2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)真題
1.設(shè)集合M=x|0x4,N=x|x5,則MN=A. x|0xB. x|x4C. x|4x5D. x|0x52.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間3.已知,則z=A.-1-iB. -1+iC. -+iD. -i4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量,通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV。已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)約為(1.259)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.65.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且F1PF2=60,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為A.B.C.D.6.在一個(gè)正方體中,過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,所得多面體的三視圖中,正試圖如右圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是A. B. C. D. 7.等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)甲:q>0,乙:Sn是遞増數(shù)列,則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8.2020年12月8日,中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.右圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有以A,B, C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平而上的投影A,B,C滿足.由c點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15,曲,與的差為100 :由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45,則A,C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為A.346 B.373 C. 446 D.4739.若,,則A. B. C. D.10.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為A. B. C. D.11.已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且ACBC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),.若,則A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為_(kāi)。14.已知向量a=(3,1),b=(1,0),若ac,則k=_。15.已知F1,F(xiàn)2為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)堆成的兩點(diǎn),且,則四邊形PF1QF2的面積為_(kāi)。16.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,則滿足條件的最小正整數(shù)x為_(kāi)。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12 分)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異? 附:18.(12 分)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為an的前n項(xiàng)和,從下面中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立. 數(shù)列an是等差數(shù)列:數(shù)列是等差數(shù)列;a2=3a1注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中,側(cè)面AA1B1B為正方形, AB= BC = 2, E, F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF丄A1B1.(1) 證明:BFDE; 當(dāng)為B1D何值時(shí),面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?0.(12分)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線L:x = 1交C于P,Q兩點(diǎn), 且OP丄OQ.已知點(diǎn)M(2,0),且M與L相切,(1) 求C , M的方程;(2) 設(shè)A1,A2,A3,是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1 A2, A1 A3均與M相切,判斷A2A3與M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.21.(12 分)己知a0且a1,函數(shù)f(x)=(x0),(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y= f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.(二)選考題:共10分,請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos.(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P滿足 = ,寫(xiě)出 P的軌跡C1的參數(shù)方程,并判斷C與C1是否有公共點(diǎn).23.選修4一5:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.(1)畫(huà)出f(x)和y=g(x)的圖像;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范圍.