第4課分式及其運(yùn)算 1分式的基本概念： (1)形如 的式子 叫分式； (2)當(dāng) 時(shí)，分式 有意義；當(dāng) 時(shí)，分式無意 義；當(dāng) 時(shí)，分式的值為零要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理( (A，B是整式，且是整式，且B中含有字母，中含有字母，B0)0)B00B0 0A0 0且且B002分式的基本性質(zhì)： 分式的分子與分母都乘以(或除以) ，分式的值不變，用式子表示為： ， 同一個(gè)不等于零的整式同一個(gè)不等于零的整式，( (M是不等于零的整式是不等于零的整式) )3分式的運(yùn)算法則： (1)符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變 用式子表示為： ， . (2)分式的加減法： 同分母加減法： ； 異分母加減法： . (3)分式的乘除法： ， .(4)分式的乘方： n ( (n為正整數(shù)為正整數(shù)) )4分式的約分、通分： 把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，其根據(jù)是分式的基本性質(zhì) 把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡公分母5分式的混合運(yùn)算： 在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算遇有括號(hào)，先算括號(hào)里面的靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡分式或整式6解分式方程，其思路是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，要特別注意驗(yàn)根，使分母為0的未知數(shù)的值，是增根，需舍去1正確理解分式的概念及分式有意義 判斷某一個(gè)代數(shù)式屬于不屬于分式，不能看化簡后的結(jié)果，而應(yīng)看到它的本來面目，分式的概念是以形式上規(guī)定的 解有關(guān)分式是否有意義的問題時(shí)，常用到“或”與“且”來表達(dá)，正確使用“或”與“且”也是解題的關(guān)鍵“或”表示一種選擇關(guān)系，含有“你行，他也行”的意思；“且”表示遞進(jìn)關(guān)系，也有“同時(shí)”的意思 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2注意分式運(yùn)算的法則和順序 分式的乘除運(yùn)算，一般先利用法則轉(zhuǎn)化為分式的乘法后，能約分的要先約分，再計(jì)算，否則運(yùn)算非常復(fù)雜；對(duì)于乘除、乘方混合運(yùn)算，就遵循“先乘方，后乘除”的運(yùn)算順序；異分母分式相加減，或分式與整式的加減運(yùn)算，可把整式看作一個(gè)整體與分式通分后，按同分母的分式相加減來進(jìn)行運(yùn)算分式運(yùn)算中，每步運(yùn)算都要符合法則或運(yùn)算律，不能隨意套用運(yùn)算律3理解分式方程的增根并檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增根 在分式方程化為整式方程時(shí)，一般是將方程兩邊同乘以含未知數(shù)的整式(最簡公分母)，當(dāng)所乘整式不為零時(shí)，所得整式的根為增根，因此，驗(yàn)根是解分式方程的必要步驟 分式方程的增根是解題時(shí)極易忽視的知識(shí)點(diǎn)，在一般情形下，檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否是增根并不難，而當(dāng)題目明確有增根時(shí)，反推此時(shí)未知數(shù)的值就會(huì)讓人不知所措，此時(shí)關(guān)鍵是要具備逆向的思維能力，特別是涉及分式方程的解而又未明確涉及增根問題時(shí)，探討是否有增根(或與增根有關(guān)問題)就成了隱含條件，稍不留心就會(huì)發(fā)生差錯(cuò)1(2011江津)下列式子是分式的是() A. B. C. y D. 解析：根據(jù)分式的定義，分母中必含字母的代數(shù)式叫分式基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)B2(2011南充)當(dāng)分式 的值為0時(shí)，x的值是() A0 B1 C1 D2 解析：當(dāng)x1時(shí)，分子x10，而分母x230， 所以分式的值為0.3(2011金華)計(jì)算 的結(jié)果為() A. B C1 D2 解析： 1.BC a1 a1 4(2011潛江)化簡( )(m2)的結(jié)果是() A0 B1 C1 D(m2)2 解析：原式 1.5(2011蕪湖)分式方程 的解是() Ax2 Bx2 Cx1 Dx1或x2 解析：當(dāng)x1時(shí)，方程左邊 3， 右邊 3，x1是原方程的解. B m24m2 1m2 m2 m2 m2 1m2 C21512 31 321 題型一分式的概念，求字母的取值范圍【例1】(1)當(dāng)x_時(shí)，分式 無意義； 解析：當(dāng)x10，x1時(shí)，分式無意義 (2)(2011泉州)當(dāng)x_時(shí)，分式 的值為0. 解析：當(dāng)x20，x2時(shí)，分母x24，分式的值是0.題型分類題型分類 深度剖析深度剖析1 12 2探究提高 1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義 2.首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0，當(dāng)它使分母的值不為0時(shí)，這就是所要求的字母的值知能遷移1(1)使分式 有意義的x的取值范圍是_ 解析：當(dāng)2x40，x2時(shí)，分式有意義， 故x的取值范圍是x2. (2)當(dāng)x_時(shí)，分式 的值為0. 解析：當(dāng)|x|30，|x|3，x3， 而x30，x3，故x3.x223 3 (3) (3)若分式若分式 的值為的值為0 0，則，則x的值為的值為( () ) A1 1 B1 1 C1 1 D2 2解析：當(dāng)解析：當(dāng)x2 20 0，x2 2時(shí)，時(shí)，x2 21010，故選，故選D. .D題型二分式的性質(zhì)【例2】(1)(2011湛江)化簡 的結(jié)果是() Aab Bab Ca2b2 D1 解析： ab.Aa2ab b2ab a2b2ab ab ab ab (2)已知 3，求分式 的值 解法一： 3， 3，yx3xy，xy3xy. 原式 4.1x 1y yxxy 2x2y14xyxy2xy 2 xy 14xy xy 2xy 6xy14xy3xy2xy 20 xy5xy 解法二： 3，xy0， 原式 4.1x 1y 2x14xy2y xy x2xyy xy 2y142x1y21x 2 1x1y14 1x1y2 61432 205 探究提高 1.分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變. 2.將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項(xiàng)式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底. 3.巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算題，可應(yīng)用逆向思維，將要求的算式向已知條件“湊”而求得結(jié)果知能遷移2(1)(2011聊城)化簡： . 解析： . (2)下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是() A. (c0) B. 1 C. D. 解析： .a2b2a22abb2 2a2bab ab ab ab 2 ab2 ab 1 12 2 1 12 2 Dxyxy yxyx 題型三分式的四則混合運(yùn)算【例3】先化簡代數(shù)式( ) ，然后選取一個(gè)合適的a值，代入求值 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：原式( )(a2)(a2) 2分 a(a2)2(a2)a22a2a4 a24 3分 取a1，得原式1245 5分aa2 2a2 探究提高準(zhǔn)確、靈活、簡便地運(yùn)用法則進(jìn)行化簡，注意在取A的值時(shí)，不能取使分式無意義的2.知能遷移3(1)(2011安徽)先化簡，再求值： ，其中x2. 解：原式 1.x12 x1 x1 x1 x1 x1 1x1 121 (2)計(jì)算：( ) 解：原式 3(a3)(a3) 2a12.3aa3 a29a aa3 a29a (3)(2011貴陽)在三個(gè)整式x21，x22x1，x2x中，請(qǐng)你從中任意選擇兩個(gè)，將其中一個(gè)作為分子，另一個(gè)作為分母組成一個(gè)分式，并將這個(gè)分式進(jìn)行化簡，再求當(dāng)x2時(shí)分式的值 解：答案不唯一 如，選擇x21為分子，x22x1為分母， 組成分式 . . 將x2代入 ，得原式 .x21x22x1 x21x22x1 x1 x1 x1 2 x1x1 x1x1 2121 13 題型四分式方程的解法【例4】解分式方程： 0. 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：原式 0， 去分母，5(x1)(x3)0， 去括號(hào)，5x5x30， 2分 4x80， 4x8，x2. 經(jīng)檢驗(yàn)，x2是原方程的根 原方程的根是x2. 4分5x x3 1x x1 探究提高 1.按照基本步驟解分式方程，其關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母若分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)首先進(jìn)行分解因式將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，乘最簡公分母時(shí)，應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng) 2.檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某個(gè)根，但因?yàn)樗狗质椒匠痰哪承┓帜笧榱悖蕬?yīng)是原方程的增根，須舍去知能遷移4(1)(2011潼南)解分式方程： 1. 解：方程兩邊同乘(x1)(x1)，得 x(x1)(x1)(x1)(x1)， 化簡，得2x11， 解得 x0. 檢驗(yàn)：當(dāng)x0時(shí)，(x1)(x1)0， 所以x0是原分式方程的解(2)若方程 無解，則m_. 解析： ， 去分母，x3m，m3x. 當(dāng)x2時(shí)，m321.1 1x3x2 m2x 1勿忘分母不能為零考題再現(xiàn)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程 的解是負(fù)數(shù)？學(xué)生作答 解：原方程兩邊同乘以(x2)(x1)，得 x21x24x42xa，2xa5， x . 由 0,得a5. 故當(dāng)a5時(shí)，原方程的解是負(fù)數(shù)答題規(guī)范答題規(guī)范a52 a52 規(guī)范解答 解：當(dāng)x1且x2時(shí)，原方程兩邊都乘以(x2)(x1)， 得x21x24x42xa， 2xa5， x . 由 0，得a5. 又由 2，得a1； 1，得a7， 故當(dāng)a5且a7時(shí)，原方程的解是負(fù)數(shù)a52 a52 a52 a52 老師忠告 (1)分式中的分母不能為零，這是同學(xué)們熟知的，但在解題時(shí)，往往忽視題目中的這一隱含條件，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤； (2)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形時(shí)，應(yīng)注意分子與分母同乘或同除的整式的值不能是零； (3)解分式方程為什么要檢驗(yàn)？因?yàn)橛酶鞣帜傅淖詈喒帜溉コ朔匠痰膬蛇厱r(shí)，不能肯定所得方程與原方程同解如果最后x取值使這個(gè)最簡公分母不為零，則這個(gè)步驟符合方程同解原理，這個(gè)取值就是方程的解；否則，不保證新方程與原方程同解 從另一角度看，既然使各分母的最簡公分母為零，則必使某個(gè)分母為零，該分式則無意義，原方程不可能成立，這個(gè)取值就不是原方程的解. 方法與技巧1分式運(yùn)算過程較長，運(yùn)算中錯(cuò)一個(gè)符號(hào)，往往會(huì)使原來能夠化簡的趨勢(shì)改觀，使算式越來越繁，形成對(duì)分式運(yùn)算厭煩甚至懼怕的心理為了避免這種現(xiàn)象，一定要養(yǎng)成分類分級(jí)逐步演算的習(xí)慣，每次添、去括號(hào)時(shí)，要注意每一個(gè)符號(hào)的正確處理2在加深對(duì)方法的原理理解的前提下，清楚地歸納運(yùn)算步驟，宜分步式，不宜跳步，不宜一個(gè)符號(hào)下完成數(shù)個(gè)步驟思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失誤與防范1分式的分母不為零，分式才有意義，這又是分式的值為0的前提討論分式的值為0，即要求分母不為0，又要求分子為0，二者缺一不可2當(dāng)分式的分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，在運(yùn)算順序上，相當(dāng)于使 分子或分母的外面有一個(gè)括號(hào)，從而把它們分別當(dāng)成一個(gè)整體看，例如：5 ，應(yīng)得 ，而不是 .3分式加減法中的通分是等值變形，不要在學(xué)了解分式方程后，兩者混淆，把通分變形成去分母了完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 4