摘 要了解天然氣的物理化學性質，以便合理的準確性分析氣井的動態(tài)，預測氣井的產能，進一步了解氣層的特性打下了基礎。文章介紹了流體通過多孔介質流動時的基本方程，以及在各種邊界條件和各種氣藏形狀下的特解敘述了氣井的流動和壓力測試的基本理論，推導了流體通過多孔介質流動的基本方程式，對于不同邊界條件和地層幾何形狀提供了有意義的解敘述了產能試井的基本理論對幾種產能試井給出了分析試井數據的不同方法，還詳細地介紹了，在產能試井中必須考慮的一些重大問題，如達到氣井穩(wěn)定流動所需的時間和試井時確定穩(wěn)定產量的要求還針對測試的產量或井底壓力不穩(wěn)定的情形，將其考慮為變產量穩(wěn)定試井，從理論上推導出快速求取氣井產能方程的新方法，并將該方法應用于分析實際產能測試資料，使原來無法解釋的測試資料得到了解釋，獲得了氣井的產能方程和無阻流量關鍵詞：天然氣藏；穩(wěn)定滲流；氣井試井；產能評價52第1章 天然氣的物理化學性質1.1 天然氣的組成天然氣是指自然生成，在一定壓力下蘊藏于地下巖層孔隙或裂縫中的混合氣體，其主要成分為甲烷及少量乙烷、丙烷、丁烷、戊烷、正丁烷、異丁烷及以上烴類氣體，并可能含有氮、氫、二氧化碳、硫化氫及水蒸氣等非烴類氣體及少量氦、氬等惰性氣體。無硫化氫時為無色無臭易燃易爆氣體，比空氣輕。通常將含甲烷高于90%的稱為干氣，含甲烷低于90%的稱為濕氣。天然氣系古生物遺骸長期沉積地下，經慢慢轉化及變質裂解而產生之氣態(tài)碳氫化合物，具可燃性，多在油田開采原油時伴隨而出。1.2 天然氣的分子量、相對密度、密度和比容天然氣的分子量在數值上等于在標準狀態(tài)下1摩爾天然氣的質量。由于天然氣的分子量隨組成的不同而變化，沒有一個恒定的數值，因此又稱為“平均分子量”。通常，多將上述數值簡稱為天然氣的分子量。1.2.1 天然氣的分子量 （1-1）式中 天然氣分子量；天然氣組分的摩爾組成；組分i的分子量。1.2.2 天然氣密度天然氣密度定義為單位體積天然氣的質量。在理想條件下，可用下式表示為 （1-2）式中 氣體密度，；氣體質量，；氣體體積，；絕對壓力，； 絕對溫度，；氣體分子量，；R氣體常數，。對于理想氣體混合物，用混合氣體的視相對分子質量代替單組氣體分體的相對分子質量，得到混合氣體的密度方程為： （1-3）1.2.3 天然氣相對密度天然氣相對密度定義為：在相同溫度、壓力下，天然氣的密度與空氣密度之比。天然氣相對密度是一無因次量，常用符號表示，則 （1-4）式中 天然氣密度；空氣密度；因為空氣的分子量為28.96，故有。1.2.4 天然氣的比容天然氣的比容定義為天然氣單位質量所占據的體積。在理想條件下，可寫成 （1-5）式中 比容，。1.3 天然氣各種系數的確定1.3.1 天然氣的偏差系數天然氣偏差系數又稱壓縮因子，是指在相同溫度、壓力下，真實氣體所占體積與相同量理想氣體所占體積的比值。天然氣的偏差系數隨氣體組分的不同及壓力和溫度的變化而變化。換言之，某壓力和溫度時，摩爾氣體的實際體積除以在相同壓力和溫度時摩爾氣體的理想體積之商，即為該天然氣的偏差系數。 （1-6）式中 對比壓力，；對比溫度，。1.3.2 天然氣的等溫壓縮系數天然氣的等溫壓縮系數（一般簡稱為壓縮系數或彈性系數）是指：在等溫條件下，天然氣隨壓力變化的體積變化率，數學表達式為 （1-7）氣體體積與壓力的關系可按真實氣體狀態(tài)方程表示為 （1-8） （1-9）將式（1-8）和式（1-9）代入式（1-7），則可得 （1-10）在實際應用中，一般不直接用（1-10）計算值，而表示為擬對比壓力和擬對比溫度的函數，用代替，即： （1-11）1.3.3 體積系數和膨脹系數天然氣的體積系數是指天然氣在地層條件下所占體積與其在地面條件下的體積之比。 （1-12）式中 天然氣體積系數；天然氣在標準狀況下的體積；同數量天然氣在地下的體積。天然氣體積系數的倒數稱為天然氣的膨脹系數，用符號表示為： （1-13）一般規(guī)定在地面標準狀況下，氣體體積可按理想氣體狀態(tài)方程來表述： （1-14）在油藏壓力為、溫度為條件下，則同樣數量的天然氣所占的體積可按真實氣體狀態(tài)方程求出，即： （1-15） （1-16）其中，的單位是，即可視為無因次量。因此，在標準條件下。天然氣體積系數，實質上表示了天然氣在氣藏條件下所占的體積與同等數量的氣體在標準狀況下所占的體積之比。因此描述了當其氣體質量不變時，由于從地下到地面的壓力、溫度的改變所引起的體積膨脹大小。氣藏中隨著氣體的不斷采出，氣藏壓力在不斷降低，而地下氣藏的溫度可視為常數。此時，可將視為僅是氣藏壓力的函數。1.4 天然氣的粘度、含水量和溶解度1.4.1 粘度的定義粘度是流體抵抗剪切作用能力的一種量度。牛頓流體的動力粘度定義為： （1-17）式中 剪切應力； 在施加剪應力的方向上的流體速度；在與垂直的方向上的速度梯度。對純流體，粘度是溫度、壓力和分子類型的函數；對于混合物，除了溫度、壓力外，還與混合物的組成有關。對于非牛頓流體，粘度同時是局部速度梯度的函數。上面所定義的粘度稱為絕對粘度，也稱為動力粘度。此外，流體的粘度還可以用運動粘度來表示。運動粘度定義為絕對粘度與同溫度、同壓力下該流體密度的比值 。 （1-18）式中 運動粘度，； 絕對（動力）粘度，； 流體密度，。1.4.2 天然氣中的含水量大多數氣田屬氣水兩相系統(tǒng)。天然氣在地下長期與水接觸的過程中，一部分天然氣溶解在水中，同時一部分水蒸氣進入天然氣中。因此，從井內采出的天然氣中，或多或少都含有水蒸氣。1.4.3 天然氣的溶解度天然氣的溶解度定義為：在一定壓力下，單位體積石油或水中所溶解的天然氣量。天然氣的溶解度通常用溶解系數與壓力表示 （1-19）式中 天然氣在油或水中的溶解度，；天然氣溶解系數，在一定溫度下，壓力每增加一單位值，單位體積石油或水中溶解的氣量；壓力，。第2章 天然氣的穩(wěn)定滲流天然氣是重要的能源及化工原料，它是由各種碳氫化合物及其他成分組成的混合物。組要含有甲烷、乙烷及正丙烷等烴類，其中甲烷含量最高，除了碳氫化合物外還含有少量其他成分。如：一氧化碳、二氧化碳及硫化氫等。不同的氣藏，天然氣的成分及其含量不同。天然氣的主要特點是壓縮性大，氣體的體積隨溫度和壓力的變化而變化。一般以20及760為標準條件。2.1 天然氣滲流的基本微分方程氣體和液體的相態(tài)不同，但都是流體。只是氣體比液體的壓縮性大。因此，研究氣體滲流規(guī)律時根據這一特點引入一些新的變量，依照液體滲流規(guī)律的研究方法的氣體滲流方程。2.1.1 基本微分方程關于求解流體流動問題的第一步，是了解它們在數學上的表達式。通過如下敘述的一組五個基本方程的應用，對問題進行求解。（1）結構方程式，它敘述了流體動態(tài)的流變性質。它是作用于流體上的剪切力和因之而產生的剪切速率之間的關系。對于任一給定的溫度和壓力，用結構方程確定牛頓流體2的粘滯性。目前發(fā)展的情況是，它合并于運動方程之中。（2）動量方程式，它是牛頓的第二運動定律對流體系統(tǒng)的應用。在本質上這是作用在系統(tǒng)上的力平衡。（3）連續(xù)方程式，它是質量守恒定律的一個表達式。（4）狀態(tài)方程式，它把流體的密度同溫度與壓力聯(lián)系在一起。（5）能量方程式，它是能量守恒定律的一個表達式。它考慮到能量變化的不同類型，以及在非等溫流動系統(tǒng)中最關心的問題。在氣藏流體的流動中，這些能量的影響可以忽略不計。由實驗和理論研究得到的動量方程、連續(xù)方程和狀態(tài)方程，在下面將進行進一步的論述。首先是推倒動量方程，其次是連續(xù)方程。這兩個方程再加上狀態(tài)方程，就可以用壓力代替密度。這樣就得到流體通過多孔介質流動的基本偏微分方程式。在普通坐標上，該方程式可以表示為直角的、圓柱的或球形坐標的形式，并用適當的方法求解。1、動量方程式該方程組，是由作用于所研究區(qū)域內的任一微分單元上的動量平衡推導出來的。然后，將方程組簡化為在流體單位體積上的力平衡，即質量加速度=壓力+粘滯力+重力在地層中氣體或液體的穩(wěn)定流動，可能是層流，也可能是湍流或兩者的綜合。（1）低流量（層流影響）對于常數流量下水通過多孔介質的一維穩(wěn)定流動，達西1856年通過實驗發(fā)現(xiàn)，對于給定的多孔介質壓差與流量成正比。進而，對于不同的流體，做了多孔介質中的線性水平流動的試驗，并給出了如下的達西定律形式： （2-1）式中 流量；總的橫截面積；在方向的壓力梯度；滲透率。式（2-1）可表示為： （2-2）由式（2-1）是可以給出廣義的一維達西定律形式。對于任何方向的流動為： （2-3）式中 速度矢量；滲透率張量；梯度算子；重力矢量，；重力加速度。在笛卡爾直角坐標系中，速度的三個分量可表示為： （2-4） （2-5） （2-6）在寫（2-3）式的表達式時，假定是以垂直向下方向為正，而張量的形式為：介質假定是各向異性的，因此，在三個坐標方向上的滲透率是不相同的。假若介質是各向同性的，則在所有點有：假若整個介質的滲透率與位置無關，則介質稱為是均質的。反之，該系統(tǒng)是非均質的。我們把勢定義為： （2-7）式中 密度，為壓力的函數；垂直向下的距離；任意的參考壓力。利用勢表示的達西定律為： （2-8）從在均質介質中流體的流動可以發(fā)現(xiàn)，滲透率與流動的流體無關，只是介質的一個屬性。但是，在氣體流動的情況下，當介質的孔隙大小與氣體分子的平均自由路程的大小相同時，在流體與固體的接觸面上會產生滑脫，從而氣體的滲透率將不再是常數。在這種條件下，低壓下的滑脫變得顯著，此時滲透率被表示為： （2-9）式中 在無限大壓力下介質對氣體的滲透率（它的數值應當等于介質對液體的滲透率）；取決于氣體與多孔介質系統(tǒng)的常數。（2）高流量（慣性和湍流影響）隨著流動速度的增加，產生了偏差達西定律的現(xiàn)象。許多研究工作者把它歸因于湍流影響或慣性影響。一般公認的解釋是，隨著速度的增加，慣性影響引起最初的偏離，湍流影響著更高速度下的流動。從單純的層流過渡到完全的湍流，包括一個很寬的流量范圍。對于水平的穩(wěn)定流動，該流量范圍可有一個如下的二項式表示： （2-10）（2-10）式包括了層流、慣性流和湍流()的影響。對于穩(wěn)定流動，它是一個一般的動量平衡方程式。該式可以重新整理為下式： （2-11）式中的是層流慣性湍流( )修正系數。當時（2-11）式等價于達西定律。在各向異性的介質中，、或方向上的也是各不相同的。當重力影響可以忽略時，通過這樣介質的流動可表示為： （2-12）式中由此看出，（2-12）式將既表示層流影響，又表示慣性湍流（）影響。對于穩(wěn)定流動，它將被稱為廣義的層流慣性湍流（）的動量平衡方程式。2、連續(xù)方程式質量守恒定律，也叫做連續(xù)性方程式，該方程對于任一給定的系統(tǒng)有質量存儲量=質量流入量-質量流出量通過一個有代表性的多孔介質單元體積，利用質量守恒定律得到了連續(xù)性方程式，其廣義坐標記法的形式為： （2-13）式中 介質的孔隙度；的散度。算子的定義，在表1-1中給出了直角、圓柱和球形坐標中的具體形式。（2-13）式的左邊項，表示了在多孔介質中質量的存儲量，它在穩(wěn)定流條件下等于0。右邊項表示了離開和進入有代表性單元體積的流體質量差。（2-13）式的一維形式，可由表2-1做適當的代換后得到。假若流動是在方向上的層流，則連續(xù)性方程式的形式為： （2-14）類似地，在徑向柱狀坐標中，假若流動僅考慮為方向的徑向流，則連續(xù)性方程式表示為： （2-15）表2-1 在不同坐標系中算子的定義（是一個任意標量，是一個任意矢量）三維情況一維情況直角坐標柱狀坐標球形坐標3、狀態(tài)方程式關系到流體密度隨壓力和溫度變化的方程式為狀態(tài)方程式。該方程式需把由密度表示的連續(xù)方程式（2-13）式，和由壓力表示的動量方程式（2-12）式結合起來。這樣一個狀態(tài)方程式是必不可少的。（1）液體上述的狀態(tài)方程式，對于預測液體的密度是很麻煩的，并指出它的使用是不正確的。對于常溫度下固定的液體質量，液體的壓縮系數定義為單位壓力變化下的液體體積的變化量，即： （2-16）式中 液體的壓縮系數；液體的體積；溫度。由密度表示，（2-16）式可表示為： （2-17）對于常溫下的液體，可以考慮為常數，而（2-17）式可以在和之間積分： （2-18）式中 在某一參考壓力下的密度。該式是在等溫條件下液體的壓力與密度的關系式，它可用于任何常壓縮系數的流體。（2）氣體為了工程的計算，對于真實氣體狀態(tài)方程式的最實用形式： （2-19）對于等溫條件： （2-20）聯(lián)立（2-17）式、（2-19）式和（2-20）式得 （2-21）偏差系數是一個修正系數，它定義為真實氣體對理想氣體的偏差。不能把它同壓縮系數混淆。是任一給定物質的等溫壓縮系數。對于理想氣體而言，是一個常數()，而。對于真實氣體，隨壓力變化。而，只是在的壓力范圍內成立。在某些條件下，如，氣體可以處理為小壓縮系數和常壓縮系數的流體，而在常溫下它的壓力和密度的關系，利用（2-18）式表示就足夠了。實際上這是液體的狀態(tài)方程式。Houpeur(1959)指出，對于氣體狀態(tài)方程式，靠近選擇更為合適。4、流動方程式把連續(xù)性方程（2-13）和動量平衡方程（2-12）聯(lián)立得到： （2-22）這是與密度、孔隙度、粘度、滲透率、湍流系數、時間、距離和壓力都有關系的流動方程的一般形式。若把適當的狀態(tài)方程代入上述方程，就可以得到一個偏微分方程式。它可以描述一個利用孔隙度、粘度、滲透率、流動的修正系數、時間、距離和壓力表示系統(tǒng)中流體的流動。該方程式是非線性的，在沒有做進一步簡化之前，它只能用數值法求解。對于弱壓縮性流體和高壓縮性流體的流動方程的簡化形式，在下面給出。在常溫下的液體（或在高壓下的氣體），可以處理為小壓縮性流體。對于這樣的流體，假定為常數是合理的，而（2-18）式是可以利用的。把它代入（2-22）式得： （2-23)該式可整理為下式： （2-24）通常氣體是一種高壓縮性的流體，而（2-19）式是可以應用的。將代入（2-22）式得： （2-25）對于等溫條件，上式可簡化為： （2-26）（1）綜合的假定前面給出的廣義形式的流動方程式，只能用數值法求解。但是，利用一些簡化的假定，就能使這個方程式線性化，并對某些邊界條件可以得到解析解。這些簡化的假定，適用于即將進行的理論推導，現(xiàn)歸納如下：a在推導（2-16）式、（2-17）式、（2-18）式、（2-21）式、（2-24）式和（2-26）式中，普遍假定是等溫條件；b在推導（2-12）式過程中，假定忽略重力的影響；c在本文中，假定流體是單相的，已內含在達西定律中，更進一步的假定如下；d介質是均質的，各向同性的和不可壓縮的，孔隙度為常數；e流動是層流的，即。對于液體來說，層流的假定是很合適的，但在一些條件下，對于氣體就不那么合適了。（2）利用壓力表示的液體流動方程式除了（a），（b），（c），（d）和（e）的假設外，對于弱可壓縮流（液體或高壓氣體）還將作如下假定：f滲透率與壓力無關；g流體粘度為常數，并與壓力無關；h流體的壓縮系數很小且為常數；i壓力梯度是小的。假定根據條件（h）和（i）可忽略項。當這樣做時，（2-24）式右邊的第二項變?yōu)?。當假定（a）到（i）應用于（2-24）式，對于弱可壓縮性流體的流動方程式變?yōu)椋?（2-27）（3）利用壓力表示的氣體流動方程式將氣體作為高壓縮流體處理，并應用（a）到（f）的假定，（2-26）式可以寫為： （2-28）該式的左邊可以展開為： （2-29）把（2-21）式代入（2-29）式得： （2-30）（2-28）式和（2-30）式可以聯(lián)立，并經整理后得： （2-31）兩個不同的方法，包含不同的假定，可以跟在該步驟之后，進一步簡化（2-31）式。在這里已做的假定，除（a），（b），（c），（d）和（e）之外，還有以下兩種情況：情況1：i條假設壓力梯度很小。這意味著，而（2-31）式簡化為： （2-32）對于弱可壓縮流體的流動，該式與（2-27）式相同。情況2：j條假定等于常數。在這個條件下，（2-31）式又可簡化為（2-32）式。（4）利用壓力平方表示的氣體流動方程式（2-28）式可以展開為幾個不同的項，尤其是，注意：和（2-28）和（2-30）式可以聯(lián)立，并經整理后得 （2-33）為了進一步簡化這個方程式，除（a），（b），（c），（d），（e）和（f）假定外，還可做如下一組三個不同的假定：情況1：k條假定的乘積為常數。于是（2-33）式簡化為： （2-34）情況2：i條假定壓力梯度很小。這意味著。而（2-33）式又簡化為（2-34）式。情況3：j條假定為理想氣體，以及。氣體的粘度為常數，且與壓力無關。在這些條件下，（2-28）式簡化為： （2-35）注意到，對于理想氣體，上面的方程式同樣可以由（2-34）式直接推導出來。（5）利用擬壓力表示更嚴格的氣體流動方程式在引入擬壓力（有時也稱為“真實氣體勢”）的概念之后，在上面提到的那些近似假定就可以避免，并且對于氣體流動可以采用更為嚴格的方法處理。使用可以提供和隨壓力的變化，而只有（a），（b），（c），（d）和（e）以及（f）假定是需要的（假若已知隨壓力的變化，（f）的假定可以不要）。假若，擬壓力定義為： （2-36）其中是某一特定的參考壓力，于是 （2-37）和 （2-38）把（2-30）式改寫為： （2-39）并把（2-36）、（2-37）、（2-38）和（2-39）式代入（2-28）式得： （2-40）除了壓力和壓力平方變量被擬壓力代換外，（2-40）式看起來與（2-36）和（2-34）式很相似。但是，必須注意到（2-40）式的推導，沒有使用（g），（i），（j），（k）或（l）的任何假定。如前所述，假若滲透率隨壓力的變化已經知道，適應的一個變換的擬壓力定義為： （2-41）使用這個假定，可以得到一個類似于（2-40）式的公式：在計算中，不僅要知道氣體的性質和，而且還需要知道作為壓力的函數的地層參數。同計算對比，計算在實際上是不方便的，計算僅需要知道氣體性質就夠了。盡管如此，這一點是清楚的，當需要時，隨壓力的變化可以包括在擬壓力的處理中。2.1.2 一般流動方程式對于“壓力”、“壓力平方”和“擬壓力”的方程式，可以合并為如下的一個一般的形式： （2-42）式中的和對不同的情況解釋如下： 壓力情況 壓力平方情況 擬壓力 壓力和壓力平方情況，使用了在算術平均壓力下計算的平均氣體性質，或在標準壓力下進行計算。對于采氣和注氣的擬壓力情況，使用在原始條件下估計的氣體性質。如所希望的那樣，（2-42）式可以用直角的，柱狀的，或球形的坐標表示。顯然，一維表達式和所規(guī)定的坐標系有關。例如，在柱狀坐標中，方向上的一維流動，就可以表示為直角坐標中，方向上的兩維流動。1、直線流動通常在地層中存在有天然裂縫或在井底附近因水力壓裂產生的裂縫。在這種情況下，向裂縫的流動為直線流動，也就是說，流線是平行的，而流動的橫截面積是常數，見圖2-1（a）所示。此種流動也可由（2-43）式表示。該方程式在直角坐標系中是一維的，如式（2-42）的形式。 （2-43）2、徑向柱狀流動在石油工程中，地層常被理想化地看成為圓形和等厚的，并且井將穿過整個厚度。流動僅考慮為發(fā)生在徑向的方向，即每個平面上的流線會集于中心點，越靠近中心點，流動的截面積越小。這些流動指向一根共同的軸線并稱之為線匯。這種流動模型被稱為徑向柱狀流動。但在石油文獻中通常簡稱為徑向流。在圖3-1（b）中繪出了這種流動，而在柱形坐標系中，應用的流動方程式是（3-42）式的一維形式，并由下式表示： （2-44）3、徑向球形流動對于厚層地層（很大），井并不把整個生產層打開，有時為測量垂向滲透率，在球形坐標系中，（2-42）式的一維形式是有興趣的。這叫做徑向球形流動方程式，并由下式表示： （2-45）徑向球形流動意味著，流動是從各個方向流向一個共同的中心點，即一個點匯（或點源）。圖2-1（c）繪出了這種流動，而這種流動通常簡稱為球形流動。2.1.3 一般流動方程式的無因次形式把(2-42)式和有關的邊界條件，表示成如下的無因次形式更為方便： （2-46）其中的下標表示無因次量，而對于不同的流動模式，無因次項的定義在表2-2中。表示成這種形式達到了以下三個主要的目標：（1）利用表2-2中、和的適當定義，“壓力”、“壓力平方”和“擬壓力”三種情況都可由（2-46）式表示。因此，僅需一個方程式的解就可用于三種情況。（2）使得所求的解依賴的變量數目為最少。例如，只需要用、和就可以代替原來問題中所具有的變量，和。顯然，變量的數目是大大地減少了。（3）（2-46）式等價于熱傳導場中的標準方程式對該問題已經得到了在不同相關邊界條件下的解。這解皆可以直接用于通過多孔介質的流體流動問題。在表2-2中出現(xiàn)的系數是地層流體的體積系數，其定義為：表2-2 用、和表示的無因次量的定義無因次變量流動幾何形狀氣體氣體氣體液體直線徑向-柱狀徑向-球形直線徑向-柱狀徑向-球形直線徑向-柱狀徑向-球形 在表2-2中最后一列表明，使用“壓力”作為自變量處理氣體流動，類似于液體流動。兩者的無因次項是相同的，但是，對于氣體要由代替。兩種情況的值是不同的。不同的原因在于，原油的流量是以每天多少桶表示；而氣體的流量是以每天多少百萬標準立方英尺表示，同樣，對于氣體的包括和的數值，而和為已知的常數。1、徑向柱狀流動方程式的無因次形式為了說明來自表2-2無因次項的定義，一維徑向柱狀流動方程式（2-44）式，對于“壓力”被解釋為，將與邊界和原始條件一起考慮。對于無限大地層一口常數產量的井?？刂屏鲃拥姆匠淌綖椋?（2-47）該式具有以下的邊界和初始條件：a.內邊界條件：在井底處的流量為常數（對生產井為正值），由達西定律表示為： （2-48）即 （2-49）而用標準條件時為： (2-50)b.外邊界條件：在整個時間內，在外邊界（半徑為無限大）處的壓力和原始壓力相同，即當時，對于整個時間， c.初始條件：初始時，在地層內各處的地層壓力為常數，即：當時，對于所有處， 在這種情況下，影響（2-47）式解的自變量是，和。令： 無因次半徑 于是，（2-50）式變?yōu)椋?（2-51）令： 無因次產量于是，（2-51）式變?yōu)椋?（2-52）令： 無因次壓差于是，（2-52）式變?yōu)椋?（2-53）并且（2-47）式變?yōu)椋?（2-54）令： 無因次時間因此，徑向柱狀流動方程式（2-47）式，現(xiàn)在可以表示為如下的無因次形式： （2-55）該式所用的邊界和初始條件如下： ，對于 （2-56），當，對于所有，在，對于所有（2-55）式是（2-47）式無因次形式的解。該方程式現(xiàn)在只包括，和。對于其他流動系數，在表2-2中規(guī)定的無因次項，利用，或表示，可以得到與本節(jié)相類似的形式。2.2流動方程式的直接解析解到目前為止，對所導出的流動方程式僅能在少數流動幾何形狀和某些初始及邊界條件下獲得解析解。在氣井的試井中，特別有意義的是，徑向柱狀流動方程式解的應用。因此，對該方程式比直線流或徑向球狀流動方程式要做更多的處理。通常，規(guī)定井的產量為常數，并具有下面外邊界條件之一：（1）無限大地層；（2）無流量通過外邊界的有限圓形地層；（3）外邊界定壓的有限圓形地層。對于具有規(guī)則直線邊界地層的求解，例如矩形、多邊形等等，井處在中心或不在中心，從無限大地層的情況可以得到它的解。求解的方法是把空間的“疊加原理”用于“鏡象法”的形式。對于不規(guī)則邊界的地層，只能由下面兩種方法求解。一是選擇合理的直線邊界做近似擬合，從而利用鏡象法來處理問題。另一種是利用有限差分技術的數值法求解。對于氣井的試井，氣井產量為常數的條件更為有用。該情況下面稱為常數產量情況。然而，一個變產量保持定壓生產的井，也可以利用在以后所提出的疊加原理。2.2.1無限大地層和常數產量的徑向柱狀流動如前所述，在氣井試井中，最為感興趣的是徑向柱狀流動。對于這種情況，使用3.1節(jié)中的無因次變量形式，如在前一節(jié)中所做的那樣，經過某些簡化假定，可以導出流動方程式。這樣，（3-55）式重寫如下： （2-57）現(xiàn)在求解的問題是，從一個無限大地層中，氣體以常數產量向井底做徑向柱狀流動。該情況的邊界和初始條件為：1、 井的產量為常數，由(2-53)式： 對于 （2-58）一個簡化的假定，可以得到幾乎是等價的結果。這只要用一個線匯代替半徑為的井即可，于是邊界條件變?yōu)椋?對于 （2-59）2、在整個時間內，外邊界處的壓力等于原始地層壓力，即：，（當時，對于所有時間）3、 在初始條件地層中各處的壓力是相同的，即：，（在，對于所有時間）Boltzman (波爾茲曼)變換用于（2-22）式，簡化為一個常微分方程式。然后由分離變量和積分求解，并用到上面的三個條件，其結果為： （2-60）或 （2-61）式中的為指數積分函數，定義為： （2-62）式中的是一個虛擬積分變量。而指數積分值可由數學函數表求得。但用級數展開，可以得到如下的方便形式： （2-63）在計算中所需項的多少取決于的量級和精確度的要求。當值小于0.01時，指數積分函數可近似等于 對于 （2-64）當時，指數積分函數近似等于0。在圖2-2上給出了函數的圖形。因此，對于，即時，（2-60）式可變?yōu)椋?對于 （2-65）或 對于 （2-66）,和按所要求適當地代入表2-2，可以做到代替無因次變量和。此方程給出了整個油藏的無因次壓力、無因次半徑、無因次時間的關系。通常，最有意義的是井的位置，在這里。在這位置對徑向柱狀流動方程式（2-57）的解，已經給出了一個特定t的名稱，。表示無因次項，它就是在井處的值(排除慣性湍流和井壁阻力影響)。隨邊界條件變化，但是對于無限大地層的常數產量情況，由下式表示： （2-67） （2-68）利用對數近似，由（2-66）式得 對于 （2-69）2.3 流動方程式的進一步解析解2.3.1 疊加原理當描述流動的微分方程和邊界條件都是線性時，數學上的疊加原理就能用來把復雜的解簡化成一系列相對簡單的單個解。這個原理的基本內容是：假若是一個齊次、線性、偏微分方程的解，且,.等等是已知的特解，那么： （2-70）式中的,.等等是滿足邊界條件的常數。當邊界條件與時間無關時（例如定產），疊加原理表明了一個邊界條件的出現(xiàn)不會改變由其他邊界條件或初始條件所產生的響應，即各個響應之間不會發(fā)生相互干擾。因而，總的影響就是每個單獨影響之總和。當邊界條件與時間有關時(例如變產量)，疊加原理的一個推廣，通常稱為杜哈美原理可以被使用。疊加原理可以從解答基本問題的角度來考慮，那就是任一位置、任一時刻的壓力動態(tài)，被考慮成是在該點上對解有影響的單個歷史的相加。疊加原理在壓力測試資料分析中的特殊應用是重要的。1、時間疊加上面說明的疊加原理，使我們可以利用常數產量的解去分析變產量的問題。例如，假定以常數產量生產了時間，然后又以常數產量生產了時間。在第一個時間間隔內，用表示的井底生產壓差為：注意：由或代換也許更為適當。而括號意味著是一個函數。這個解可以一直應用到時間，此后解由兩部分組成：（1）自時間開始，是由于初始產量引起的結果；（2）自時間以后，是由于產量變化引起的結果。因此，對于有： （2-71）對于有： （2-72）同樣的道理可以適用于改變產量的任意次數，甚至也包括一些關井情況（產量為零）。從基本解的簡單疊加，就可以得到壓力的動態(tài)。這些基本解都要在一個新的產量開始時進行運算。這些基本解是建立在產量變化基礎上的。在圖2-4中描述了疊加原理。在小于的任一時間，應該得到在產量下時間的井底壓力。在和之間的某一時間，應當由在產量下時間得到的壓力，加上在產量下時間得到的壓力。在大于的任一時間，應是在產量下時刻的壓力，加上在產量下時間得到的壓力，再加上在產量下時間得到的壓力。2、空間疊加當不止一口井同時從一個地層中生產時，比如說是兩口井，井的產量為，井的產量為。在地層內任一點的壓力是兩口井的共同影響。于是在地層內點的壓力是由井形成的解加上由井形成的解而得到。為了求得地層內任一處的壓力動態(tài)，要求這些解的每一個是相互獨立的，也就是說，偏微分方程式的通解并不僅只能求解井底條件。還能求解其它的點，因此， （2-73）式中 點到井的距離；點到井的距離；。這是用于確定地層特性（例如井間的孔隙度等）的“干擾”試井的基礎。在這樣的試井中，點實際上是一口觀察井，而其他生產井的干擾是在點測量的。3、鏡象法在無限大地層中有兩口井以相同的產量生產，在兩口井之間一半的地方存在一個無流動邊界。假若一口井是生產井，而另一口井是注水井，則兩口井之間一半的地方將是一條定壓邊界。這樣就提出了邊界的影響可以被模擬為由一口適當的“鏡象井”代替。鏡象法實際上是當井處于邊界附近時，疊加原理的一個特別有效的應用。采用這種方法，邊界可以被一個奇的或偶的象井所代替。奇或偶依賴于邊界條件而定，并且在模擬邊界條件時，實際井和象井的解需要疊加。在解決非圓形地層和位于斷層附近井的流動方程時，可以證明使用鏡象法的疊加是十分有效的。4、時間與空間的同時疊加空間和時間的解可以同時疊加，例如干擾試井中的觀察井，能夠保持它前段時間持續(xù)的壓力影響，比如說關井后的壓力恢復。另一個例子是，在邊界附近有一口井，以變產量生產，在任何一種情況下，由位置和生產歷史引起的單個影響，在空間和時間兩個方面可以同時疊加，則可給出在觀察井點所產生的壓力動態(tài)?？紤]有A，B兩口井處在同一地層中的情況，井以產量生產到時間，然后產量變?yōu)?。井以產量生產到時間，然后產量變?yōu)?。在時間內地層任一點的壓力由下式給出：5、疊加分解有些時候唯一可測量的影響就是疊加影響。例如當一口井從時刻起關井，在時刻測量井底壓力恢復。實際上關閉的壓力是兩部分疊加之和。一個是在時間由產量引起的壓降，而另一個是在時間由產量改變?yōu)橐鸬膲簭?。假若這兩部分之一已經知道，那么另一部分就可以從測量影響的已知部分經疊加分解而得到。該方法的一個重要應用是能夠利用壓降方法去分析壓力恢復問題。2.3.2 屏障附近的井假設一口井，處于距無流動屏障距離為的位置，并以常數產量生產。該系統(tǒng)可以這樣處理，虛擬一口與真實井相同的井，從而起到代替屏障的作用。該井處于距真實井距離為的位置，見圖2-5因此，真實井的壓力歷史，將是無限大作用井在井點的壓力歷史，加上在點上無限大作用井在點的影響，即： （2-74） 對于整個實際的時間，由于圓括號內的自變量通常小于0.01因此第一個函數項可以由（2-69）式近似表示。由于在自變量中有（此數一般很大）的存在，故第二個函數項就不能用（2-69）式近似，故得 （2-75)第3章 天然氣藏氣井的穩(wěn)定試井3.1 基本方程式為了得到適用于產能試井的方程，在本章中進一步發(fā)展了第三章中有關的理論研究。近似程度各異的兩種不同的處理方法被用來解釋這種試井。這兩種方法被稱為“簡單分析”和“流動分析”。3.1.1 簡單分析關系式一般表達為： （3-1）式中 標準條件下產量；關井到完全穩(wěn)定時得到的平均氣藏壓力；井底流動壓力；描述穩(wěn)定產能直線部分的系數；描述穩(wěn)定產能直線斜率倒數的指數。應注意的是，上面方程中的是由常產量得到的穩(wěn)定井底流動壓力。如果壓力沒有穩(wěn)定，值將隨著生產時間減小，但最終變?yōu)榉€(wěn)定時的固定常數。如圖3-1所示，與在雙對數坐標上是一條斜率為的直線。該圖被用來求得任意井底壓力下的氣井產能，其中包括井底壓力為零時的絕對無阻流量。對于一個有限的產量范圍內，和可以考慮為常數，并且要求這種形式的產能關系只用于試井期間所采用的產量范圍。外推超出試井的產量可能導致錯誤的結果。3.1.2 流動分析1、壓力平方方法由于其近似性質，方程（3-1）的使用受到了限制。圖3-1中的直線只是近似地適用于試井產量的有限范圍。如果繪在雙對數坐標上，真正的關系是一條曲線。當值很小時，其初始斜率；而當值很大時，其最終斜率。一般都使用二項式流動方程，又時稱為湍流方程。實際上它是第三章中的層流慣性湍流（）流動方程，通過進一步推導給出： （3-2）式中 由于層流和井筒影響造成的壓力平方降；由于慣性湍流影響造成的壓力平方降。方程（3-2）適用于所有的值。方程（3-1）僅是方程（3-2）在的有限范圍內的一種近似。在推導方程（3-2）時，對井和氣藏都假設為一種理想情況。在解釋試井結果時，了解這種假設的適應性和范圍是重要的。有時一些異常結果可以用與理想情況的偏差來解釋。因此把第三章中明確規(guī)定的那些假設概述如下：（1）整個氣藏都處于等溫條件下；（2）忽略了重力影響；（3）流動的流體是單相的；（4）介質是均質的和各向同性的，并且孔隙度是常數；（5）滲透率與壓力無關；（6）流體粘度和偏差系數是常數，偏差系數和壓力梯度都是很?。唬?）徑向柱面流動模型是適用的。2、壓力方法因為這個方法很少用來分析產能試井，由類似于壓力平方方法那樣的步驟，可以看出： （3-3）式中 由于層流和井的影響造成的壓力降；由于慣性湍流流動影響造成的壓力降。方程（3-3）的應用也由于列在壓力平方方法中的那些假設而受到限制。3、擬壓力方法上面提到的假設（6）可以引起嚴重的誤差，特別是在壓力梯度較大的致密氣藏中的氣體流動。第三章已經指出，如果不用壓力平方方法或壓力方法，而使用擬壓力方法，那么就不需要假設（6），并且得到的方程在整個壓力范圍內比方程(3-2)或方程(3-3)都更為嚴格。 （3-4）式中 對應于的擬壓力；對應于的擬壓力；由于層流和井的條件造成的擬壓力降；由于慣性湍流流動影響造成的擬壓力降。在氣藏溫度下對于一種特定氣體，作出一條與的關系曲線。然后利用這條曲線把換算到，并且反過來也一樣。這樣就可以使用來代替或作為工作變量。一旦作出了曲線，這個方法就變得象方法那樣容易。當反映常產量所造成的穩(wěn)定壓力時，它不再隨著生產時間增加，而固定為一個不變的穩(wěn)定值。與的關系曲線在直角坐標中將給出一條向上凹，通過原點的曲線。這條曲線的初始斜率為1，它對應于層流；而在產量很高時，斜率增加到2，這反映了湍流。因此，當外推很多時，將發(fā)現(xiàn)從這條曲線上與從簡化分析的直線上得到的值有較大的差別。為了得到一條與圖3-1相一致的曲線，舍棄直角坐標圖而采用方程（3-4）的雙對數曲線。如圖3-2所示，作出與的關系圖可以得到一條直線。選擇了這種特定的方法后，縱坐標就表示由于層流影響所造成的擬壓力降。這樣和簡化分析的概念就一致了。對于特定的值，求解二次方程（3-4），可以得到任一井底壓力下井的產能： （3-5）象簡化分析中和一樣，流動分析中和同樣取決于氣體和氣藏的性質，只是粘度和偏差系數除外。在到的換算中考慮了這兩個變量，因此將不會影響產能關系式中的常數和。由此可見，穩(wěn)定的產能方程(3-4)或者它的圖解表示法比方程（3-1），（3-2）或（3-3）更適用于氣藏的整個開采期。3.2 穩(wěn)定流常數的確定在井上進行產能試井，其中就是要確定穩(wěn)定流量的常數值。根據產能數據，由幾種方法適用于計算簡化分析的和以及流動分析的和。3.2.1 簡化分析與的雙對數坐標關系曲線在整個試井產量范圍內應是一條直線。這條穩(wěn)定產能直線的斜率是，根據這個斜率可以算出。然后按下式求得方程（3-1）中的系數： （3-6）3.2.2 流動分析1、圖解法這個方法利用了Willis制作的“通用曲線1-10”，這些通用曲線表示在圖3-3中。在討論通用曲線方法的使用之前，應清楚地了解它擬制的細節(jié)。當時，方程（3-4）可以寫為： （3-7）圖3-3是與的雙對數坐標曲線。這幅圖中的直線由下列方程表示： （3-8）和 （3-9）如果對于同樣的值，再劃上方程（3-8）和（3-9）的關系圖，得到的圖就是通用曲線。為了區(qū)別于數據圖，以后稱圖3-3為產能圖。為了確定和，在與圖3-3同樣大小的對數坐標中繪上實際數據。把這條穩(wěn)定的產能數據圖放到通用曲線上面，并且保持兩幅圖的坐標軸互相平行。當數據涂上的點與通用曲線擬合最佳時，就確定了它的位置。現(xiàn)在穩(wěn)定產能圖就是通用曲線的一條軌跡。產能圖上直線與方程（3-8）給出的直線相交，在產能圖上直接讀這個交點的就是值。方程（3-9）給出的直線與產能圖上直線相交，在產能圖上直接讀這個交點的就是值。如果要讀值的點不是與產能圖上直線的交點，則可以代之讀等于10或100，然后必須分別除以10或100，以給出正確的值。同樣，當等于10或100時，也可以讀得，然后必須分別除以或。這個方法的優(yōu)點是能夠迅速地分析產能數據，但是僅當得到的數據可靠時才能使用。上面的步驟可以應用于常規(guī)試井中取得的數據，用以給出一條穩(wěn)定的產能曲線。但是，對等時試井數據將給出一條不穩(wěn)定的產能曲線。為了得到穩(wěn)定的產能曲線，應該記住值與生產時間是無關的，并且對穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的產能關系式都必須是一樣的。因此，移動通用曲線，使它通過穩(wěn)定流點，并保持從不穩(wěn)定產能曲線得到的值不變。圖3-3中通用曲線也可以用于方法。使用方法和上面敘述的一樣，只是現(xiàn)在擬合的是方程（3-2），而不是方程（3-4）。3.3 涉及到穩(wěn)定流動的試井在上