一 基本內(nèi)容 二 小結(jié) 三 思考題 第二十四節(jié)分部積分法 問題 解決思路 利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則 分部積分 integrationbyparts 公式 一 基本內(nèi)容 1 v容易求得 容易計(jì)算 例1求積分 解 一 令 顯然 選擇不當(dāng) 積分更難進(jìn)行 解 二 令 例2求積分 解 再次使用分部積分法 總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正 余 弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積 就考慮設(shè)冪函數(shù)為 使其降冪一次 假定冪指數(shù)是正整數(shù) 例3求積分 解 令 例4求積分 解 總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積 就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 練習(xí)求 解 解題技巧 把被積函數(shù)視為兩類函數(shù)之積 按 反對冪指三 的 順序 前者為后者為 例5 求 解 令 則 原式 反 反三角函數(shù)對 對數(shù)函數(shù)冪 冪函數(shù)指 指數(shù)函數(shù)三 三角函數(shù) 練習(xí) 求 解 令 則 原式 練習(xí)求 解 例6求積分 解 例7求積分 解 注意循環(huán)形式 例8求積分 解 令 解 練習(xí)求 令 則 解 循環(huán) 提示 對含自然數(shù)n的積分 通過分部積分建立遞推公式 解 當(dāng)n 1時(shí) 用分部積分法 有 例10 即 回歸 解 兩邊同時(shí)對求導(dǎo) 得 二 不定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 例1已知某企業(yè)的某種產(chǎn)品在產(chǎn)量為q 單位 千件 時(shí)的邊際成本函數(shù)為 且固定成本為90萬元 求總成本函數(shù) 解 總成本函數(shù)一般形式 總成本等于可變成本與固定成本之和 當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí) 可變成本為零 此時(shí)總成本為固定成本90 即C 0 90 代入總成本函數(shù)的一般形式 有 所以 C 80 總成本函數(shù)的表達(dá)式為 21 例2已知某集團(tuán)公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的邊際收入是64q q2 單位 萬元 百臺 其中q是售出的產(chǎn)品數(shù)量 單位 百臺 求其收入函數(shù) 解 收入函數(shù)一般形式 銷售量為0時(shí) 收入為0 即R 0 0 代入收入函數(shù)的一般形式 有 得 C 0 收入函數(shù)的表達(dá)式為 例3設(shè)某商品的需求量Q是價(jià)格p的函數(shù) 該商品的最大需求是1000 即當(dāng)p 0時(shí) Q 1000 已知需求量的變化率 邊際需求 為 求需求量Q與價(jià)格p的函數(shù)關(guān)系 解 已知需求量的變化率 求需求量函數(shù) 即求不定積分 有 23 由已知條件 p 0 Q 1000 代入上式得C 0 得到需求對價(jià)格的函數(shù) 合理選擇 正確使用分部積分公式 三 小結(jié) 思考題 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí) 應(yīng)注意什么 思考題解答 注意前后幾次所選的應(yīng)為同類型函數(shù) 例 第一次時(shí)若選 第二次時(shí)仍應(yīng)選 練習(xí)題 練習(xí)題答案 36 課后練習(xí)