)面BB1C1C
∴ 線段A1H長度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離
∴
398. 平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O,過直徑AB的端點A作PA⊥α,PA=a,C是⊙O上一點,∠CAB=600,求三棱錐P—OBC的側(cè)面積。
解析:三棱錐P—OBC的側(cè)面由△POB、△POC、△PBC三個三角形組成
在求出邊長元素后,求三角形面積時,應(yīng)注意分析三角形的形狀,簡化計算
∵ PA⊥平面ABC
∴ PA⊥AO,AC為PC在平面ABC上的射影
∵ BC⊥AC
∴ BC⊥PC
△ POB中,
△ PBC中,BC=ABsin600=2a
∴ AC=a
∴ PC=
∴
△ POC中,PO=PC=,OC=a
∴
∴ S側(cè)=
399. 四棱錐V—ABCD底面是邊長為4的菱形,∠BAD=1200,VA⊥底面ABCD,VA=3,AC與BD交于O,(1)求點V到CD的距離;(2)求點V到BD的距離;(3)作OF⊥VC,垂足為F,證明OF是BD與VC的公垂線段;(4)求異面直線BD與VC間的距離。
解析:用三垂線定理作點到線的垂線
在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD,E為垂足
∵ VA⊥平面ABCD
∴ AE為VE在平面ABCD上的射影
∴ VE⊥CD
∴ 線段VE長為點V到直線CD的距離
∵ ∠BAD=1200
∴ ∠ADC=600
∴ △ACD為正三角形
∴ E為CD中點,AE=
∴ VE=
(2)∵ AO⊥BD
∴ 由三垂線定理VO⊥BD
∴ VO長度為V到直線BD距離
VO=
(3)只需證OF⊥BD
∵ BD⊥HC,BD⊥VA
∴ BD⊥平面VAC
∴ BD⊥OF
∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線
(4)求出OF長度即可
在Rt△VAC中
OC=AC=2,VC=
∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·
400. 斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,AB=AC=10,BC=12,A1到A、B、C三點的距離都相等,且AA1=13,求斜三棱柱的側(cè)面積。
解析:∵A1A=A1B=A1C
∴ 點A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心,在∠BAC平分線AD上
∵ AB=AC
∴ AD⊥BC
∵ AD為A1A在平面ABC上的射影
∴ BC⊥AA1
∴ BC⊥BB1
∴ BB1C1C為矩形,S=BB1×BC=156
取AB中點E,連A1E
∵ A1A=A1B
∴ A1E⊥AB
∴
∴
∴ S側(cè)=396
401. 如圖,在ΔABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,D是斜邊AB上的點,以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后,D在怎樣的位置時,AB為最小,最小值是多少?
解析: 設(shè)∠ACD=θ,則∠BCD=90°-θ,作AM⊥CD于M,BN⊥CD于N,于是AM=bsinθ,CN=asinθ.
∴MN=|asinθ-bcosθ|,因為A—CD—B是直二面角,AM⊥CD,BN⊥CD,∴AM與BN成90°的角,于是AB==≥.
∴當(dāng)θ=45°即CD是∠ACB的平分線時,AB有最小值,最小值為.
402.自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線,求證:它們所成的角與二面角的平面角互補.
已知:從二面角α—AB—β內(nèi)一點P,向面α和β分別引垂線PC和PD,它們的垂足是C和D.求證:∠CPD和二面角的平面角互補.
證:設(shè)過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E,
∵PC⊥α,PD⊥β
∴PC⊥AB,PD⊥AB
∴CE⊥AB,DE⊥AB
又∵CEα,DEβ,∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.
在四邊形PCED內(nèi):∠C=90°,∠D=90°
∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互補.
403.求證:在已知二面角,從二面角的棱出發(fā)的一個半平面內(nèi)的任意一點,到二面角兩個面的距離的比是一個常數(shù).
已知:二面角α—ED—β,平面過ED,A∈,AB⊥α,垂足是B.AC⊥β,垂足是C.
求證:AB∶AC=k(k為常數(shù))
證明:過AB、AC的平面與棱DE交于點F,連結(jié)AF、BF、CF.
∵AB⊥α,AC⊥β.∴AB⊥DE,AC⊥DE.
∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE,AF⊥DE,CF⊥DE.
∠BFA,∠AFC分別為二面角α—DE—,—DE—β的平面角,它們?yōu)槎ㄖ?
在RtΔABF中,AB=AF·sin∠AFB.
在RtΔAFC中,AC=AF·sin∠AFC,得:
==定值.
404. 如果直線l、m與平面α、β、滿足l=β∩,l∥α,mα和m⊥.那么必有( )
A.α⊥且l⊥m B.α⊥且m∥β
C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥
解析:∵mα,m⊥. ∴α⊥.
又∵m⊥,β∩=l. ∴m⊥l.
∴應(yīng)選A.
說明 本題考查線面垂直、面面垂直及綜合應(yīng)用推理判斷能力及空間想象能力.
405. 如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD,AP=a.求:(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函數(shù)表示);(2)點A到平面PBC的距離.
解析:(1)作CD′⊥AD于D′,∴ABCD′為矩形,CD′=AB=a,在RtΔCD′D中.
∵∠ADC=arcsin,即⊥D′DC=arcsin,
∴sin∠CDD′==
∴CD=a ∴D′D=2a
∵AD=3a,∴AD′=a=BC
又在RtΔABC中,AC==a,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB.
在RtΔPAB中,可得PB=a.
在RtΔPAC中,可得PC==a.
在RtΔPAD中,PD==a.
∵PC2+CD2=(a)2+(a)=8a2<(a)2
∴cos∠PCD<0,則∠PCD>90°
∴作PE⊥CD于E,E在DC延長線上,連AE,由三垂線定理的逆定理得AE⊥CD,∠AEP為二面角P—CD—A的平面角.
在RtΔAED中∠ADE=arcsin,AD=3a.
∴AE=AD·sin∠ADE=3a·=a.
在RtΔPAE中,tan∠PEA===.
∴∠AEP=arctan,即二面角P—CD—A的大小為arctan.
(2)∵AD⊥PA,AD⊥AB,∴AD⊥平面PAB.
∵BC∥AD,∴BC⊥平面PAB.
∴平面PBC⊥平面PAB,作AH⊥PB于H,∴AH⊥平面PBC.
AH為點A到平面PBC的距離.
在RtΔPAB中,AH===a.
即A到平面PBC的距離為a.
說明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長線上,而直接作AE⊥CD于E,得PE⊥CD,從而∠PEA為所求,同樣可得結(jié)果,避免過多的推算.(2)中距離的計算,在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”求.
406. 如圖,在二面角α—l—β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD為矩形,P∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中點.
(1)求二面角α—l—β的大??;
(2)求證:MN⊥AB;
(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.
解析:(1)連PD,∵ABCD為矩形,∴AD⊥DC,即AD⊥l.又PA⊥l,∴PD⊥l.
∵P、D∈β,則∠PDA為二面角α—l—β的平面角.
∵PA⊥AD,PA=AD,∴ΔPAD是等腰直角三角形,∴∠PDA=45°,即二面角α—l—β的大小為45°.
(2)過M作ME∥AD,交CD于E,連結(jié)NE,則ME⊥CD,NE⊥CD,因此,CD⊥平面MNE,∴CD⊥MN.∵AB∥CD,∴MN⊥AB
(3)過N作NF∥CD,交PD于F,則F為PD的中點.連結(jié)AF,則AF為∠PAD的角平線,∴∠FAD=45°,而AF∥MN,∴異面直線PA與MN所成的45°角.
407. 如圖,在三棱柱ABC—A′B′C′中,四邊形A′ABB′是菱形,四邊形BCC′B′是矩形,C′B′⊥AB.
(1)求證:平面CA′B⊥平面A′AB;
(2)若C′B′=2,AB=4,∠ABB′=60°,求AC′與平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)
解析:(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中,C′B′∥CB,∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′,AB∩BB′=B,∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B,∴平面CA′B⊥平面A′AB
(2)由四邊形A′ABB′是菱形,∠ABB′=60°,連AB′,可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中點H,連結(jié)AH,則AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB,得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC,而AH垂直于兩平面交線BB′,∴AH⊥平面C′B′BC.連結(jié)C′H,則∠AC′H為 AC′與平面BCC′B′所成的角,AB′=4,AH=2,于是直角三角形C′B′A中,A′C=5,在RtΔAHC′中,sin∠AC′H=∴∠AC′H=arcsin,∴直線AC′與平面BCC′B′所成的角是arcsin.
408. 已知四棱錐P—ABCD,它的底面是邊長為a的菱形,且∠ABC=120°,PC⊥平面ABCD,又PC=a,E為PA的中點.
(1)求證:平面EBD⊥平面ABCD;
(2)求點E到平面PBC的距離;
(3)求二面角A—BE—D的大小.
(1)證明: 在四棱錐P—ABCD中,底面是菱形,連結(jié)AC、BD,交于F,則F為AC的中點.
又E為AD的中點,∴EF∥PC
又∵PC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD.
∴平面EBD⊥平面ABCD.
(2)∵EF∥PC,∴EF∥平面PBC
∴E到平面PBC的距離即是EF到平面PBC的距離
過F作FH⊥BC交BC于H,
∵PC⊥平面ABCD,F(xiàn)H平面ABCD
∴PC⊥FH.
又BC⊥FH,∴FH⊥平面PBC,則FH是F到平面PBC的距離,也是E到平面PBC的距離.
∵∠FCH=30°,CF=a.
∴FH=CF=a.
(3)取BE的中點G,連接FG、AG由(1)的結(jié)論,平面BDE⊥平面ABCD,AF⊥BD,
∴AF⊥平面BDC.
∵BF=EF=,∴FG⊥BE,由三垂線定理得,AG⊥BE,
∴∠FGA為二面角D—BE—A的平面角.
FG=×=a,AF=a.
∴tg∠FGA==,∠FAG=arctg
即二面角A—BE—D的大小為arctg
409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交,并且直線AA1、BB1、CC1相交于一點O,求證:
(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi);
(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交,那么交點在同一直線上(如圖).
(1)證明:∵AA1∩BB1=O,
∴AA1、BB1確定平面BAO,
∵A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi),
∴AB平面ABO;A1B1平面ABO.
同理可證,BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi).
(2)分析:欲證兩直線的交點在一條直線上,可根據(jù)公理2,證明這兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi),那么,它們的交點就在這兩個平面的交線上.
證明:如圖,設(shè)AB∩A1B1=P;
AC∩A1C1=R;
∴ 面ABC∩面A1B1C1=PR.
∵ BC面ABC;B1C1面A1B1C1,
且 BC∩B1C1=Q ∴ Q∈PR,
即 P、R、Q在同一直線上.
410. 點P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR∩BD=Y(jié).求證:X、Y、Z三點共線.
解析: 證明點共線的基本方法是利用公理2,證明這些點是兩個平面的公共點.
證明 ∵P、Q、R三點不共線,∴P、Q、R三點可以確定一個平面α.
∵ X∈PQ,PQα,∴X∈α,又X∈BC,BC面BCD,∴X∈平面BCD.
∴ 點X是平面α和平面BCD的公共點.同理可證,點Y、Z都是這兩個平面的公共點,即點X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.
411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交,交點為A、B、C、D、E、F,如圖,求證:直線a、b、c、m、n共面.
解析: 證明若干條直線共面的方法有兩類:一是先確定一個平面,證明其余的直線在這個平面里;二是分別確定幾個平面,然后證明這些平面重合.
證明 ∵a∥b,∴過a、b可以確定一個平面α.
∵A∈a,aα,∴A∈α,同理B∈a.
又∵A∈m,B∈m,∴mα.同理可證nα.
∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β,同理可證mβ.
∵平面α、β都經(jīng)過相交直線b、m,
∴平面α和平面β重合,即直線a、b、c、m、n共面.
412. 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內(nèi).
已知:如圖,直線l1,l2,l3,l4兩兩相交,且不共點.
求證:直線l1,l2,l3,l4在同一平面內(nèi)
解析:證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面α,然后證其它直線也在α內(nèi).
證明:圖①中,l1∩l2=P,
∴ l1,l2確定平面α.
又 l1∩l3=A,l2∩l3=C, ∴ C,A∈α.
故 l3α.
同理 l4α.
∴ l1,l2,l3,l4共面.
圖②中,l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系,同理可證l1,l2,l3,l4共面.
所以結(jié)論成立.
413. 證明推論3成立.(如圖)
已知:a∥b,求證:經(jīng)過a,b的平面有且只有一個.
證明:(存在性)∵a∥b,由平行線的定義知:a、b共面,所以經(jīng)過a、b的平面有一個.
(唯一性),在a上取兩點A、B,在b上取一點C.
∵a∥b,∴A、B、C三點不共線,由公理3知過A、B、C三點的平面只有一個,從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.
414.一條直線過平面內(nèi)一點與平面外一點,它和這個平面有幾個公共點?為什么?
解析:只有一個,假設(shè)有兩個公共點,由公理1知該直線上所有點都在這個平面內(nèi),這和直線過平面外一點矛盾.
415.過已知直線外一點與這條直線上的三點分別畫三條直線,證明:這三條直線在同一平面內(nèi).
解答:已知:Aa,如圖,B、C、D∈a,證明:AB、AC、AD共面.
證明:∵Aa,∴A,a確定平面α,∵B、C、D∈a,aα.
∴B、C、D∈α
又A∈α.
∴AB、AC、ADα.
即AB、AC、AD共面.
416. 空間可以確定一個平面的條件是( )
A.兩條直線 B.一點和一直線
C.一個三角形 D.三個點
解析: 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個平面,兩條直線還有位置關(guān)系異面.故排除A,由推論1知點必在線外才合適,排除B.由公理3知不共線三點可確定一個平面,D中三個點不一定不共線,排除D.公理3結(jié)合公理1,知選C.
417. 下列命題正確的是( )
A.經(jīng)過兩條直線有且只有一個平面
B.經(jīng)過一條直線和一個點有且只有一個平面
C.如果平面α與β有三個公共點,則兩個平面一定是重合平面
D.兩個平面α、β有一個公共點,那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線
解析:根據(jù)公理2、公理3知選D.
418. 已知四點,無三點共線,則可以確定( )
A.1個平面 B.4個平面
C.1個或4個平面 D.無法確定
解析: 因為無三點共線,所以任意三個點都可以確定平面α,若第四個點也在α內(nèi),四個點確定一個平面,當(dāng)?shù)谒膫€點在α外,由公理3知可確定4個平面.故選C.
419. 已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π,它們位于球心的同一側(cè)且相距是1,那么這個球的半徑是( )
A.4 B.3 C.2 D.5
解析: 如圖,設(shè)球的半徑是r,則πBD2=5π,πAC2=8π,
∴BD2=5,AC2=8.又AB=1,設(shè)OA=x.
∴x2+8=r2,(x+1)2+5=r2.
解之,得r=3
故選B.
420. 在桌面上有三個球兩兩相切,且半徑都為1,在桌面與三球間放置一個小球,使它與三個球相切.求此小球半徑.
解析: 如圖,球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球,過O作O1O2O3平面的垂線,垂足為H,它一定是ΔO1O2O3的中心,連接O1H,O1O,在RtΔO1OH中,O1H=,OH=1-r,OO1=1+r,∴OO12=O1H2+OH2,即(1+r)2=()2+(1-r)2,解得r=.
421. 地球半徑為R,在北緯45°圈上有A、B兩點,它們的經(jīng)度差為,求球面上A、B兩點間球面距離.
解析:本題關(guān)鍵是求出∠AOB的大小,(如圖1)現(xiàn)在我們將這個球的截面問題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長方體問題.如圖2,以O(shè)1O,O1A,O1B為三條相互垂直的棱,可構(gòu)造一個長方體,問題轉(zhuǎn)化為長方體截面ABO內(nèi)求∠BOA的問題.
解: 如圖2,∵∠O1OA==∠O1OB,OA=OB=R,∴OO1=O1A=O1B=R ∴AB2=O1A2+O1B2=R, ∴ΔAOB為等邊Δ, ∴∠AOB=,A、B間的球面距離為R.
422. 一個圓在平面上的射影圖形是( )
A.圓 B.橢圓
C.線段 D.圓或橢圓或線段
解析:D
423. 兩面都是凸形的鏡中,它的面都是球冠形,球半徑分別為10cm和17cm,兩球心間的距離為21cm,求此鏡面的表面積和體積.
解析:軸截面如圖,設(shè)O2C=x,則CO1=21-x,∵AB⊥O1O2 ∴AO22-O2C2=AO12-CO12,即102-x2=172-(21-x)2,解得x=6,CO1=15,又設(shè)左邊球缺的高為h1,右邊的球缺高為h2,則h1=17-15=2,h2=10-6=4,∴S表=2π(17·2+10·4)=148π(cm)2,V=π[22(3·10-2)+42(3·17-4)]=288π(cm3).
424. 正三棱錐的底面邊長是2cm,側(cè)棱與底面成60°角,求它的外接球的表面積.
解析:如圖,PD是三棱錐的高,則D是ΔABC的中心,延長PD交球于E,則PE就是外接球的直徑,AD=AB=,∠PAD=60°,∴PD=AD·tan60°=2,PA=,而AP⊥AE,∴PA2=PD·PE==,R=,∴S球=π(cm)2.
425. 求證:球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.
證明: 設(shè)球的半徑為R,正四面體的高為h,側(cè)面積為S,則有VA—BCD=VO—ABC+VO—ABD+VO—BCD,如圖,即Sh=4×SR,∴h=4R.
426. 地球半徑為R,A、B兩地都在北緯45°線上,且A、B的球面距離為,求A、B兩地經(jīng)度的差.
解析:如圖,O為球心,O1為北緯45°小圓的圓心,知A、B的球面距離,就可求得∠AOB的弧度數(shù),進而求得線段AB的長,在ΔAO1B中,∠AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差.
解: 設(shè)O1是北緯45°圓的中心,
∵A、B都在此圓上,
∴O1A=O1B=R.
∵A、B的球面距離為,
∴∠AOB===,ΔAOB為等邊三角形.
AB=R,在ΔAO1B中,
∵O1A2+O1B2=R2+R2=R2=AB2,
∴∠AO1B=90°.
∴A、B兩地的經(jīng)度差是90°.
評析:注意搞清緯度和經(jīng)度的問題,球面距離三步驟的運用是非常重要的問題.
427. 已知圓錐的母線長為l,母線對圓錐底面的傾角為θ,在這個圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球,球內(nèi)又有一個內(nèi)接的正方體,求這個內(nèi)接正方體的體積.
解析:設(shè)球半徑為R,以內(nèi)接正方體對角面為軸截面,如圖.連接OA,∠OAD=,R=OD=AD·tan,VA=l,AD=lcosθ,∴R=lcosθtan,又設(shè)正方體棱長為x,則3x2=EG2=4R2,x=R.∴V正方體=(lcosθtan)3.
428. 如圖,過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC,(1)求證:PA2+PB2+PC2為定值;(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值.
解析:先選其中兩條弦PA、PB,設(shè)其確定的平面截球得⊙O1,AB是⊙O1的直徑,連PO1并延長交⊙O1于D,PADB是矩形,PD2=AB2=PA2+PB2,然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.
解: (1)設(shè)過PA、PB的平面截球得⊙O1,∵PA⊥PB,
∴AB是⊙O1的直徑,連PO1并延長交⊙O1于D,則PADB是矩形,PD2=PA2+PB2.
設(shè)O為球心,則OO1⊥平面⊙O1,
∵PC⊥⊙O1平面,
∴OO1∥PC,因此過PC、PD的平面經(jīng)過球心O,截球得大圓,又PC⊥PD.
∴CD是球的直徑.
故 PA2+PB2+PC2=PD2+PC2=CD2=4R2定值.
(2)設(shè)PA、PB、PC的長分別為x、y、z,則三棱錐P—ABC的體積V=xyz,
V2=x2y2z2≤()3=·=R6.
∴V≤R3.
即 V最大=R3.
評析:定值問題可用特殊情況先“探求”,如本題(1)若先考慮PAB是大圓,探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.
球面上任一點對球的直徑所張的角等于90°,這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).
429. 求棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑.
解析:如圖,作AH⊥底面BCD于H,則AH=a,設(shè)內(nèi)切球的球心為O,半徑為r,O點與A、B、C、D相連,得四個錐體,設(shè)底面為S,則每個側(cè)面積為S,有4··Sr=S·AH,∴r=AH=a,設(shè)外接球心為O,半徑R,過A點作球的半徑交底面ΔBCD于H,則H為ΔBCD的外心,求得BH=a,AH=a,由相交弦定理得a×(2R-a)=(a)2.
解得R=a.
430.求證:球的任意兩個大圓互相平分.
證明:因為任意兩個大圓都過球心O,所以它們必交于過球心的直徑,這條直徑也是兩個大圓的公共直徑,所以任意兩個大圓互相平分.
2.在球心的同一側(cè)有相距9cm的兩個平行截面,它們的面積各為49πcm2和400πcm2.求球的表面積.
解: 如圖,設(shè)球的半徑為R,
∵πO2B2=49π, ∴O2B=7
同理 O1A=20
設(shè)OO1=xcm,則OO2=(x+9)cm.
在RtΔOO1A中,可得R2=x2+202
在RtΔOO2B中,可得R2=72+(x+9)2
∴x2+202=72+(x+9)2
解方程得 x=15cm
R2=x2+202=252
∴S球=4π·OA2=2500π(cm2)
431. 球面上有3個點,其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的,經(jīng)過3個點的小圓的周長為4π,那么這個球的半徑為( )
A.4 B.2 C.2 D.
解析: 設(shè)球半徑為R,小圓半徑為r,則2πr=4π,∴r=2.如圖,設(shè)三點A、B、C,O為球心,∠AOB=∠BOC=∠COA=,又∵OA=OB
∴ΔAOB是等邊三角形
同理,ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形,得ΔABC為等邊三角形.
邊長等于球半徑R,r為ΔABC的外接圓半徑.
r=AB=R
R=r=2
∴應(yīng)選B.
432. 已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離都是球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球表面積是( )
A.π B.π C.4π D.π
解析: 如圖,過ABC三點的截面圓的圓心是O