以立體幾何的相關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解直線與平面、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理/ A BC D1.aba ba已知直線，直線，則“”是“”的.充分不必要條件.必要不充分條件.充分必要條件.既不充分又不必要條件 A./ /aab由線面平行的判定定理可知充分條件成立，但時(shí)， 與 的位置關(guān)系是平行或異面，即必要條件不成解立，析：故選 A.B.C.D2.下列命題中，錯(cuò)誤的是平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，交線平行一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交A/3./ . A B C (2010) Dmnm nnmmnmnnmnmnmnmnmn已知 ， 是兩條不同的直線， 是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若 ， 是異面直線，則其中正確的命題有.浙江寧波. B.mnmmnnmnmn對(duì)于， 有可能也在 上，因此命題不成立；對(duì)于，過直線 作垂直于 的平面 ，由，可知 與 平行，于是必有 與平行，因此命題成立；對(duì)于，由條件易知平行于 或在 上， 平行于 或在 上，因此必有；對(duì)于，取正方體中兩異面的棱及分別經(jīng)過此兩棱的不平行的正方體的兩個(gè)面即可判斷命題不解析： 綜合可知選成立111111;11111;11 ()/ / 4.()/.ABCDABC DADBCAB DBDCADDCADBDC已知正方體中，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是 只填序號(hào) 平面平面；平面教材改編題1111111111111/ ./5.(2010 ); ABCDABC DEFGHEFGHBCEABBFBBBEH ADEH FGEFGH如圖，若 是長方體被平面截去幾何體后得到的幾何體，其中 為線段上異于 的點(diǎn)，為線段上異于 的點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中不正確的是福建卷四邊形是矩形； 是棱改編柱； 是棱臺(tái)(.)根據(jù)棱臺(tái)的定義 側(cè)棱延長之后，必交于一點(diǎn)，即棱臺(tái)可以還原成棱錐 因此，幾何體 不是棱臺(tái)，解析： 故填 EFGHEHFGEFGH從正面考慮，本題的實(shí)質(zhì)是考查四邊形的形狀，由題意可證，則可得四邊形是矩形，從而解決問題也可以從反面考慮，直接從棱臺(tái)特點(diǎn)入手，發(fā)現(xiàn)結(jié)評(píng)析：論錯(cuò)誤/= 1_.2_/ .3_1/aaaaabaaa定義：如果直線 與平面 公共點(diǎn)，則直線 與平面 平行，記作判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線，則該直線與此平面平行用符號(hào)表示為：，且性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線直線與平面平行。用符號(hào)表示為：，_.l 1_./2_ _/ .2ababP 定義：如果平面 與平面 公共點(diǎn)，則平面 與平面 平行，記作特別提醒：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面必平行，即“面 面線 面”判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行用符號(hào)表示為：，平面與平面平行的判定與性 質(zhì)， 3_./ _./ .abaaba b 性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線 用符號(hào)表示為：，特別提醒：線線平行、面面平行有傳遞性，而線面平行沒有傳遞性，如，不一定得到，同時(shí)，也不一定得到/aa ba lba b 沒有；平行；平行；沒有；平行； ； 平行； 【要點(diǎn)指南】/ .()A BC 1. Dmnmmmmm nnm 、 是不同的直線， 、 、 是不同的平面，有以下四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則若，則其中是真命題的是 . .例.題型一題型一 平行判斷的基本應(yīng)用平行判斷的基本應(yīng)用- CD A.ACB CACADB CADACm 確定命題正確常常需要嚴(yán)格的證明，判斷命題錯(cuò)誤只需一個(gè)反例就可以了如圖在正方體中，平面垂直平面，直線平行平面，但直線并不垂直平面，故錯(cuò)誤，排除 、 ；由線面平行的判定定理知，缺少的條件，故錯(cuò)誤解，析：故選 12 運(yùn)用立方體的模型判斷命題的真假，是解此類問題最常見的方法，解題時(shí)除了考慮正方體各側(cè)面、各側(cè)棱、側(cè)面對(duì)角線、正方體的對(duì)角線外，也應(yīng)考慮正方體的對(duì)角面內(nèi)的各條線段，經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)證，錯(cuò)誤命題就會(huì)被排除掉在判斷命題真假時(shí)，常就地取材，借助筆、手指、桌面、書本面等作為直線和平面的模型，構(gòu)造符合條件的實(shí)體模型，然后考慮結(jié)論是否成立這是解決此類問題的最直觀有效評(píng)析：的方法./. 1 ABCDmnm nmnmnm nm nm anm nmn 已知兩條直線 ， ，兩個(gè)平面，給出下面四個(gè)命題：，；，；，；，其中正確命題的序號(hào)是. . . 素材 ：./ C./nmbmm nn對(duì)于，由于兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直，因此是正確的；對(duì)于，分別位于兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線必沒有公共點(diǎn)，但不能確定它們一定平行，因此是錯(cuò)誤的；對(duì)于，直線 可能位于平面 內(nèi)，此時(shí)結(jié)論顯然不成立，因此是錯(cuò)誤的；對(duì)于，由且得，又，故，是正確的綜上所解述，析：故選.2./.ABCDABEFMNAEDBAMDNMNEBC把正方形、放置成如圖的一個(gè)空間圖形，、 分別是、上的點(diǎn)，且證明：平面例題型二題型二 直線與平面平行的判定和性質(zhì)直線與平面平行的判定和性質(zhì)EBCMN證明線面平行常用的方法：一是判定定理，關(guān)鍵是在平面上找一條直線與平行；二是先證明面面平行，再證明線分析： 面平行1111111111111111/. /./1 .MMMBEMNNNBCNM NMMEMMMABABEANNBNNNCDCDBDABCDAMDNMMNNMN M NMNEBCM NEBCMNEBC過作于，過 作于，連接，則有，且，且又，故，所以又平面，平面，所以平面：證方法明：/=()././. /.2ANBCBCQEQANDNAD BQNQNBANDNAMAMDNMENBNQNBMEANAMAEQMN EQNQMEMNEBCEQEBCMNEBC如圖，連接并延長與或的延長線交于點(diǎn) ，連接因?yàn)?，所以而，所以在中，所以又平面，平面，所以平面：證方法明：11././././ .AKAKAMDNAEDBABABKKMNKEBCMK EBMKEBCEBEBCMKEBCNK ADNK BCNKEBCBCEBCNKEBCMKNKKMNKEBCMNMNKMNEBC而，所以，所以 與重合考慮平面與平面由，平面，平面，得平面由，得又平面，平面，所以平面又，所以平面平面，而平面，所平面：以證明 “”MNMN本題呈現(xiàn)了證明線面平行的一般方法，前兩種證法本質(zhì)上都是利用判定定理，但找與平行的直線操作不一樣，證法三是先證面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)來證明線面平行本題證明平行關(guān)系用的是比例關(guān)系，更有一般性若、 是所在邊的中點(diǎn)，直接利用中位線評(píng)析：定理更簡捷本題的背景是幾何體中的局部 場景 ，但所用的證明方法非常有代表性1111111/.2.ABCDABC DMOABACOMBBC C如下圖，在正方體中，、 分別是、的中點(diǎn)求證：平面素材11111111111 /./.1ABBCMABOACMO BCMOBBC CBCBOBMBBCCCC連接，如右圖因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)方法證明：所以平，所以又平面，平面，面：11111111111111/ /././ /././.2ABNMNONMN BBMNBBC CBBBBC CMNBBC CONBBC CMNNNMONBBOC COMMOMBBC CN取的中點(diǎn) ，連接、，如圖，則又平面，平面，所以平面同理可得平面又，方法證明：所以平所以平面平面而平：面，面11111111111/3./.ABCABCDBCABAC DDBCABDAC D如圖，三棱柱， 是上一點(diǎn)，且平面，是的中點(diǎn)，求證：平面平面例題型三題型三 平面與平面平行的判定和性質(zhì)平面與平面平行的判定和性質(zhì)1111111111111111111111111./././.ACACEA ACCEACEDABAC DABCAC DEDAB EDEACDBCDBCBABDACDC DADADADBDDD連接交于點(diǎn)因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所?是的中點(diǎn)連接因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以 是的中點(diǎn)又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所證明： 所以平面平面以，又， 證明面面平行的常用方法：面面平行的定義；面面平行的判定定理；兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面平行，則這兩個(gè)評(píng)析：平面平行1311 3.ABCDA B C DABBBEBBB EAECDDFA DGADC G 如右圖，在正四棱柱中， 為上使的點(diǎn)，平面交于 ，交的延長線于 ，則異面直線與所成角的大小為素材/3 .3.133tan 63C FAD D GC GDADC GAEC FABB ADCC DAE GAEC GC FD FBEFD GFDAD GRt C D GC DD GCDC GDDGD 如右圖，連接，由，知為異面直線與所成的角因?yàn)楹头謩e是平行平面和平面與平面的交線，所以，從而再由，可得在中，得，解析：故 11111111111/2/3/. ACEFGHBCCCC DA ABF HDEGBB D DBDFB D H如圖所示，在正方體中，、 、 、分別是、的中點(diǎn)，求證：；平面；平面平面?zhèn)溥x例題 111111111111111111. /. /.1/B BMHMMCHMABABC DHMC DHMC DHDMCBMC FC MBFC M BFHDBF取的中點(diǎn)，連接、因?yàn)?，所以，則四邊形是平行四邊形，所以又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所： 以證明/=/=/=/= 111111111111111111111111 .21 2/./.12/3BDOOEOEDCDGDCOEDGOEGDEG DODOBB D DGEBB D DEGBB D DD H BFBD B DB DHDHB DBFBDBDFB DHDDDBBFB取的中點(diǎn) ，連接，則又，所以所以四邊形是平行四邊形，所以又平面，平面，所以平面由知，又，、平面，、證明：平面，且， ，所以平11/.BDFB D H面平面/=/=/=1兩個(gè)平面的位置關(guān)系是空間中各種元素位置的“最高境界”，解決空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系的思維方法是“以退為進(jìn)”，即面面問題退證線面問題，再退證線線問題充分揭示了面面、線面、線線相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 12312323證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平直面平行；證明兩個(gè)平線面與平面相互同時(shí)和第三平行的證明方法：平面和平面相互個(gè)平面平行；證明兩個(gè)平面的法平行的證明方法：向量相互平行11111111.EFABCDABC DAACCAEC FEBFD如圖所示，已知 、 分別是正方體的棱、上的點(diǎn)，且求證：四邊形是平行四邊形11111111111/./ABCDABC DA ADDB BCCD E FBD F EBEBFD在正方體中，平面平面，由兩平行平面與第三平面相交得交線平行，故同理可證，故四邊形為平行錯(cuò)解： 四邊形11()EBFDEBFD錯(cuò)解主要錯(cuò)在盲目地在立體幾何證明中套用平面幾何定理，立體幾何問題只有在化歸為平面幾何問題后才能直接使用平面幾何知識(shí)解題正確的思路應(yīng)分為兩步，第一步，將立體幾何問題化歸為平面幾何問題，即先證明四邊形為平面四邊形 四點(diǎn)共面 ，第二步，再證明平面四邊形為平行四邊形，或者用平行四邊形的充要錯(cuò)解條分析： 件證明111111111/. . 1 A ADDEG ADD DGGCEGADBCGEBCEBGECAEC FDGFCDGCFD FGCEBD FBFD在平面中，作交于 點(diǎn)，連接易證，所以四邊形為平行四邊形，所以又由，得，所以四邊形為平正解:所以四行四邊方法 ：形，所以，邊形為平于是，行四邊形/=/=/=/=/=/=1111111111111111/ . . 2: A ADDAAH EDDDHHFAHD ED HAEC FD HFCDCHFDCABHFABHABFAHBFAHEDBFEDEBFD在平面中，過 作，交于點(diǎn) ，連接，得四邊形為平行四邊形于是，所以四邊形為平行四邊形，則又，所以，所以四邊形為平行正解所以四邊形方四邊形，所以又已證得，故為平，法 ：行四邊形/=/=/=/=/=/=/=