1.3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存有量詞一、選擇題1已知命題p：函數(shù)f(x)xlogx在區(qū)間內(nèi)存有零點(diǎn)，命題q：存有負(fù)數(shù)x使得x>x.給出下列四個(gè)命題：p或q；p且q；p的否定；q的否定其中真命題的個(gè)數(shù)是( )A1 B2 C3 D4解析 命題p為假命題，命題q也為假命題利用真值表判斷答案 B2.已知命題p：存有nN,2n>1 000，則非p為( )A任意nN,2n1 000 B任意nN,2n>1 000C存有nN,2n1 000 D存有nN,2n<1 000解析：特稱命題的否定是全稱命題，即p：存有xM，p(x)，則非p：任意xM，非p(x)答案：A3 ax22x10至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是( )A0a1 Ba1Ca1 D0a1或a0解析 (篩選法)當(dāng)a0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，能夠排除A、D；當(dāng)a1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，能夠排除B，故選C.答案 C4已知p：x22x30，q：xZ.若p且q，非q同時(shí)為假命題，則滿足條件的x的集合為( )Ax|x1或x3，xZBx|1x3，xZCx|x1或x>3，xZDx|1x3，xZ解析 p：x3或x1，q：xZ，則由p且q，非q同時(shí)為假命題知，p假q真，所以x滿足1<x<3且xZ，故滿足條件的集合為x|1<x<3，xZ答案 D5已知下列命題：命題“存有xR，x21>3x”的否定是“任意xR，x21<3x”；已知p、q為兩個(gè)命題，若“p或q”為假命題，則“非p且非q為真命題”；“a>2”是“a>5”的充分不必要條件；“若xy0，則x0且y0”的逆否命題為真命題其中所有真命題的序號是( )A BC D解析：命題“存有xR，x21>3x”的否定是“任意xR，x213x”，故錯(cuò)；“p或q”為假命題說明p和q都假，則非p且非q為真命題，故對；a>5a>2，但a>2 a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故錯(cuò)； “若xy0，則x0且y0”為假命題，故其逆否命題也為假命題，故錯(cuò)答案：C6下列命題錯(cuò)誤的是( )A命題“若m0，則方程x2xm0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程x2xm0無實(shí)數(shù)根，則m0”B“x1”是“x23x20”的充分不必要條件C若p且q為假命題，則p，q均為假命題D對于命題p：存有xR，使得x2x10，則非p：任意xR，均有x2x10解析 依次判斷各選項(xiàng)，易知只有C是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛眠壿嬄?lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)的兩個(gè)命題中，只要一個(gè)為假整個(gè)命題為假答案 C7已知p：存有xR，mx220.q：任意xR，x22mx10，若p或q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A1，) B(，1C(，2 D1,1解析 (直接法)p或q為假命題，p和q都是假命題由p：存有xR，mx220為假，得任意xR，mx220，m0.由q：任意xR，x22mx10為假，得存有xR，x22mx10，(2m)240m21m1或m1.由和得m1.答案 A【點(diǎn)評】 本題采用直接法，就是通過題設(shè)條件解出所求的結(jié)果，多數(shù)選擇題和填空題都要用該方法，是解題中最常用的一種方法.二、填空題8用含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題表示命題“xy0”的否定是_解析 方法1：記命題p1：x0，p2：y0，則命題xy0即命題p1p2，其否定是(非p1)且(非p2)，非p1：x0，非p2：y0，故命題xy0的否定是“x0且y0”方法2：xy0的否定即xy0，即“x0且y0”答案 x0且y09已知命題p：f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)；命題q：不等式(x1)2>m的解集為R.若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析 由f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，得12m>0，即m<，由不等式(x1)2>m的解集為R，得m<0.要保證命題“pq”為真，命題“p且q”為假，則需要兩個(gè)命題中只有一個(gè)正確，而另一個(gè)不正確，故0m<.答案 0m<10令p(x)：ax22xa0，若對任意xR，p(x)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析對任意xR，p(x)是真命題對任意xR，ax22xa0恒成立，當(dāng)a0時(shí)，不等式為2x0不恒成立，當(dāng)a0時(shí)，若不等式恒成立，則a1.答案a111命題“對任意x>1，x2>1”的否定是_解析：這是一個(gè)全稱命題，其否定是“存在x0>1，使得x1”答案：存在x0>1，使得x112已知命題“任意xR，x25xa0”的否定為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由“任意xR，x25xa0”的否定為假命題，可知命題“任意xR，x25xa0”必為真命題，即不等式x25xa0對任意實(shí)數(shù)x恒成立設(shè)f(x)x25xa，則其圖像恒在x軸的上方故254a0，解得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案三、解答題13設(shè)命題p：函數(shù)f(x)x3ax1在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)yln(x2ax1)的值域是R.如果命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍解析 p為真命題f(x)3x2a0在1,1上恒成立a3x2在1,1上恒成立a3.q為真命題a240恒成立a2或a2.由題意p和q有且只有一個(gè)是真命題p真q假a；p假q真a2或2a<3.綜上所述：a(，22,3)14寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1)存在一個(gè)三角形是正三角形；(2)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0使x2x030成立；(3)正數(shù)的對數(shù)不全是正數(shù)解析 (1)任意的三角形都不是正三角形，假命題；(2)對任意實(shí)數(shù)x都有x22x30，假命題；(3)正數(shù)的對數(shù)都是正數(shù)，假命題15已知命題p：方程x2mx10有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，命題q：方程4x24(m2)x10無實(shí)根若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析 由已知得：p，q中有且僅有一個(gè)為真，一個(gè)為假命題p為真命題q為真<01<m<3.(1)若p假q真，則1<m2；(2)若p真q假，則m3.綜上所述：m(1,23，)16已知c0，設(shè)命題p：函數(shù)ycx為減函數(shù)命題q：當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)x恒成立如果p或q為真命題，p且q為假命題求c的取值范圍解析由命題p知：0c1.由命題q知：2x要使此式恒成立，則2，即c.又由p或q為真，p且q為假知，p、q必有一真一假，當(dāng)p為真，q為假時(shí)，c的取值范圍為0c.當(dāng)p為假，q為真時(shí)，c1.綜上，c的取值范圍為.