2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)乙卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)2（z+）+3(z-)=4+6i，則z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=s|s=2n+1,nZ，T=t|t=4n+1,nZ，則ST=( )A.B.S C.T D.Z3.已知命題p：xR，sinx1；命題q：xR，1，則下列命題中為真命題的是（ ）A.pqB.pqC.pqD.(pVq)4.設(shè)函數(shù)f(x)=，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（ ）A.B.C.D.6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A.60種B.120種C.240種D.480種7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-)的圖像，則f(x)=（ ）A.sin()B. sin()C. sin()D. sin()8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）A.B.C.D.9.魏晉時期劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（ ）.A：B：C：D：10.設(shè)a0，若x=a為函數(shù)的極大值點，則（ ）.A：abB：abC：aba2D：aba211.設(shè)B是橢圓C：（ab0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足，則C的離心率的取值范圍是（ ）.A：B：C：D：12.設(shè)，則（ ）.A：abcB：bcaC：bacD：cab二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知雙曲線C：（m>0）的一條漸近線為+my=0，則C的焦距為.14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-b）b，則=。15.記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，B=60°，a2+c2=3ac，則b=.16.以圖為正視圖和俯視圖，在圖中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s12和s22（1） 求， s12，s22；（2） 判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果-，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.18.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PBAM，（1） 求BC；（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。19.（12分）記Sn為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列Sn的前n項和，已知=2.（1） 證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（2） 求an的通項公式.20.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點。（1） 求a；（2） 設(shè)函數(shù)g（x）=，證明：g（x）1.21.（12 分）己知拋物線C：x2=2py（p0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求PAB的最大值.（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，C的圓心為C（2，1），半徑為1.（1）寫出C的一個參數(shù)方程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）過點F（4,1）作C的兩條切線, 以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程.23.選修4一5：不等式選講（10分）已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a,求a的取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)乙卷（參考答案）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回1-5 CCABD 6-10 CBBAD11-12 CB13.414.15.216.或17.解：（1）各項所求值如下所示=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3=x (9.7-10.0)2+ 2 x (9.8-10.0)2+ (9.9-10.0)2+ 2 X (10.0-10.0)2+ (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2 = 0.36,= x (10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2 = 0.4.(2)由(1)中數(shù)據(jù)得-=0.3,20.34顯然-2，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。18.解：（1）因為PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC，所以以,分別為x，y，z軸正方向，D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0），因為PBAM，所以=-+1=0，所以t=，所以BC=。（2）設(shè)平面APM的一個法向量為m=（x，y，z），由于=（-，0，1），則令x=，得m=（，1，2）。設(shè)平面PMB的一個法向量為n=（xt，yt，zt），則令=1，得n=(0,1,1).所以cos（m，n）=,所以二面角A-PM-B的正弦值為.19.（1）由已知+=2,則=Sn(n2)+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n2),b1=故bn是以為首項，為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）知bn=+（n-1）=,則+=2Sn=n=1時，a1=S1=n2時，an=Sn-Sn-1=-=故an=20.（1）xf(x)=xf(x)+xf(x)當(dāng)x=0時，xf(x)=f(0)=lna=0,所以a=1（2）由f(x)=ln(1-x),得x1當(dāng)0x1時，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0；當(dāng)x0時，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0故即證x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)0令1-x=t(t0且t1)，x=1-t,即證1-t+lnt-(1-t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,則f(t)=-1-(-1)lnt+=-1+lnt-=lnt所以f(t)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+）上單調(diào)遞增，故f(t)f（1）=0,得證。21.解：（1）焦點到的最短距離為，所以p=2.（2）拋物線，設(shè)A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，則,且.,都過點P(x0,y0）,則故，即.聯(lián)立，得，.所以= ，所以=.而.故當(dāng)y0=-5時，達到最大，最大值為.22.(1)因為C的圓心為(2,1)，半徑為1.故C的參數(shù)方程為（為參數(shù)). (2)設(shè)切線y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故 =1即|2k|=,4=，解得k=±.故直線方程為y= (x-4)+1, y= (x-4)+1故兩條切線的極坐標(biāo)方程為sin=cos-+1或sin=cos+ +1.23.解：(l)a = 1時，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3| 6 的解集.當(dāng)x1時，2x十2 6,得x 2;當(dāng)-3<x<1時,46此時沒有x滿足條件；當(dāng)x-3時-2x-26.得x-4，綜上，解集為(-,-4U2, -).(2) f(x)最小值>-a,而由絕對值的幾何意義，即求x到a和-3距離的最小值.當(dāng)x在a和-3之間時最小，此時f(x)最小值為|a+3|,即|a+3|-a.A-3時,2a+3>0，得a>-；a<-3 時,-a-3>-a,此時a不存在.綜上，a>-.