“三心二意”求距離(河南省臨潁縣南街村高中 趙先舉 462600)三角形的重心、外心及內(nèi)心反映了三角形的基本性質(zhì),而實際上這“三心”都具有兩個不同的含義或性質(zhì).重心既是三角形三條邊的中線的交點又滿足到定點距離是到對比中點距離的2倍;外心既是三角形三條邊中垂線的交點又是三角形外接圓的圓心;內(nèi)心既是三角形三個內(nèi)角平分線的交點也是三角形的內(nèi)切圓的圓心.掌握三角形的這些性質(zhì)對解立體幾何問題有很重要的作用,尤其是求一些與三棱錐有關(guān)的距離問題.例1.邊長為正ABC的所在平面外一點S到三個頂點A、B、C的距離都是6,求點S到平面”ABC的距離.解析:由S作平面ABC于O聯(lián)結(jié)AO,BO,CO,易證SAOSBOSCO,故AOBOCO故O是ABC的外心(外接圓的圓心).而三角形ABC是正三角形,故O也是三角形ABC的重心.設(shè)D是邊BC中點,則 故.在直角SAO中可求得高.評析:本題根據(jù)條件首先說明垂足O是ABC的外心,再根據(jù)正三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為重心來求AO的長度.這實際上是由外心定位置,再由重心定長度,實現(xiàn)了正三角形內(nèi)部特征的轉(zhuǎn)化.例2.已知ABC三邊長分別為6,8,10且ABC所在平面外一點S到三個頂點A、B、C的距離都是6,求點S到平面ABC的距離.解析:由S向平面ABC作垂線,由例1的方法易知,O是ABC的外心,又根據(jù)條件可知,ABC是直角三角形.故O是ABC斜邊的中點,所以可得S到平面ABC的距離為.評析:本題根據(jù)條件先確定垂足的位置是三角形的外心,再根據(jù)直角三角形的特點進一步得到垂足在斜邊中點上的結(jié)論,體現(xiàn)了外心重要應(yīng)用.而實際上我們可得出一個一般性的結(jié)論:若ABC所在平面外一點P到三角形三個頂點的距離相等,那么由P向平面ABC作垂線的垂足是ABC的外心.例3.已知ABC所在平面外一點S到三角形三邊的距離都是6,而ABC的周長為4,面積為6.求點S到平面ABC的距離.解析:如圖,過S作SO平面ABC于O,SD,SE,SF分別垂直于BC,AB,AC.聯(lián)結(jié)OD,OE,OF.則由條件可得.故OD=OE=OF.故O是ABC的內(nèi)心.OD等于內(nèi)切圓的半徑r.由內(nèi)心的性質(zhì)可得:面積故r3.所以,S到平面ABC的距離.評析:三角形的內(nèi)心是其內(nèi)切圓的圓心,且三角形的面積可以表示為(其中,r為內(nèi)切圓半徑,c為三角形周長).本題確定垂足的位置為內(nèi)心是解決本題的關(guān)鍵.其實,一般情況下有這樣的結(jié)論:若ABC所在平面外一點P到三角形三邊的距離相等,那么由P向平面ABC作垂線的垂足是ABC的內(nèi)心. 三角形的“三心”是三角形的性質(zhì),反映了三角形邊角之間的關(guān)系.而利用其“三心”具有的性質(zhì)確定垂足的位置可以使距離問題得到簡化.