第第1 1講講 集合及其運算集合及其運算 知識梳理 1 1集合的含義與表示集合的含義與表示 (1)(1)一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為 ，把一些元素組，把一些元素組成的總體叫做成的總體叫做 ( (簡稱為集簡稱為集) )。 (2)(2)集合中的元素有三個性質(zhì)：集合中的元素有三個性質(zhì)：_，_，_。 (3)(3)集合中元素與集合的關(guān)系分為集合中元素與集合的關(guān)系分為_和和_兩種，分別兩種，分別用用_和和_表示。表示。 (4)(4)幾個常用集合的表示法幾個常用集合的表示法 第第1 1講講 知識梳理知識梳理元素元素 合集合集 確定性確定性互異性互異性無序性無序性數(shù)集數(shù)集自然數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集實數(shù)集表示法表示法屬于屬于 不屬于不屬于 N N*或N Z Q R (5)(5)集合有三種表示法：集合有三種表示法：_，_，_ _ _。 列舉法列舉法 描述法描述法 Venn圖法圖法 第第1 1講講 知識梳理知識梳理2集合間的基本關(guān)系集合間的基本關(guān)系 AB且且AB 3.集合的基本運算集合的基本運算 第第1 1講講 知識梳理知識梳理集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的補集集合的補集符號符號表示表示A AB BA AB B 若全集為若全集為U U，則集合則集合A A的補的補集為集為_圖形圖形表示表示意義意義 x x|_|_ x x|_|_ UAUA x x|_|_，_ UA xA或或xB xA且且xB xU且且x A ？ 4. 4.常見結(jié)論常見結(jié)論 (1)(1)若集合若集合A A中有中有n n個元素，則集合個元素，則集合A A的子集有的子集有_個，真子集有個，真子集有_個。個。 (2)(2)并集：并集：A AB B_，A AA A_ _ _，A A _，A AB B_A A，A AB BB BA AB B。 (3)(3)交集：交集：A AB B_，A AA A_，A A _，A AB B_A A，A AB BA AA AB B。 (4)(4)補集：補集：A A( UAUA) )_，A A( UAUA) )_。 (5)(5) U U( (A AB B) )_， U U( (A AB B) )_。 (6)(6)若若A AB B且且B BA A，則，則_。 第第1 1講講 知識梳理知識梳理2 2n n 2n1 BA A A BA A U UA U B UA U BAB 要點探究 探究點探究點1集合的概念集合的概念第第1 1講講 要點探究要點探究 思路思路 由題意可知，集合由題意可知，集合A中的三個元素中必有一個為中的三個元素中必有一個為1，由此列，由此列出關(guān)于出關(guān)于a的方程后求解，最后對結(jié)果進行檢驗集合的方程后求解，最后對結(jié)果進行檢驗集合B為單元素集，要為單元素集，要分分a0和和a0兩種情況討論兩種情況討論 第第1 1講講 要點探究要點探究 探究點探究點2集合間的關(guān)系集合間的關(guān)系 例例2 已知集合已知集合Px|1ax2a，Qx|x23x100 (1)若若a3，求集合，求集合P，Q間的關(guān)系；間的關(guān)系； (2)若若PQ，求實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍 第第1 1講講 要點探究要點探究 思路思路 (1)求出集合求出集合Q，把，把a3代入集合代入集合P，利用數(shù)軸探討，利用數(shù)軸探討P，Q間的包含或相等關(guān)系；間的包含或相等關(guān)系；(2)由由PQ，注意集合，注意集合P可為空集可為空集 第第1 1講講 要點探究要點探究第第1 1講講 要點探究要點探究 點評點評 由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此利用的子集，因此利用AB解決問題時，要注意對集合解決問題時，要注意對集合A是是否為空集進行討論，解題時不要漏掉這一點；另外，合否為空集進行討論，解題時不要漏掉這一點；另外，合理利用數(shù)軸和理利用數(shù)軸和Venn圖幫助分析與求解是避免出錯的一圖幫助分析與求解是避免出錯的一個有效手段，這也是數(shù)與形的完美結(jié)合之所在，如：個有效手段，這也是數(shù)與形的完美結(jié)合之所在，如： 第第1 1講講 要點探究要點探究 (1)2010浙江卷浙江卷 設設Px4，Q x24，則則 () APQ BQP CP RQ DQ RP 思路思路 求出集合求出集合Q，利用數(shù)軸判斷兩個集合的相互關(guān)系，利用數(shù)軸判斷兩個集合的相互關(guān)系解析解析 Q(2,2)，P(，4)，QP. 第第1 1講講 要點探究要點探究 (2)2010 (2)2010寶雞模擬寶雞模擬 已知全集已知全集U UR R，集合，集合A A x x| |x x2 2n n，n nNN 與與B B x x| |x x2 2n n，n nNN ，則正確表示集合，則正確表示集合A A、B B關(guān)關(guān)系的韋恩系的韋恩(Venn)(Venn)圖是圖是( () ) 思路思路 將將2 2n n變形為變形為2 22 2n n1 1的形式，再利用其判斷集的形式，再利用其判斷集合合A A、B B的關(guān)系的關(guān)系 解析解析 x x2 2n n2 22 2n n1 1，當當n nNN時，時，2 2n n1N1N，此時，此時A AB B，又，又11A A，但，但1 1 B B，故選，故選A. A. 第第1 1講講 要點探究要點探究 (3)2010 (3)2010佛山模擬佛山模擬 已知集合已知集合A A x x| |x x2 2或或x x44，B B x x| |x x2 24 4axax3 3a a2 200若若B BA A，則實數(shù)，則實數(shù)a a的取的取值范圍是值范圍是_ 思路思路 先利用先利用a a的符號將集合的符號將集合B B化簡再分類討論化簡再分類討論( (，4 4 第第1 1講講 要點探究要點探究 探究點探究點3集合的運算集合的運算 例例3 2010杭州模擬杭州模擬 已知集合已知集合A ，集合集合B 。(1)當當m3時，求時，求A ；(2)若若AB ，求實數(shù)，求實數(shù)m的值。的值。 第第1 1講講 要點探究要點探究 思路思路 (1)集合集合A、B都表示函數(shù)的定義域，先利用使都表示函數(shù)的定義域，先利用使解析式有意義的條件求得集合解析式有意義的條件求得集合A、B，然后借助數(shù)軸進行，然后借助數(shù)軸進行集合運算；集合運算；(2)借助數(shù)軸，由集合的運算性質(zhì)寫出參數(shù)借助數(shù)軸，由集合的運算性質(zhì)寫出參數(shù)m所所滿足的條件即可求解滿足的條件即可求解 第第1 1講講 要點探究要點探究第第1 1講講 要點探究要點探究 (1)(1)設設U UZ Z，A A1,3,5,7,91,3,5,7,9，B B1,2,3,4,51,2,3,4,5，則圖，則圖1 12 2中陰影部分表示的集合是中陰影部分表示的集合是( () ) A A2,4 2,4 B B1,2,3,4,51,2,3,4,5 C C7,9 7,9 D D1,3,51,3,5 圖圖12 思路思路根據(jù)給出的根據(jù)給出的Venn圖可知，所求的集合中的元素圖可知，所求的集合中的元素屬于集合屬于集合B但不屬于集合但不屬于集合A，即求，即求 UA與與B的交集的交集 解析解析陰影部分所表示的集合是陰影部分所表示的集合是( UA)B2,4，故選，故選A. 第第1 1講講 要點探究要點探究 (2)若集合若集合A ，B ，則，則AB是是() A. B. C. D. 思路思路 利用不等式的解法，化簡集合利用不等式的解法，化簡集合A，B，并利用，并利用數(shù)軸的直觀性，計算兩集合的交集數(shù)軸的直觀性，計算兩集合的交集 第第1 1講講 要點探究要點探究 (3 (3）20102010重慶卷重慶卷 設設U U0,1,2,30,1,2,3，A A x xU U| |x x2 2mxmx00，若，若 UAUA1,21,2，則實數(shù)，則實數(shù)m m_. _. 思路思路集合集合A表示一元二次方程的根，根據(jù)這個方程的表示一元二次方程的根，根據(jù)這個方程的根是否相等分類解決，并注意對所求的結(jié)果進行檢驗根是否相等分類解決，并注意對所求的結(jié)果進行檢驗 解析解析由由x2mx0 x0或或xm，當當m0時時A0，不滿足；當，不滿足；當m0時，時，A0，m由由 UA1,2，m3，m3. . 探究點探究點4集合與其他知識的綜合集合與其他知識的綜合 例例4 20102010福建卷福建卷 對于平面上的點集對于平面上的點集，如果連接，如果連接中任意兩點的線段必定包含于中任意兩點的線段必定包含于，則稱，則稱為平面上的凸集，為平面上的凸集，給出平面上給出平面上4 4個點集的圖形如圖個點集的圖形如圖1 13 3所示所示( (陰影區(qū)域及其邊陰影區(qū)域及其邊界界) )，其中為凸集的是，其中為凸集的是_( (寫出所有凸集相應圖形寫出所有凸集相應圖形的序號的序號) ) 第第1 1講講 要點探究要點探究答案答案 第第1 1講講 要點探究要點探究解析解析 利用平面上的凸集的新定義知：連接利用平面上的凸集的新定義知：連接中任意兩點的中任意兩點的線段必定包含于線段必定包含于，那么對于，那么對于中多邊形的最上面的兩個角中多邊形的最上面的兩個角上相應的兩點的連線就不包含于上相應的兩點的連線就不包含于，而對于，而對于中分別在兩個中分別在兩個圓中各取一點的連線就不包含于圓中各取一點的連線就不包含于，對于，對于和和滿足平面上滿足平面上的凸集的新定義的凸集的新定義 點評點評 新型集合的概念及運算問題是近幾年新課標高考的新型集合的概念及運算問題是近幾年新課標高考的熱點問題，解決此類信息遷移題的關(guān)鍵是在理解新信息并熱點問題，解決此類信息遷移題的關(guān)鍵是在理解新信息并把它納入已有的知識體系中，用原來的知識和方法來解決把它納入已有的知識體系中，用原來的知識和方法來解決新情景下的問題，如：新情景下的問題，如： 第第1 1講講 要點探究要點探究 對任意兩個集合對任意兩個集合M、N，定義：，定義：MNx|xM且且x N，MN(MN)(NM)，My|yx2，xR，Ny|y3sinx，xR，則，則MN_._. 解析解析 M0，)，N3,3，MN，MN(3，)，NM3,0)，又，又MN(MN)(NM)，MN3,0)(3，) 答案答案 3,0)(3，) 例例5 集合集合A(x，y)|ya|x|，B(x，y)|yxa，CAB，且集合，且集合C為單元素集合，則實數(shù)為單元素集合，則實數(shù)a的取值范圍為的取值范圍為_ 第第1 1講講 要點探究要點探究 思路思路 集合集合A、B為點集，在平面直角坐標系中，作出為點集，在平面直角坐標系中，作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求解兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求解 第第1 1講講 要點探究要點探究 點評點評 集合作為工具經(jīng)常滲透到函數(shù)、集合作為工具經(jīng)常滲透到函數(shù)、不等式、解析幾何等知識中，解決此類問題不等式、解析幾何等知識中，解決此類問題時，要注意將集合語言轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學語時，要注意將集合語言轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學語言，再求解言，再求解 規(guī)律總結(jié)第第1 1講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 1集合的準確識別集合的準確識別 對集合的準確識別，關(guān)鍵是要特別注意代表元素是什對集合的準確識別，關(guān)鍵是要特別注意代表元素是什么，有什么屬性，如果屬性相同，但代表元素不同，所表么，有什么屬性，如果屬性相同，但代表元素不同，所表示的集合也不一樣，如集合示的集合也不一樣，如集合y|y2x，x|y2x，(x，y)|y2x表示不同的集合表示不同的集合 2集合元素的性質(zhì)集合元素的性質(zhì) 集合元素具有確定性、互異性、無序性三個特征，尤集合元素具有確定性、互異性、無序性三個特征，尤其是其是“互異性互異性”在解題中要注意把握與運用，在解決元素在解題中要注意把握與運用，在解決元素含參數(shù)的集合問題時，千萬別忘了檢驗，否則很可能會因含參數(shù)的集合問題時，千萬別忘了檢驗，否則很可能會因為不滿足為不滿足“互異性互異性”而導致結(jié)論錯誤而導致結(jié)論錯誤第第1 1講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 3空集的特殊性空集的特殊性 任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集在涉及集合之任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集在涉及集合之間的包含關(guān)系，利用間的包含關(guān)系，利用AB解題時，若不明確集合解題時，若不明確集合A是否是為空集時，是否是為空集時，應對集合應對集合A的情況進行分類討論，勿因忽略的情況進行分類討論，勿因忽略“空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集”造成解題結(jié)果不全面造成解題結(jié)果不全面 4數(shù)形結(jié)合思想的應用數(shù)形結(jié)合思想的應用 在進行集合的運算時要盡可能地借助韋恩圖和數(shù)軸使抽象問題直在進行集合的運算時要盡可能地借助韋恩圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化一般地，集合元素離散時用韋恩圖表示，集合元素連續(xù)時用數(shù)觀化一般地，集合元素離散時用韋恩圖表示，集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時注意端點值的取舍軸表示，用數(shù)軸表示時注意端點值的取舍 第第1 1講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)5補集思想的應用補集思想的應用 在解決集合有關(guān)問題時，如果從正面求解較困難，則采用在解決集合有關(guān)問題時，如果從正面求解較困難，則采用“正難正難則反則反”的解題策略，具體地說，就是將研究對象的全體視為全集，求的解題策略，具體地說，就是將研究對象的全體視為全集，求出使問題反面成立的集合出使問題反面成立的集合A，則集合，則集合A的補集即為所求的補集即為所求