()會(huì)計(jì)算球、柱、錐臺(tái)的表面積和體積 不要求記憶公式 3333 41A. B.3623C1. D.32aaaaa 棱長(zhǎng)為 的正方體的外接球的體積為333232433()32 2 D.aaVaaRR正方體的對(duì)角線長(zhǎng)外接球的直徑，即，所以，所以體積解，析：故選1 11A. B. 3611C. D.9122.(2011)某幾何體的三視圖如圖所示，均是直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，則此幾何體的體積溫州第一次適是應(yīng)性測(cè)試1111 1 1326 B.V 根據(jù)所給三視圖，可以判定幾何體是底面為等腰直角三角形的三棱錐，其體積為解，析：故選 A 9 3 B 10 C 11 D 12下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 131222384 .12 .SSSS 側(cè)圓柱底球該幾何體是由一個(gè)半徑為，高為 的圓柱和一個(gè)半徑為的球組合而成其中，故該幾何體的表面積為解析： 120 .4.l若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑為 的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積是22223( )33493.rrllllrSll 表設(shè)圓錐的底面半徑為 ，則，所解以，析： 320 .5.cmhcm下圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為的幾何體的三視圖，則5 6 115 620324 .cmcmVchhm 由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱錐，底面為兩直角邊分別為、的直角三角形，則，所以解析： 1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式2空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=_錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=_臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積=S側(cè)+S上+S下V=_球S=4R2V=_3_ _._drR過(guò)球心的平面截球所得的截面是一個(gè)圓，稱為球的大圓，不過(guò)球心的平面截球所得的平面也是圓，稱為球的小圓球的小圓圓心與球心連接的線段與小圓面垂直，該線段長(zhǎng)為 ，與小圓半徑 、球半徑之間滿足32221 31()343ShS hh SSS SRRdr底底下上；【要點(diǎn)指南】；() A 372 B 360 1 C 292 .(2010)D 280一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是 例安徽卷題型一題型一 空間幾何體的表面積、體積空間幾何體的表面積、體積- 解決空間幾何體的三視圖、面積和體積計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵因素是“圖”，根據(jù)“圖”找到空間幾何體中的幾何元素之間的關(guān)系，想象出這個(gè)空間幾何體的真實(shí)形狀，然后通過(guò)推理論證和相關(guān)的計(jì)算找到我們所需要的幾何體，根據(jù)相關(guān)公式分析：進(jìn)行計(jì)算2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)36 0 B.S 表該幾何體的直觀圖如圖所示，則所求表面積：為，解析故選- 對(duì)于復(fù)雜的空間幾何體的組合體的表面積或體積都可以分開(kāi)來(lái)考慮，將組合體分解成若干部分，分別計(jì)算其表面積、體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)的體積、表面積轉(zhuǎn)化為這些“部分體積”或“部分表面積的評(píng)析：和或差”1(2010)() .cm若某幾何體的三視圖單位：如圖所示，則此幾何體的體積是素材 ：浙江卷331(166416 64) 3 144 4 4 231 4.4VVVcmcm 正四棱臺(tái)長(zhǎng)方體由三視圖知該幾何體為正四棱臺(tái)和長(zhǎng)方體的組合體，故所以該幾何積是解體的體析：33/22()9A. B5215C 6 D.22.ABCDEF ABEFEFABCD如圖所示，是邊長(zhǎng)為 的正方形，與面的距離為，則該多面體的體積為 .例題型二題型二 割補(bǔ)法與等積變換法割補(bǔ)法與等積變換法21113 26 3D.1 EABCDVVV可利用排除法來(lái)解決，棱錐的體積解，方法 ：而此多面體的體積，析：故選分析：將幾何體恰當(dāng)分割求分割后的幾何體體積得答案2.1326.32/2. 11322 15.222362E ABCDEABBEFF BECC EFBC ABEE ABCEFABCDE ABCDF BECEBECEABCDVABEFEF ABSSVVVVVVV如圖所示，連接、四棱錐的體積為由于，所以所解析以，所以：方法 ：/12313323.3213323393 15.2 3.222E AGHDAGHDEGH FBCB EGHE GBCHE AGHDEFABCDE AGHDEGH FBCGHABCDEG FBEH FCGH BCEGHFBCVSVVVVVVV 如圖所示，設(shè) 、分別為、的中點(diǎn)，則，得三棱柱，得析方法 ：所以解：12“ ”3解決不規(guī)則幾何體的問(wèn)題應(yīng)注意應(yīng)用以下方法：幾何體的“分割”依據(jù)已知幾何體的特征，將其分割成若干個(gè)易于求體積的幾何體，進(jìn)而求解幾何體的 補(bǔ)形 有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等幾何體的等積變形如三棱錐任何一個(gè)面都可評(píng)析：作為底面11111111111112904.322ABCABCABBCABCAABBCCABC如圖是一個(gè)以為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為，已知，求該幾何體素材的體積及截面的面積111221122222111222.1112 2 21261.2 2232CABCA B CAABBABB CABB AVVABCA BCABB A 過(guò) 作平行于的截面，交、于 、由直三棱柱性質(zhì)可知方法平面，則柱解：析：1 1 1333311333131122222222.1112 2 4122 26.232243523252 2422.12 353 2 62.A B CAB CA BB C CABCBBCCBCB BC CAAVVVABCABBCACS 柱錐延長(zhǎng)、到、，使得則在中，方法解：析：，則 處理不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，或?qū)⑵浞指畛芍?、錐、臺(tái)或?qū)⑵溲a(bǔ)體為柱、錐、臺(tái)，然后計(jì)算評(píng)析：其體積 63.512xx有一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為，圓心角為 的扇形，在這個(gè)圓錐中內(nèi)接一例個(gè)高為 的圓柱求圓錐的體積；當(dāng) 為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？題型三題型三 有關(guān)組合體問(wèn)題有關(guān)組合體問(wèn)題x由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，圓心角與半徑的關(guān)系可求圓錐的母線長(zhǎng)，底面半徑和高內(nèi)接圓柱的側(cè)面積是高 的函數(shù)，再用代數(shù)方法分析： 求最值 255.625345141312 .rrrVr 因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為 ，所以圓錐的母線長(zhǎng)為 設(shè)圓錐的底面半徑為 ，則，所以，則圓錐的高為 ，故體積解析： 22333.344232 (3)43344222(04)2.266 .yyxyxS xx xxxxxxS x右圖為軸截面圖，這個(gè)圖為等腰三角形中內(nèi)接一個(gè)矩形設(shè)圓柱的底面半徑為 ，則，得圓柱的側(cè)面積 當(dāng)時(shí)解析： 所以當(dāng)圓柱的高為 時(shí)，有最大，大側(cè)面積有最值 旋轉(zhuǎn)體的接、切問(wèn)題?？紤]其相應(yīng)軸截面內(nèi)的接、切情況，實(shí)際是把空間圖形評(píng)析：平面化2260 4 36A. B.27266C. D.823.4ABCDABDCDABEABADEBECEDECABPPDCE如圖，在等腰梯形中， 為的中點(diǎn)將與分別沿、向上折起，使 、 重合于點(diǎn) ，則三棱錐的外接球的體積為素材 11AEEBBCCDDADEECAFDECFFDECECGDGAGOOHAECHAEC由已知條件知，平面圖形中，所以折疊后得到一個(gè)正四面體作平面，垂足為 ，即為的中心取的中點(diǎn) ，連接、，過(guò)球心 作平方法解面，析：則垂足 為的中心，2333361233333623.3463446()334 6.8OHAGFAAGAFAG AHAHOAAFOA 所以外接球半徑可利用求得因?yàn)?，所以所以外接球體積析為解：322262324 466()C.4238RR如圖，把正四面體放在正方體中，顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為，所以外接球直徑，所解方法 ：以，所以體積為析：故選3_ (2010_)OABCABBCCA已知一個(gè)球的球心 到過(guò)球面上 、 、 三點(diǎn)的截面的距離等于此球半徑的一半，若，則備選例題上海八校球聯(lián)考的體積為111221232432.3233243.3OABCROAOBOCROOABBCCAO ARt OO AO AOOOARVRRR如圖，可得為正三棱錐，所以在中，即，所以，解析： 123“” “”()對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問(wèn)題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決要注意將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用 割 、補(bǔ) 的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體 柱、錐、臺(tái)，或化離散為集中，給解題提供便利 12“”3幾何體的“分割”幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之幾何體的 補(bǔ)形 與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等，另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素3()_.mm設(shè)某幾何體的三視圖如圖 尺寸的長(zhǎng)度單位為，則該幾何體的體積為3432.115555233222Vm 該幾何體為三棱錐，底面是腰為 ，底為 的等腰三角形，錯(cuò)高為所以解： 把正視圖看成三棱錐的一個(gè)面造成誤解三視圖中的每一個(gè)視圖都是整個(gè)幾何體在某一屏幕上的投影，不一定是某個(gè)面留下的投影這類問(wèn)題不能孤立的分析錯(cuò)解分析： 某一視圖243113 4 2342.V 由三視圖可知原幾何體是一個(gè)三棱錐，由“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高齊平”的原則可知三棱錐的高為 ，底面三角形的底邊長(zhǎng)為 ，高為 ，則所求棱錐的體積為正解：