第37課 代數(shù)應(yīng)用性問(wèn)題(1) 代數(shù)應(yīng)用性問(wèn)題，要求解題者具有豐富的生活常識(shí)，較強(qiáng)的閱讀能力和良好的數(shù)學(xué)建模能力，關(guān)于數(shù)與式的表示、列方程、利用函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)行分析、不等式和統(tǒng)計(jì)等方面的應(yīng)用，主要有以下幾種情況： 1以教材中常見(jiàn)的題型或與生活較貼近的問(wèn)題為背景，但數(shù)量關(guān)系較為隱蔽； 2以市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)或日常生活或社會(huì)較關(guān)注的問(wèn)題為背景，借助不等式知識(shí)設(shè)計(jì)可行方案； 3給出實(shí)際問(wèn)題的圖象或圖表等數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解 在解題前，首先要認(rèn)真審題，加強(qiáng)文學(xué)語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，以及對(duì)圖象圖表的處理能力，建立數(shù)學(xué)模型，再準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，最后檢驗(yàn)其合理性要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1. 解代數(shù)應(yīng)用題的策略 首先要閱讀材料，理解題意，找到考查的主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)，揭示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；然后進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的目的 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2. 解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，其求解過(guò)程一般可歸納為以下幾步： (1)審題：分析題意，將條件和圖形與所求結(jié)果用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)來(lái)表示； (2)建模：尋找合適的數(shù)學(xué)模型，如方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等； (3)解模：將已知條件代入數(shù)學(xué)模型，求解一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題； (4)檢驗(yàn)：將純數(shù)學(xué)問(wèn)題的解代入實(shí)際問(wèn)題，看是否符合題意1(2011黃石)黃石市2011年6月份某日一天的溫差為11，最高氣溫為t ，則最低氣溫可表示為() A(11t) B(11t ) C(t11) D(t11) 解析：設(shè)最低氣溫為x()，則tx11，xt11，故選C.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)C2(2010南京)甲種蔬菜保鮮適宜的溫度是1 5 ，乙種蔬菜保鮮適宜的溫度是3 8 ，將這兩種蔬菜放在一起同時(shí)保鮮，適宜的溫度是() A1 3 B3 5 C5 8 D1 8 解析：1 5 ，3 8 的公共部分為3 5 .B3(2010巴中)巴廣高速公路在5月10日正式通車(chē)，從巴中到廣元全長(zhǎng)約為126 km.一輛小汽車(chē)、一輛貨車(chē)同時(shí)從巴中、廣元兩地相向開(kāi)出，經(jīng)過(guò)45min相遇，相遇時(shí)小汽車(chē)比貨車(chē)多行6km，設(shè)小汽車(chē)和貨車(chē)的速度分別為x(km/h)，y(km/h)，則下列方程組正確的是() A. B. C. D. 解析：因?yàn)?5min h，小汽車(chē)、貨車(chē)行駛的路程分別 為 x， y，則 x y126； x y6.D34 34 34 34 34 34 34 4(2011濱州)某商品原售價(jià)289元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是() A289(1x)2256 B256(1x)2289 C289(12x)256 D256(12x)289 解析：首次降價(jià)后售價(jià)為289(1x)，第二次降價(jià)之后售價(jià)為289(1x)2，所以289(1x)2256.A5(2011臺(tái)北)如圖，將長(zhǎng)方形ABCD分割成1個(gè)灰色長(zhǎng)方形與148個(gè)面積相等的小正方形根據(jù)圖形，若灰色長(zhǎng)方形之長(zhǎng)與寬的比為5 3，則AD AB() A5 3 B7 5 C23 14 D47 29 解析：如圖，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng) 為單位1，又設(shè)EF5x，EH3x， 則2(5x3x)41148，x9， 所以AD59247， AB39229， AD AB47 29.D題型一列代數(shù)式解應(yīng)用題【例 1】 據(jù)國(guó)家稅務(wù)總局通知，從2007年1月1日起，個(gè)人年所得12萬(wàn)元(含12萬(wàn)元)以上的個(gè)人需辦理自行納稅申報(bào)小張和小趙都是某公司職員，兩人在業(yè)余時(shí)間炒股小張2007年轉(zhuǎn)讓滬市股票3次，分別獲得收益8萬(wàn)元、1.5萬(wàn)元、5萬(wàn)元；小趙2007年轉(zhuǎn)讓滬市股票5次，分別獲得收益2萬(wàn)元、2萬(wàn)元、6萬(wàn)元、1萬(wàn)元、4萬(wàn)元小張2007年所得工資8萬(wàn)元，小趙2007年所得工資為9萬(wàn)元現(xiàn)請(qǐng)你判斷：小張、小趙在2007年的個(gè)人年所得是否需要向有關(guān)稅務(wù)部門(mén)辦理自行納稅申報(bào)，并說(shuō)明理由 (注：個(gè)人年所得年工資(薪金)年財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得股票轉(zhuǎn)讓屬“財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)讓”，股票轉(zhuǎn)讓所得盈虧相抵后為負(fù)數(shù)的，則財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)讓所得部分按零填報(bào))題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析解：小張：股票轉(zhuǎn)讓收入：81.554.5， 總收入84.512.512， 小張需要申報(bào)納稅 小趙：股票轉(zhuǎn)讓收入：2261410， 總收入90912， 小趙不需要申報(bào)納稅探究提高 股票收益應(yīng)該是每次轉(zhuǎn)讓股票收益的代數(shù)和，本題表面上是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上是有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用知能遷移1出租車(chē)司機(jī)小李某天下午的營(yíng)運(yùn)全是在東西走向的人民大道上進(jìn)行的如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天下午的行程是(單位：km)：15，3，14，11，10，12，4，15，16，18. (1)將最后一名乘客送到目的地時(shí)，小李距下午出車(chē)點(diǎn)的距離是多少？ (2)若汽車(chē)的耗油量為a公升/km，那么這天下午汽車(chē)共耗油多少？解：(1)1531411101241516180(km)， 小李回到下午的出發(fā)地 (2)汽車(chē)行駛的路程： |15|3|14|11|10|12|4| |15|16|18|118(km)， 118a118a(公升)， 這天下午汽車(chē)的耗油量是118a公升題型二列一次方程(組)解應(yīng)用題【例 2】 (2011銅仁)為鼓勵(lì)學(xué)生參加體育鍛煉，學(xué)校計(jì)劃拿出不超過(guò)3200元的資金購(gòu)買(mǎi)一批籃球和排球，已知籃球和排球的單價(jià)比為3 2，單價(jià)和為160元 (1)籃球和排球的單價(jià)分別是多少元？ (2)若要求購(gòu)買(mǎi)的籃球和排球的總數(shù)量是36個(gè)，且購(gòu)買(mǎi)的排球數(shù)少于11個(gè)，有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？ 解：(1)設(shè)籃球的單價(jià)為3x元，則排球的單價(jià)為2x元， 據(jù)題意得3x2x160， 解得x32，3x96, 2x64. 即籃球和排球的單價(jià)分別是96元、64元. (2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)的籃球數(shù)量為n，則購(gòu)買(mǎi)的排球數(shù)量為(36n)個(gè)， 由題意得 解得25 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：(1)設(shè)甲小組每天修理桌凳x套，則乙小組每天修理(x8)套， 得 20 ， 4分 解之得：x116，x224， 經(jīng)檢驗(yàn)：x116，x224是原方程的根 6分 但工效不能為負(fù)數(shù)，因此取x16， x824. 答：甲小組每天修理桌凳16套，乙小組每天修理24套 8分960 x 960 x8 (2)若甲小組單獨(dú)修理需9601660(天)， 總費(fèi)用：608060105400(元) 9分 若乙小組單獨(dú)修理，需9602440(天)， 總費(fèi)用：4012040105200(元) 10分 若甲、乙兩小組合作，需960(2416)24(天)， 總費(fèi)用：(80120)2424105040(元) 11分 所以，第種方案既省時(shí)又省錢(qián) 12分探究提高 分式方程要檢驗(yàn)，不但要檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足原方程，還要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際知能遷移3甲、乙兩人分別從A、B兩地到C地，甲從A地到C地需3小時(shí)，乙從B地到C地需2小時(shí)40分已知A、C兩地間的距離比B、C兩地的距離遠(yuǎn)10千米，每行1千米甲比乙少花10分鐘 (1)求AC兩地間的距離； (2)假設(shè)AC、BC、AB這三條道路均為直的，試判定A、B兩地間的距離d的范圍解：(1)設(shè)AC距離為x千米，則BC距離為(x10)千米， 由題意得 10，x28x1800， 解之得，x118，x210. 經(jīng)檢驗(yàn)：x118， x210是原方程的根，但距離不能為負(fù)數(shù)， 因此取x18. 所以AC兩地間的距離是18千米 (2)10kmd26km.360 x 26040 x10 題型四列一元二次方程解應(yīng)用題【例 4】 機(jī)械加工需要用油進(jìn)行潤(rùn)滑以減少摩擦，某企業(yè)加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油90千克，用油的重復(fù)利用率為60%，按此計(jì)算，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量為36千克，為了建設(shè)節(jié)約型社會(huì)，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個(gè)車(chē)間都組織了人員為減少實(shí)際耗油量進(jìn)行攻關(guān) (1)甲車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量下降到70千克，用油的重復(fù)利用率為60%，問(wèn)甲車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量是多少千克？(2)乙車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，不僅降低了潤(rùn)滑用油量，同時(shí)也提高了用油的重復(fù)利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新的基礎(chǔ)上，潤(rùn)滑用油量每減少1千克，用油量的重復(fù)利用率將增加1.6%，這樣乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量下降到12千克，問(wèn)乙車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量是多少千克？用油的重復(fù)利用率是多少？解：(1)70(160%)28(千克) (2)設(shè)乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑油用量是x千克， 則有：x160%(90 x)1.6%12， 整理，得x265x7500，(x10)(x75)0， x110，x275(舍去x110)， 用油的重復(fù)利用率是60%(9075)1.6%84%. 答：乙車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量 是75千克，用油的重復(fù)利用率是84%.探究提高 這個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，需要設(shè)未知數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決，如果設(shè)乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為x 千克，可得x160%(90 x)1.6%12.知能遷移4某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2 1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，其它三側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288 m2? 解：設(shè)矩形溫室的寬為x米， 則(2x4)(x2)288. (x2)2144，x212， x114，x210(舍去x210)， 2x28. 答：矩形溫室的長(zhǎng)為28米，寬為14米比賽項(xiàng)目比賽項(xiàng)目票價(jià)票價(jià)(元元/場(chǎng)場(chǎng))男籃男籃1000足球足球800乒乓球乒乓球5002525不會(huì)求二元一次方程的正整數(shù)解不會(huì)求二元一次方程的正整數(shù)解試題試題2008年北京奧運(yùn)會(huì)的比賽門(mén)票開(kāi)始接受公眾預(yù)訂下表為年北京奧運(yùn)會(huì)的比賽門(mén)票開(kāi)始接受公眾預(yù)訂下表為北京奧運(yùn)會(huì)官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類(lèi)比較的門(mén)票價(jià)格，球北京奧運(yùn)會(huì)官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類(lèi)比較的門(mén)票價(jià)格，球迷小李用迷小李用8000元作為預(yù)訂下表中比賽項(xiàng)目門(mén)票的資金元作為預(yù)訂下表中比賽項(xiàng)目門(mén)票的資金 (1)若全部資金用來(lái)預(yù)訂男籃門(mén)票和乒乓球門(mén)票共若全部資金用來(lái)預(yù)訂男籃門(mén)票和乒乓球門(mén)票共10張，問(wèn)男籃張，問(wèn)男籃門(mén)票和乒乓球門(mén)票各訂多少?gòu)?？門(mén)票和乒乓球門(mén)票各訂多少?gòu)垼?(2)小李想用全部資金預(yù)訂男籃、足球和乒乓球門(mén)票三種門(mén)票共小李想用全部資金預(yù)訂男籃、足球和乒乓球門(mén)票三種門(mén)票共10張，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由張，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示學(xué)生答案展示 (1)設(shè)訂男籃門(mén)票x張，乒乓球門(mén)票y張 由題意，得 解得 答：小李可以訂男籃門(mén)票6張，乒乓球門(mén)票4張 (2)設(shè)預(yù)定男籃門(mén)票x張，足球門(mén)票y張，乒乓球門(mén)票z張 因無(wú)法求上述三元方程組的正整數(shù)解，故小李欲購(gòu)三種門(mén)票的想法無(wú)法確定剖析(1)解答正確； (2)列不完整的三元一次方程組進(jìn)行正整數(shù)解討論可以實(shí)施，但對(duì)此內(nèi)容未進(jìn)行訓(xùn)練，有一定難度，在方法上選擇是不恰當(dāng)?shù)娜魧⑵滢D(zhuǎn)化為二元一次方程正整數(shù)來(lái)討論，此題是可解的正解 (1)設(shè)訂男籃門(mén)票x張，乒乓球門(mén)票y張 由題意，得 解得 答：小李可以訂男籃門(mén)票6張，乒乓球門(mén)票4張 1000 x500y8000，xy10. x6，y4， (2)能，理由如下： 設(shè)小李訂男籃門(mén)票x張，足球門(mén)票y張，則乒乓球門(mén)票 為(10 xy)張 由題意，得1000 x800y500(10 xy)8000. 整理得5x3y30，y . x、y均為正整數(shù)， 當(dāng)x3時(shí)，y5，10 xy2. 小李可以預(yù)訂男籃門(mén)票3張，足球門(mén)票5張和乒乓球門(mén)票2張 小李的想法能實(shí)現(xiàn) 305x3 批閱筆記 我們知道二元一次方程有無(wú)數(shù)組解，具有不確定性，因此我們常稱(chēng)之為二元一次不定方程，但實(shí)際生活中我們往往只需要求出其正整數(shù)解另外，在許多實(shí)際問(wèn)題中的量常常是在正整數(shù)范圍內(nèi)的，這樣對(duì)這些問(wèn)題的處理我們常可借助解不定方程來(lái)達(dá)到解題的目的，因此一次不定方程有較廣泛的應(yīng)用價(jià)值不定方程的解法較多，一般當(dāng)系數(shù)較小時(shí)，我們可以直接根據(jù)有關(guān)整數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解不定方程組的解法與一般方程組類(lèi)似，先消元得到相關(guān)不定方程，在解出不定方程后，將所得解代回原方程組方法與技巧 1. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一是運(yùn)用知識(shí)和技能去解決實(shí)際問(wèn)題解決問(wèn)題通常按四個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行： 理解問(wèn)題(弄清題意，分清問(wèn)題中的條件和結(jié)論等)； 制定計(jì)劃(在理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法擬訂出解決問(wèn)題的思路和方案)； 執(zhí)行計(jì)劃(把已制訂的計(jì)劃具體地進(jìn)行實(shí)施)； 回顧(對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行必要的檢查和反思，也包括檢驗(yàn)得到的答案是否符合問(wèn)題的實(shí)際，思考對(duì)原來(lái)的解法進(jìn)行改進(jìn)或嘗試用不同的方法，進(jìn)行舉一反三等)思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 2. 方程(組)模型問(wèn)題制定計(jì)劃主要有：設(shè)元(直接設(shè)元、間接設(shè)元)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示未知量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)，解方程(組)，檢驗(yàn)等步驟解題的關(guān)鍵是抓住問(wèn)題中的等量關(guān)系列出方程(組) 3. 分析數(shù)量關(guān)系的方法常有：尋找重點(diǎn)句(關(guān)鍵詞)、圖象法、列表法等失誤與防范 1方程(組)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型之一，求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是針對(duì)給出的實(shí)際問(wèn)題，設(shè)定合適的未知數(shù)，找出相等的關(guān)系，從而建立方程(組)，但要注意驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際問(wèn)題 2不等式(組)應(yīng)用題主要是應(yīng)用不等式(組)的知識(shí)進(jìn)行數(shù)式比較，以確定最佳方案，獲取最大收益，或確定最好工作途徑等解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，弄清實(shí)際問(wèn)題中的已知量和未知量之間的關(guān)系，抓住不等關(guān)系的關(guān)鍵詞句，建立不等式模型，從而解決問(wèn)題完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 37