掌握兩直線平行與垂直的條件、點(diǎn)到直線的距離公式、中心對稱和軸對稱的概念，能根據(jù)直線的方程判斷兩直線的位置關(guān)系，會求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和兩平行直線間的距離，能把握對稱的實(shí)質(zhì)，并能應(yīng)用對稱性解題1212121201()11.2122.2allA AB Bakak 由，若兩直解方法 ：方法 ：析：求得線垂直且斜率存在，則，即，得1221020 12A1 B. C. D. 2331.laxylxya 如果直線 ：與直線 ：互相垂直，那么 的值等于-1,0220 A210 B210C 220 D2102.(2010)xyxyxyxyxy 過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是安徽卷11,02112210.xyyx過點(diǎn)且斜率為 的直線方程即為，解析： 22lgsinlgsinlgsinsinsinsinsin A3.(2010)BCDABCABCabcABCxAyAaxByCc不等邊的三個(gè)浙江臺內(nèi)角， ， 所對的邊分別為 ， ， ，且，成等差數(shù)列，則直線與直線的位置關(guān)系是平行 垂直重合 相州模擬交但不垂直22lgsinlgsinlgsinsinsinsinC22.ABCBACsin Asin AsinAasin BsinA sinCsinCc因?yàn)?，成等差?shù)列，所以由正弦定理可知，故兩直線位置關(guān)系是重合解 ，析：故選120.(1,1)210323200.xxyAxyyAyxx 由已知及對稱幾何性質(zhì)可設(shè)所求直線的方程為又由得點(diǎn)又點(diǎn) 在直線上，從而，故對稱的直線方程為解析： 2101 .4.xyx 直線關(guān)于直線對稱的直線方程是002200()0() . .5xyaxbyabxayb 已知點(diǎn)，在直線， 為常數(shù)上，則的最小值為220000002222222200.()()()0()0 xaybxyabxyaxbyxaybabaabaxbybab 可看作點(diǎn)，與點(diǎn) ， 的距離，而點(diǎn)，在直線上，所以的最小值為點(diǎn) ，到直線的距離，為解析： 1111112222221212211212211212122112121200.1/_0(0)2_.30.14lyk xbA xB yClyk xbA xB yCllbbA CACBCB CllllABA Bllkkbb平面內(nèi)的兩條直線的位置若直線 ：或；直線 ：或且或且或或與 相交與 重合且關(guān)系12211221122100(0)ABA BACA CBCB C或且或 000000112212()010.20.3_.00_ .2_P xylAxByCAxByCAxByCdlAxByClAxByClld設(shè)點(diǎn)，直線 ：，則點(diǎn)在直線上：點(diǎn)在直線外：點(diǎn)到直線的距離特別地，若 ：，：，則 與 間的距點(diǎn)與直線的位置關(guān)系離 000,000000001()()2200()()2()3(P xyM abPMPPPaxbyabP xyPxyP xylykxbP xyPPlPPl 中心對稱：求，關(guān)于點(diǎn)，對稱的點(diǎn) 的基本方法是轉(zhuǎn)化為是線段的中點(diǎn)求，即特例：當(dāng)，時(shí)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，軸對稱：求已知點(diǎn)，關(guān)于已知直線 ：的對稱點(diǎn)， 的基本方法是轉(zhuǎn)化為求方程組的解，即由線段的中心對稱與軸對中點(diǎn)p稱 . 12567010( ) ()()()( ) ()_.() ()()()() ()kbP xyxyP xyPxyP xyyxyxP xyyxbyxbP ybxbPybxbP xyxaybP 特例：當(dāng)， 或時(shí)，分別有以下規(guī)律：，關(guān)于 軸、 軸對稱的點(diǎn)分別為， ，關(guān)于直線，對稱的點(diǎn)分別為，關(guān)于直線，對稱的點(diǎn)分別為，關(guān)于直線，對稱的點(diǎn)分別為8(2),21,0axyP xbyk ， ，注意：當(dāng)時(shí)，不具有上述規(guī)律 1(24)0CF xyfCCCfCCC曲線 ：，經(jīng)過上述規(guī)律進(jìn)行變換 ，得曲線 ，則為 關(guān)于 對稱的曲線若 的方程與 的方程相同，則證明曲線自身具有對稱變換對稱性()0()0()0()0()0()0()0()0()(2)0CF xyxyCF xyFxyFxyyxyxyxbyxbCF yxFyxF ybxbFybxbxaybM abCFaxyF 特例：曲線 ：，關(guān)于 軸、 軸、原點(diǎn)對稱的曲線的方程分別為，；關(guān)于直線，對稱的曲線的方程分別是，；關(guān)于直線，點(diǎn)，對稱的曲線的方程分別為，,202,20.xbyFaxby，1212211212120120003401|00|022|12222()()kkABA Bk kAxByCA AB BAByyCCkxxAByyxxkbP yxPyx ；【要點(diǎn)指南、，】， 121211240101( 31)2/1.laxbylaxybablllll已知兩條直線 ：和 ：，求滿足下列條件的 、 的值，且 過點(diǎn)， ；，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線例的距離相等題型一題型一 兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系 22212111221221121211.0101.0.( 31)3403410()0.110111.(lkakaalllkblabbakkkkakakllbakkabl 由已知可得 的斜率必存在，所以若，則，因?yàn)椋本€ 的斜率 必不存在，即又因?yàn)?過點(diǎn)， ，所以，即不合題意 ，所以此種情況不存在，即若，即 、 都存在因?yàn)?，所以，即又因?yàn)榻猓哼^點(diǎn)析31)340.22.baab， ，所以由解得，聯(lián)立， 2121121212/1/22432222222.3lllalkkabllllyaabbbbab 因?yàn)?的斜率存在，所以直線的斜率存在，所以，即又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且，所以 、 在 軸上的截距互為相反數(shù)，即，則聯(lián)立解得或，所以 、解析：和或分別為和的值 0 ykxbAxByCAB在運(yùn)用直線的斜截式時(shí)，要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊情況運(yùn)用直線的一般式時(shí)，要特別注意 、 為零時(shí)的特殊情況另外求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩直線平行或垂直的充要條件；若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法評析：去研究 1212121802101/l211.lmxynlxmymnlllly 已知兩直線 ：和：，試確定 、 的值，使：；且 在 軸上的截距為素材 ： 11122218 2044242/ .081.4481022280101882.mm mmmmn mnnmmmllnnnmnllmnllly 解析： 即，時(shí)，或，時(shí)，由，得由，得或，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，又即，時(shí)，且 在 軸上以的截距為，所， 22.122PPlPl已知點(diǎn)，-1求過點(diǎn) 且與原點(diǎn)距離為的直線 的方程；求過點(diǎn) 且與原點(diǎn)距離最大的直線 的方程，最大例距離是多少？題型二題型二 有關(guān)距離問題有關(guān)距離問題設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出系分析： 數(shù)即可 2.12210| 21|324123412003.11400.lklxlklyk xkxykkkkyl xyxlx 當(dāng) 的斜率 不存在時(shí)顯然成立，此時(shí) 的方程為當(dāng) 的斜率 存在時(shí)，設(shè) ：，即，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得，所以 ：故所求 的方程解析： 為或 112.122250250| 5|.525lOPlOPPOPPOlOPk kkklyxxyxyPO 數(shù)形結(jié)合可得，過點(diǎn) 且與原點(diǎn)距離最大的直線是過點(diǎn) 且與垂直的直線由，得，所以由直線方程的點(diǎn)斜式得直線 的方程為，即，即直線是過點(diǎn) 且與原點(diǎn) 距離最大的直線，最大距離為解析： 000000000000 1.21()2()3()4().P xyxdyP xyydxP xyxyadyaP xyyxbdxb點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行直線間的距離公式是常用的公式，應(yīng)熟練掌握點(diǎn)到幾種特殊直線的距離：點(diǎn)，到 軸的距離；點(diǎn)，到 軸的距離；點(diǎn)，到與 軸平行的直線的距離；點(diǎn)，到與 軸平行的直線的離：距評析302.032xyPxy在直線上求一點(diǎn) ，使它到原素點(diǎn)的距離與到直線材的距離相等222( 3)| 332|313 1()()555 5135132PtttttttP 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為， ，則，解析： ，或解得，所以點(diǎn) 的為，坐標(biāo) 123 240203.3450lxylxyPlxyl求經(jīng)過兩直線 ：和：的交點(diǎn) ，且與直線：垂直的直線例的方程題型三題型三 兩直線的交點(diǎn)問題兩直線的交點(diǎn)問題 l求 的方程：思路一：求交點(diǎn)，定斜率，用點(diǎn)斜式求解思路二：利用直線系方分析：程求解3123240020240,234232420(1)(2)420.3(1)4 (2)01 4360. 121lxxyxxyyPllklyxllllxyl xyl xlylllllly 由方程組，解得，即因?yàn)?，所以，所以直線 的方程為，因?yàn)橹本€ 過直線 和 的交點(diǎn)，所以可設(shè)直線 的方方法 ：方法 ：解析：即程為，即因?yàn)?與 垂直，所以，所以，1291460.830lxxyy所以直線為即的方程， 111122221211122221200 0()lA xB yClA xB yCllA xB yCl A xB yCll求與已知兩直線的交點(diǎn)有關(guān)的問題，可有以下兩種解法：先求出兩直線的交點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線，然后再依其他條件求解運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線 ：， ：有交點(diǎn)，則過 與 交點(diǎn)的直線系方程為為待定常數(shù)，不包括直線，設(shè)出方程后再利用其他評析：條件求解3.l本例中，若把條件中的“垂直”改為“平行”，素材求直線 的方程330,23/43242420(1)(2)420.123480.3422/.34574280.1lPl lklyxlxyl xyl xlyll llxyxy 先求出交點(diǎn)為，又，所以，故直線 的方程為，設(shè)直線 的方程為，即因?yàn)?，所以，解得所解析：即方?：方法 ：程為以 的方12 2402.04lxylxyl求直線 ：關(guān)于直線：例對稱的直線 的方程題型四題型四 對稱問題對稱問題12402012 8()3 3 xyxyllA解方程組，得直線 與直線 的交點(diǎn)，法： 方解析：1222,0()2202222,44 122 8()2,43 342824623320.lBBlC xyxyxCyyxlACyxlxy 在直線 上取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 關(guān)于直線 對稱的點(diǎn)為， ，則，解得，即又直線 過， 和兩點(diǎn)，故由兩點(diǎn)式得直解析：即線 的方程為， 0010000000000001200()()().222022221()24022240 2 .M xyllN xyMNxxyyyyMNxxxxyyxyyyyxlxxM xylxyyx 設(shè)，是直線 上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)為， ，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為由題意，得，解得因?yàn)椋侵本€ 上任意一方解析：所以點(diǎn)，所以法 ：直線，即的260.xy方程為1212122112 1()2llllllBllCllllAlBllMN由平面幾何知識知，若直線 、 關(guān)于直線對稱，則有如下性質(zhì)：若直線 與直線 相交，則交點(diǎn)在直線 上；若 在直線 上，則其關(guān)于直線 的對稱點(diǎn) 在直線 上本題方法 就是利用上述兩條性質(zhì)，找出確定直線 的兩個(gè)點(diǎn) 直線 與直線 的交點(diǎn) 和直線 上的特殊點(diǎn) 關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得到直線 的方程；方法 則是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，直接求軌跡方程把握兩點(diǎn)：線段的評析：中點(diǎn)在直llMN線 上，直線 與直線垂直2310( 1.24)lxyAl 求直線 ：關(guān)于點(diǎn)素，材對稱的直線 的方程2222/230(1)( 12)| 26| 26 1|922393.230l llxyCCAllCxyCl 因?yàn)?，所以可設(shè) 的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，到兩直線 ， 的距離相等，所以，得，所以 的方程為解析： 點(diǎn)線對稱是直線的方程中很經(jīng)典的一個(gè)問題它還包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱和線關(guān)于線的對稱等，而軸對稱性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解決這類問題的主評析：要途徑 1112233123102000()2 3 4.120300nnnnnnnnlxyCClxyClxyClxyCCCCCnnCxyCxyxyCxyCxy已知 條直線， ：， ：， ：， ，：其中，這條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為 、 、 、求；求與 軸、 軸圍成的圖形的面積；求與及 軸、 軸圍成圖形備選例題的面積 22122*2221.21()411121222011141222nnnnnnnOMNnnOlOln nOldnCdlxyCxMyNnnMNSOMOn nCnnSnNC N原點(diǎn) 到 的距離為，原點(diǎn) 到 的距離為， ，原點(diǎn) 到 的距離為，因?yàn)?，所以設(shè)直線 ：交 軸于，交 軸于 ，則的面積，所以解析：12221|2CCdABxy判斷兩直線平行或垂直時(shí)，不要忘記兩條直線中有一條或兩條直線均無斜率的情形另外，兩直線斜率相等，包括平行或重合兩種情況，應(yīng)注意區(qū)分在運(yùn)用公式求兩平行直線間的距離時(shí)，一定兩直線平行與垂要把 ， 項(xiàng)直的判定兩平行線間的距相應(yīng)系數(shù)化成離相等的系數(shù) 11112222121112221221220000100.0()/2()3/lA xB yClA xB yCllA xB yCA xB yCllllllxyyyk xx直線系是具有某一共同性質(zhì)的直線的全體，巧妙地使用直線系，可以減少運(yùn)算量，簡化運(yùn)算過程設(shè) ：， ：若與 相交，則方程表示過 與 交直線系問點(diǎn)的直線系 不包括；若，則上述形式的方程表示與 平行的直線系過定點(diǎn)，的旋轉(zhuǎn)直線系方程為題000()()()kxxkyk xb bRR不包括直線，斜率為 的平行直線系方程為 14().2()1.xxyy關(guān)于對稱問題，有如下規(guī)律：中心對稱 關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對稱解題方法：中點(diǎn)坐標(biāo)公式特殊地，關(guān)于原點(diǎn)對稱，是以代換 ，以代換軸對稱 關(guān)于某直線對稱斜率之積等于解題方法：中點(diǎn)在對稱軸對稱問題上關(guān)于2030axyxay討論直線與的位置關(guān)系1212111.kakakkaa 因?yàn)閮芍本€的斜率分別是，所以，所以兩直錯(cuò)： 線垂直解0a上述解題過程中忽略了對實(shí)數(shù) 是否為錯(cuò)解分析：的討論12023101ayxakkaa 若，則兩直線方程分別為或，顯然兩直線垂直若，由，則正解：綜上所知，兩兩直線垂直直線垂直