4.3 分部積分法分部積分公式 設(shè)函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 那么, (uv)uvuv, 移項(xiàng)得 uv(uv)uv. 對這個等式兩邊求不定積分, 得 分部積分過程 這兩個公式稱為分部積分公式. vdxuuvdxvu,或vduuvudv, vdxuuvvduuvudvdxvu vdxuuvvduuvudvdxvu vdxuuvvduuvudvdxvu vdxuuvvduuvudvdxvu. 1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計(jì)算 .:)d(的原則或及選取vvu 例1 x sin xcos xC . 例2 例3 x2ex2xex2exCex(x22x2 )C. vdxuuvvduuvudvdxvu. 分部積分過程： 例 1 xdxxxxxdxdxxsinsinsincosxdxxxxxdxdxxsinsinsincosxdxxxxxdxdxxsinsinsincosxdxxxxxdxdxxsinsinsincos 例 2 CexedxexexdedxxexxxxxxCexedxexexdedxxexxxxxxCexedxexexdedxxexxxxxxCexedxexexdedxxexxxxxxCexedxexexdedxxexxxxxx. 例 3 2222dxeexdexdxexxxxxxxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx2222222dxeexdexdxexxxxx2222dxeexdexdxexxxxx2222dxeexdexdxexxxxx xxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222xxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222 例4 例5 vdxuuvvduuvudvdxvu. 分部積分過程： 例 4 dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222Cxxxxdxxx22241ln2121ln21dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222Cxxxxdxxx22241ln2121ln21. 例 5 xxdxxxdxarccosarccosarccosdxxxxx211arccos )1 ()1 (21arccos2212xdxxx Cxxx21arccos. xxdxxxdxarccosarccosarccosxxdxxxdxarccosarccosarccos 例6 vdxuuvvduuvudvdxvu. 分部積分過程： 例 6 2arctan21arctanxdxxdxxdxxxxx2221121arctan21dxxxx)111 (21arctan2122Cxxxxarctan2121arctan212. 2arctan21arctanxdxxdxx dxxxxx2221121arctan21 dxxxx)111 (21arctan2122 解 因?yàn)?例7 例 7 求xdxexsin. xdexexdexdxexxxxsinsinsinsinxxxxxdexexdxexecossincossinxdexexexxxcoscossin xdexexexxxcoscossin xdxexexexxxsincossin, 所以 Cxxexdxexx)cos(sin21sin. xdexexdexdxexxxxsinsinsinsinxdexexdexdxexxxxsinsinsinsin xxxxxdexexdxexecossincossin vdxuuvvduuvudvdxvu. 分部積分過程： vdxuuvvduuvudvdxvu. 分部積分過程： 解 因?yàn)?例8 例 8 求xdx3sec. xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xdxxxx2tansectansec dxxxxx) 1(secsectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3 xdxxxxx3sec|tansec|lntansec, 所以 xdx3secCxxxx|)tansec|lntan(sec21. xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23 于是 ) 32()() 1(2111222nnnInaxxnaI. 解 當(dāng)n1時,用分部積分法, 有 例9 例 9 求nnaxdxI)(22, 其中 n 為正整數(shù).dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn)()(1) 1( 2)(222122122解 CaxaaxdxIarctan1221 )(1(2)(211221nnnnIaInaxxI,即dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122dxaxxnaxxaxdxnnn)() 1( 2)()(222122122 dxaxaaxnaxxnnn)()(1) 1( 2)(222122122, 解法一 于是 解法二 例10 例 10 求dxex. 令xt2, 則dx2tdt.dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22xdexxdedxexxx2)(2xdeexdexxxx222CxeCeexxxx) 1(222dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22. xdexxdedxexxx2)(2xdexxdedxexxx2)(2 xdeexdexxxx222 CxeCeexxxx) 1(222. 注： 在后者中u(x)不是以v(x)為中間變量的復(fù)合函數(shù), 故用分部積分法. 在前者中f(x)是以(x)為中間變量的復(fù)合函數(shù), 故用換元積分法. 第一步都是湊微分第一換積分元法與分部積分法的比較 )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令 )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令, )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu. 第一步都是湊微分第一換積分元法與分部積分法的比較 )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令 )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令, )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu. 2222 duedxedxxeuxx 2222 dxeexdexdxexxxxx提問： 下列積分已經(jīng)過湊微分, 下一步該用什么方法？ 2222 duedxedxxeuxx 2222 dxeexdexdxexxxxx 2222 duedxedxxeuxx, 2222 dxeexdexdxexxxxx. 提示：可用分部積分法的積分小結(jié) (1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積: (2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的積: (3)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積:xdxxcos,dxxex,dxexx2 xdxxln, xdxarccos, xdxxarctan xdxexsin, xdx3sec. 解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 ,按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的順序, 前者為 后者為u.v內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式xvuvuxvudd1. 使用原則 :xvuvd易求出,易積分2. 使用經(jīng)驗(yàn) : “反對冪指三反對冪指三” , 前 u 后v3. 題目類型 :分部化簡 ;循環(huán)解出;遞推公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下述運(yùn)算錯在哪里? 應(yīng)如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsincosxxxxxx得 0 = 1答答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 .xxsinsindCx sinln2. 已知 xfxxcosCxxxCxxxxdxdxcos2sincoscos dxxfxxfxfxxxxfdd xxxfd的一個原函數(shù)是 ，求解解: