18．1 勾股定理（一） 一、教學目標 1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。 2．培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結規(guī)律的意識和能力。 3．介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學生的愛國熱情，促其勤奮學習。 二、重點、難點 1．重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。 2．難點：勾股定理的證明。 三、例題的意圖分析 例1（補充）通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學生的思維，鍛煉學生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國情懷。 例2使學生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進一步讓學生確信勾股定理的正確性。 四、課堂引入 目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。 讓學生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長。 以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。”這句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3，長的直角邊（股）的長是4，那么斜邊（弦）的長是5。 再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長。 你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關系，52+122和132的關系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？ 五、例習題分析 例1（補充）已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。 求證：a2＋b2=c2。 分析：⑴讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。 ⑵拼成如圖所示，其等量關系為：4S△+S小正=S大正 4ab＋（b－a）2=c2，化簡可證。 ⑶發(fā)揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。 ⑷ 勾股定理的證明方法，達300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國情懷。 例2已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。 求證：a2＋b2=c2。 分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。 左邊S=4ab＋c2 右邊S=（a+b）2 左邊和右邊面積相等，即 4ab＋c2=（a+b）2 化簡可證。 六、課堂練習 1．勾股定理的具體內(nèi)容是： 。 2．如圖，直角△ABC的主要性質(zhì)是：∠C=90，（用幾何語言表示） ⑴兩銳角之間的關系： ； ⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線 ； ⑶若∠B=30，則∠B的對邊和斜邊： ； ⑷三邊之間的關系： 。 3．△ABC的三邊a、b、c，若滿足b2= a2＋c2，則 =90； 若滿足b2＞c2＋a2，則∠B是 角； 若滿足b2＜c2＋a2，則∠B是 角。 4．根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。 七、課后練習 1．已知在Rt△ABC中，∠B=90，a、b、c是△ABC的三邊，則 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a） ⑶b= 。（已知a、c，求b） 2．如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a、b、c，有a＜b＜c，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當a=19時，b，c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。 3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 …… …… 19，b、c 192+b2=c2 3．在△ABC中，∠BAC=120，AB=AC=cm，一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，問當P點移動多少秒時，PA與腰垂直。 4．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上。 求證：⑴AD2－AB2=BDCD ⑵若D在CB上，結論如何，試證明你的結論。 課后反思： 八、參考答案 課堂練習 1．略； 2．⑴∠A+∠B=90；⑵CD=AB；⑶AC=AB；⑷AC2+BC2=AB2。 3．∠B，鈍角，銳角； 4．提示：因為S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因為S梯形ACDG=（a+b）2， S△BCE= S△EDA= ab，S△ABE=c2, （a+b）2=2 ab＋c2。 課后練習 1．⑴c=；⑵a=；⑶b= 2． ；則b=，c=；當a=19時，b=180，c=181。 3．5秒或10秒。 4．提示：過A作AE⊥BC于E。 新課標第一網(wǎng)