《《無(wú)窮級(jí)數(shù)》練習(xí)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《無(wú)窮級(jí)數(shù)》練習(xí)題（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 《無(wú)窮級(jí)數(shù)》練習(xí)題 1. 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 2. 對(duì)級(jí)數(shù)，若，證明：時(shí)級(jí)數(shù)收斂， 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。 3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明：（1）收斂；（2）收斂。 4. 設(shè)n充分大時(shí)，，且收斂，證明：收斂。 5. 設(shè)，討論級(jí)數(shù)…的斂散性。 6. 下列級(jí)數(shù)是否收斂？如收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ （1）； （2）。 7. 對(duì)常數(shù)，討論級(jí)數(shù)何時(shí)絕對(duì)收斂？何時(shí)條件收斂？何時(shí)發(fā)散？ 8. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，討論的斂散性。 9. 設(shè)，（1）求的值；

2、（2）討論的斂散性。 10. 設(shè)冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，求的收斂區(qū)間。 11. 求級(jí)數(shù)的收斂域 精選文檔 （1）； （2）； （3）。 12. 求下列級(jí)數(shù)的和： （1）； （2）； （3）； （4）。 13. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)： （1） （2） （3） 14. 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求導(dǎo)數(shù)： （1） （2） 15. 求下列函數(shù)關(guān)于x 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并指出收斂域： （1）； （2）。 16. 把展開(kāi)為 的冪級(jí)數(shù)。 答案：1：收斂；收斂；收斂；；收斂；發(fā)散 2，3，4：略。

3、 5：。 6：條件收斂；條件收斂。 7：條件收斂，發(fā)散。 8：收斂。 9：1，收斂。 10： 11：時(shí)時(shí)，。 12：。 13： ， 精選文檔 14：， 15（2） 16：，。 《無(wú)窮級(jí)數(shù)》部分例題解答 例1. 設(shè)數(shù)列滿足，若級(jí)數(shù)都收斂，證明：也收斂。 證：由知：； 再由都收斂，得收斂。根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法得 收斂。所以 收斂。 例2. 設(shè)……），…，討論級(jí)數(shù)的斂散性。 解：級(jí)數(shù)收斂，證明如下： 因?yàn)椤?，所?…… 由于 ，所以 從而

4、級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和 … +… = 精選文檔 即正項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和有界。所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。 例3 （1）討論級(jí)數(shù)的斂散性。 （2）證明：數(shù)列 ……收斂； （3）求……。 解： （1） 根據(jù)常用不等式 可知：，所以 級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于 故由比較判別法，得級(jí)數(shù)與同收斂。 （2） 由于收斂，故前n項(xiàng)的和有極限，即 …… 有極限，上式可變形為 …… …… ……， 所以數(shù)列 ……收斂； （3）…… 精選文檔 例4 設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，極限存在，求r的值

5、，并舉出滿足這些條件的例子。 解：r = 1，證明如下： 若，則，它說(shuō)明級(jí)數(shù)收斂，與條件收斂矛盾。 若，則，它說(shuō)明級(jí)數(shù)發(fā)散，與條件收斂矛盾。 若，則n充分大時(shí)，它說(shuō)明同號(hào)（同為正，或者同為負(fù)），級(jí)數(shù)收斂時(shí)就是絕對(duì)收斂，矛盾。 綜上所述，r = 1。 滿足這些條件的例子為： 例5 設(shè)k為常數(shù)，討論級(jí)數(shù)的斂散性，并在收斂時(shí)說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂。（PPT上題目與這里有出入，以這里為準(zhǔn)） 解： 此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； 精選文檔 考慮 因?yàn)椋? 故由收斂得：收斂，級(jí)數(shù)收斂；且是絕對(duì)收斂。

6、 故由發(fā)散得：發(fā)散，此時(shí)級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂； 由于顯然滿足： 根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼滋判別法知：級(jí)數(shù)收斂；且是條件收斂。 級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和 …… =…… …… 即正項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和有界，故收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂，且絕對(duì)收斂。 精選文檔 注：級(jí)數(shù)的收斂性也可用“積分判別法”證明。 級(jí)數(shù)與反常積分同斂散，而 收斂。 （注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝!） 精選文檔