專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題五 計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計 12C1n kkknpnkP kpp古典概型、幾何概型、互斥事件的概率、對立事件的概率、相互獨立事件的概率均是高考考查的知識點，其中獨立重復(fù)試驗的概念及其概率計算是難點也是重點獨立重復(fù)試驗也叫做貝努利試驗，這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么事件發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中事件發(fā)生的概率是一樣的；如果一次試驗中某事件發(fā)生的概率是 ，那么在 次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生 次的概率為. 112222112221 2.().123iinnnnPxpiEx px px pababEaEbE abaEbB npEnpxEpxEpxEp離散型隨機變量的期望與方差若離散型隨機變量 的概率分布為， ，則稱為 的數(shù)學(xué)期望若，其中 、 是常數(shù)，則 也是隨機變量，數(shù)學(xué)期望為，即若 ，則方差：把叫做隨機變量的均方差，簡2()1DD aba DB npDnpp稱為方差；標(biāo)準(zhǔn)差是，；若 ，那么 222222222211_.3,3210_12_xyCmnmnxyAxmnP Aabxxaxb 曲線 的方程為，其中 、是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù)，事件方程表示焦點在 軸上的橢圓 ，那么在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù)分別記為 、 ，則使得關(guān)例1于 的方程有實根的概率為一、古典概型與幾何概型 22223661515360445.1236.3101.61332xmnP AabababP 試驗中所含基本事件個數(shù)為；若想表示橢圓，則前后兩次的骰子點數(shù)不能相同，則去掉 種可能；既然橢圓焦點在 軸上，則，又只剩下一半情況，即種，因此要使方程有實根，則，即，即又，由幾何概型得解析：古典概型與幾何概型問題分析求解時應(yīng)恰當(dāng)應(yīng)用是轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討【點評】論思想 60%75%13212為加強新農(nóng)村建設(shè)，提高農(nóng)民收入，某地區(qū)農(nóng)業(yè)部門為農(nóng)民免費提供果樹栽培和水產(chǎn)養(yǎng)殖技術(shù)培訓(xùn)，每位農(nóng)民可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過果樹栽培培訓(xùn)的有，參加過水產(chǎn)養(yǎng)殖培訓(xùn)的有，假設(shè)每位農(nóng)民對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且不同農(nóng)民的選擇相互之間沒有影響任選 位農(nóng)民，求該人參加過培訓(xùn)的概率二、互；任選 位農(nóng)民，至斥、獨立事件的概率計算少有 位參加例2過培訓(xùn)的概率 1211“”“”0.60.75( )0.4( )0.25.11()( )(0.9.)0.40.250.1.110.1ABABP AP BP AP BPP A BP AP BPP選 位農(nóng)民，記 該人參加過果樹栽培培訓(xùn) 為事件 ，該人參加過水產(chǎn)養(yǎng)殖培訓(xùn) 為事件 ，由題設(shè)知，事件 與 相互獨立，且，則，任選 位農(nóng)民，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過解培訓(xùn)的概率是析； 342233343423C0.90.10.2430.90.729.20.2972.PPPPPP設(shè)有 位農(nóng)民參加過培訓(xùn)的概率為 ，有 位農(nóng)民參加過培訓(xùn)的概率為 ，因為每個人的選擇是相互獨立的，所以，所以至少有 位農(nóng)民參加過培訓(xùn)的概率為“”概率題的實際背景，往往與現(xiàn)實生活，社會熱點問題堅密相關(guān)，本小題選擇以關(guān)注民生的熱點問題 新農(nóng)村建設(shè) 為背景；高考題中的概率題是對幾種概率模型的綜合考查，所以在最后的沖刺訓(xùn)練，要注意概率綜合【點評】題的訓(xùn)練 QQQQQQQQQQQQ1 1 1QQ2 3 6QQQQ12為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場，騰訊公司為用戶推出了多款應(yīng)用，如“農(nóng)場”、“音樂”、“讀書”等市場調(diào)查表明，用戶在選擇以上三種應(yīng)用時，選擇農(nóng)場、音樂、讀書的概率分別為 、 ，現(xiàn)有甲、乙、丙三位用戶獨立任意選擇以上三種應(yīng)用中的一種進行添加求三人所選擇的應(yīng)用互不相三、二項分布及應(yīng)同的概率；記 為三人中選擇的應(yīng)用是“農(nóng)場”或“音樂”的人數(shù)，求 的分3用例布列與數(shù)學(xué)期望 123123123123123“QQQQQQ1,2,3.(1,2,3)111.23361611iiiijkiiiiABCiAAABBBCCCABC ijkijkP AP BP CPP AB CP A P BP C記第 名用戶選擇的應(yīng)用是農(nóng)場”、“音樂”、“讀書”分別為事件 、 、 ，由題意知 ， ， 相互獨立， ， ，相互獨立， ，相互獨立，且 ， ，且， 互不相同 相互獨立，且，他們選擇的應(yīng)用互不相同的概率！解析：.6 3332231230333QQ1(3)361103C ( )6216151512C ( )66216157521C ( )( )66216512530C ( ).62162BPPPPPPPP設(shè) 位用戶選擇的應(yīng)用是“讀書”的人數(shù)是 ，由已知 ， ，且，所以，115751250123.212.56216216216E 故 的分布列是：的數(shù)學(xué)期望是二項分布問題與獨立重復(fù)試驗緊密相關(guān)，因此在問題分析時應(yīng)恰當(dāng)?shù)貙⒃囼灮瘹w為獨立重復(fù)試驗，從而將問題轉(zhuǎn)化為二項分布問【點評】題求解7,8,9,10甲、乙兩運動員進行射擊訓(xùn)練，已知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在環(huán)內(nèi)，且每次射擊成績互不影響，射擊環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下圖所示四、離散型隨機變量的分布列、期，若將頻率視為概率，回答例4望下列問題 9(9)319(9)123129(9).E求甲運動員在一次射擊中擊中 環(huán)以上含 環(huán) 的概率；求甲運動員在 次射擊中至少有 次擊中環(huán)以上 含 環(huán) 的概率；若甲、乙兩運動員各射擊 次， 表示這次射擊中擊中 環(huán)以上 含 環(huán) 的次數(shù)，求的分布列及 122337,80.190.45.7,8,9,101010.450.10.10.359(9)0.450.35(10.20.8)319(9)C 0.8 0.0.2C28.810PAP A 由圖可知，一次射擊中甲擊中環(huán)的概率均為，擊中 環(huán)的概率為又因為他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在環(huán)內(nèi)，因此擊中 環(huán)的概率為，所以甲擊中 環(huán)以上 含 環(huán) 的概率為或設(shè)甲運動員在 次射擊中至少有 次擊中 環(huán)以上 含 環(huán) 為事件 ，則解析： 233330.2C 0.80.0960.3840.50.99212(10.20.992)P A 或 0,1,29(9)0.7500.200.250.0510.800.250.75 0.2001.55.3520.800.750.60.00.051 0.3520.603PPPE 由題意可知，由圖可知乙一次射擊擊中 環(huán)以上 含 環(huán) 的概率為，因此 的分布列為： 30211.312 45甲、乙、丙三人進行象棋比賽，每兩人比賽一場，共賽三場每場比賽勝者得 分，負(fù)者得分，沒有平局，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為 ，甲勝丙的概率為 ，乙勝丙的概率為求甲獲第一名且丙獲第二名的概率備選；設(shè)在該次比賽中，甲得分為 ，求 的分布列和題數(shù)學(xué)期望 211.346141.5514650,3,6,22.1110(1)(1)344125P甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙所以甲獲第一的概率為丙獲第二，則丙勝乙，其概率為所以甲獲第一名且丙獲第二名的概率為可能取的值為甲兩場比賽皆輸?shù)母怕蕿榻馕觯海?11273(1)(1)3443122116346171036411.4126PPE 甲兩場只勝一場的概率為，甲兩場皆勝的概率為，所以 的分布列為所以 1()C1.n kkknnmP AnP ABP AP BP A BP AP BnP kpp解決概率問題的一般步驟可概括如下：第一步：確定事件的性質(zhì)，等可能事件、互斥事件、幾何概型、獨立事件或獨立重復(fù)試驗第二步：判斷事件的運算為積事件還是和事件第三步：運用公式，等可能性事件：；互斥事件：；獨立事件：； 次獨立重復(fù)試驗：2離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率和求離散型隨機變量的分布列必須解決好兩個問題，一是求出 的所有取值，二是求出 取每一個值時的概率求一些離散型隨機變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提