第七章 圖形與變換第31課 圖形的軸對稱1. 如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合， 這個圖形就叫做 ，這條直線就是它的 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合， 那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做 ， 折疊后重合的點是對應(yīng)點2. 圖形軸對稱的性質(zhì)： 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所 連線段的 軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的 要點梳理要點梳理軸對稱圖形軸對稱圖形對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸垂直平分線垂直平分線垂直平分線垂直平分線3. 由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣；新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點；連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸 這樣，由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做 一個軸對稱圖形可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換而成4. 幾何圖形都可以看作由點組成，只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(如線段的端點)，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形垂直平分垂直平分軸對稱變換軸對稱變換1理解軸對稱、軸對稱圖形與軸對稱變換的關(guān)系 (1)軸對稱涉及兩個圖形，是描述兩個圖形的位置、形狀、大小的關(guān)系； (2)軸對稱變換是由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形； (3)成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到的；一個軸對稱圖形也可以看做是以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換擴(kuò)展成的 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2軸對稱圖形和圖形的軸對稱之間的區(qū)別和聯(lián)系 兩者的區(qū)別是：軸對稱圖形是一個具有特殊性質(zhì)的圖形，而軸對稱是說兩個圖形之間的位置關(guān)系 兩者的聯(lián)系是：若把軸對稱的兩個圖形視為一個整體，則它就是一個軸對稱圖形；若把軸對稱圖形在對稱軸兩旁的部分視為兩個圖形，則這兩個圖形就形成軸對稱的位置關(guān)系因此，它是部分與整體、形狀與位置的關(guān)系，是可以辯證地互相轉(zhuǎn)化的1(2011無錫)一名同學(xué)想用正方形和圓設(shè)計一個圖案，要求整個關(guān)于正方形的某條對角線對稱，那么下列圖案中不符合要求的是() 解析：利用軸對稱的定義，直接得出結(jié)果主要考查對軸對稱圖形的理解基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測D2(2011黃石)有如下圖象：函數(shù)yx1的圖象；函數(shù)y 的圖象；一段弧；平行四邊形其中一定是軸對稱圖形的有() A1個 B2個 C3個 D4個 解析：只有平行四邊形不是軸對稱圖形C3(2011廣州)如圖1所示，將矩形紙片先沿虛線AB按箭頭方向向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線CD向下對折，然后剪下一個小三角形，再將紙片打開，則打開后的展開圖是()D4(2010泉州)如圖所示，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A70，則12() A. 140 B130 C110 D70 解析：A70， AEDADE110， 由軸對稱的性質(zhì)得 AEDADE110， 123602110140.A5(2011菏澤)如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，BC3, AB6，BCA90，在AC上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，則DE的長度為() A6 B3 C2 D. 解析：在RtABC中，BC3，AB6， 得A30，ABC60， 由折疊的意義，得ABEDBE30. 在RtBCE中，CE ，BE2CE2 . DBEAD30，DEBE2 .CBC3 3 3 3 題型一識別軸對稱圖形【例1】 (2011淮安)下列交通標(biāo)志是軸對稱圖形的是()題型分類題型分類 深度剖析深度剖析D探究提高 判斷圖形是否是軸對稱圖形，關(guān)鍵是理解、應(yīng)用軸對稱圖形的定義，看是否能找到至少1條合適的直線，使該圖形沿著這條直線對折后，兩旁能夠完全重合若能找到，則是軸對稱圖形；若找不到，則不是軸對稱圖形知能遷移1(1)(2011內(nèi)江)下列幾何圖形中，一定是軸對稱圖形的有() A1個 B2個 C3個 D4個 解析：上述幾何圖形一定是軸對稱圖形的是扇形、等腰梯形、菱形，故有三個C(2)(2011益陽)小華將一張如圖1所示矩形紙片沿對角線剪開，他利用所得的兩個直角三角形通過圖形變換構(gòu)成了 下列四個圖形，這四個圖形中不是軸對稱圖形 的是() 解析：圖形A是平行四邊行，不是軸對稱圖形A 題型二作已知圖形的軸對稱圖形【例 2】 (2010棗莊)在33的正方形格點圖中，有格點ABC和DEF，且ABC和DEF關(guān)于某直線成軸對稱，請在下面給出的圖中畫出4個這樣的DEF.解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：下列圖形供參考，每畫對一個得2分(畫對4個即可)探究提高 畫軸對稱圖形，關(guān)鍵是先作出一條對稱軸，對于直線、線段、多邊形等特殊圖形，一般只要作出直線上的任意兩點、線段端點、多邊形的頂點等的對稱點，就能準(zhǔn)確作出圖形知能遷移2如圖，在43的網(wǎng)格上，由個數(shù)相同的白色方塊與黑色方塊組成一幅圖案，請仿照此圖案，在下列網(wǎng)格中分別設(shè)計出符合要求的圖案(注：不得與原圖案相同； 黑、白方塊的個數(shù)要相同) (1)是軸對稱圖，又是中心對稱圖形 (2)是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形 (3)是中收對稱圖形，但不是軸對稱圖形解：設(shè)計方案有多種，在設(shè)計時注意每一種圖案的具體要求 (1)應(yīng)該既關(guān)于中間軸對稱，還應(yīng)該關(guān)于中心點對稱，有一定的對稱及審美要求； (2)可不受中心對稱的限制，只要關(guān)于軸對稱，且黑白數(shù)量相等即可； (3)只關(guān)于中心對稱，則對稱的圖形對稱即可題型三軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用【例3】 如圖，E為正方形ABCD的邊AB上一點，AE3，BE1，P是AC上的動點，則PBPE的最小值是_ 解析：連接OP、DE，則PBPD，PBPEPDPEDE， 而在RtADE中，AD4，AE3，DE5. 故應(yīng)填5.5探究提高 求兩條線段之和為最小，可以利用軸對稱變換，使之變?yōu)榍髢牲c之間的線段，因為線段間的距離最短知能遷移3如圖，在四邊形ABCD中，BAD120，BD90，AB1，AD2，在BC、CD上 分別找一點M、N，使得AMN的周長最小， 則AMN的最小周長是_ 解析：分別畫點A關(guān)于BC、DC的軸對稱 點A1、A2，連接A1A2，分別交BC于M，交CD于N， 則AMA1M，ANA2N. AMN的周長AMANMN A1MA2NMNA1A2. 兩點之間，線段最短， AMN的最小周長是線段A1A2的長度27 在AA1A2中，AA12AB2，AA22AD4，A1AA2120.過A1畫A1HAA2，垂足為H.在RtA1AH中，A1AH60.AH AA11，A1H .在RtA1A2H中，A2HAA2AH415.A1A2 2 .12 3 28 7 3 252 題型四折疊問題【例4】 (2010吉林)如圖，在矩形ABCD中，AB12 cm，BC6 cm，點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則整個陰影部分圖形的周長為() A18cm B36cm C40cm D72cm 解析：本題考查矩形折疊問題，據(jù)題意， 得AEA1E，F(xiàn)DFD1，ADA1D1， 從而陰影部分的周長CFFD1CBBEEA1A1D1 CFFDCBBEEAAD2(ABBC)36(cm)，選B.B探究提高 折疊的過程實際上就是一個軸對稱變換的過程，軸對稱變換前后的圖形是全等形，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等知能遷移4(2010益陽)如圖，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的長 小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題 請按照小萍的思路，探究并解答下列問題： (1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出ABD、ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G，證明四邊形AEGF是正方形； (2)設(shè)ADx，利用勾股定理，建立 關(guān)于x的方程模型，求出x的值解：(1)ABE與ABD關(guān)于AB對稱， ABE ABD， EADB90，BAEBAD，AEAD. 同理，F(xiàn)ADC90，CAFCAD，AFAD. EAF2BAD2CAD 2(BADCAD)24590. 四邊形AEGF是矩形 AEAFAD， 矩形AEGF是正方形(2)在正方形AEGF中，EGFGAEx，G90. BEBD2，CFCD3， BGx2，CGx3. 在RtBCG中，(x2)2(x3)252， 解之，得x16，x21(舍去)， x6.20必須利用軸對稱變換，求線段之和最小試題設(shè)M是邊長為2的正ABC的邊AB上的中點，P是邊BC上的任意一點，求PAPM的最小值學(xué)生答案展示 當(dāng)點P為BC中點時，PAPM的和最小 M是AB的中點， PM是ABC的中位線，且APBC. PM AC 21，PA ， PAPM1 .易錯警示易錯警示剖析求兩條線段之和為最小，應(yīng)選用線段的垂直平分線、 角平分線、等腰三角形的高作為對稱軸來解題正解 作正ABC關(guān)于BC的對稱圖形ABC，M是M的對稱點，故M是AB的中點，PMPM， PAPMPAPMAM. 連接CM,易知ACM90， AM .批閱筆記利用軸對稱變換，以BC為對稱軸，作出M的 對稱點M，連AM，兩點之間，線段最短AC2 CM 2 22 3 2 7. 方法與技巧 1. 本章介紹了現(xiàn)實世界中圖形對稱的形式之一軸對稱“兩個圖形成軸對稱”是反映圖形與圖形之間的關(guān)系，“軸對稱圖形”是反映一個圖形的特征軸對稱中的對應(yīng)部分(如對應(yīng)線段、對應(yīng)角等)的形狀、大小是完全一樣的，并且對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分我們今后要學(xué)到的許多圖形都是軸對稱圖形在空間中，也存在這樣的對稱形式，如照鏡子、物體和它在水中成的像等，我們習(xí)慣上稱之為鏡面對稱思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 2. 認(rèn)識軸對稱圖形和圖形的軸對稱之間的區(qū)別與聯(lián)系： 兩者的區(qū)別是：軸對稱圖形是一個具有特殊性質(zhì)的圖形，而圖形的軸對稱是說兩個圖形之間的位置關(guān)系 兩者的聯(lián)系是：若把軸對稱的兩個圖形視為一個整體，則它就是一個軸對稱圖形；若把軸對稱圖形在對稱軸兩旁的部分視為兩個圖形，則這兩個圖形就形成軸對稱的位置關(guān)系因此，它們是部分與整體、形狀與位置的關(guān)系，是可以辯證地互相轉(zhuǎn)化的3. 知識結(jié)構(gòu)失誤與防范 1判斷圖形是否是軸對稱圖形，關(guān)鍵是理解、應(yīng)用軸對稱圖形的定義，看是否能找到至少1條合適的直線，使該圖形沿著這條直線對折后，兩旁能夠完全重合；若能找到，則是軸對稱圖形，若找不到則不是 2如果圖形是由直線、線段或射線組成的，那么在畫出它關(guān)于一條直線的對稱圖形時，只要畫出圖形中的特殊點(如線段的端點、角的頂點等)的對稱點，然后連接對稱點，就可以畫出關(guān)于這條直線的對稱圖形完成考點跟蹤訓(xùn)練 31