等差數(shù)列的基本量運(yùn)算等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 【例1】 【變式練習(xí)1】已知等差數(shù)列an中，a3a716，a4a60，求an的前n項(xiàng)和Sn. 11112211111(2 )(6 )1635081216488.228(1)(9)8(1)(9)nnnadad adadadadadadaaddSnn nn nSnn nn n 設(shè)數(shù)列的公差為 ，則，即，解得或因此， 【或 】解析等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定與證明與證明 11122(2)1122nnnnnnnanSaaS SnSa已知數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，且滿足 ，數(shù)列是否為等差數(shù)【例 】列，請證明你的結(jié)論；求的通項(xiàng)公式 111111112(2)112 (2)111221111(1)22(1)2 ,.2122.2 (1)1(1)121.12(22)2 (1)nnnnnnnnnnnnnnaSSS SnnSSSSandnnSSSnnaS Sn nnnaann n因?yàn)?，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列由知，所以 所以，當(dāng)時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)【解析， 所以 】. 判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有定義法、等差中項(xiàng)法，或者從通項(xiàng)公式、求和公式的形式上判斷證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有定義法和等差中項(xiàng)法 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)的綜合應(yīng)用及性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例3】數(shù)列an中，a18，a42，且滿足an22an1an0(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn|a1|a2|an|，求Sn. 21411*120.(41)2.(1)210()210045.21805060.2nnnnnnnnnnaaaadaaddaaandnnannannana N因?yàn)?，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為由 ，得 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 由，得所以，當(dāng)時(shí)，】；當(dāng)時(shí)，【解析1212212123456712345122225962()()140 8(2)2940.9*,5.940*6nnnnnnnnnSaaaaaannnSaaaaaaaaaaaaaaaaaaan nnnnnn nnSnnnn NN當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 所以 本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)的絕對值的和若數(shù)列an滿足an22an1an0(nN*)，則它是等差數(shù)列 等差數(shù)列an中，求Sn|a1|a2|an|，分兩種情形： 11212121121212001()2()()(1)001()()2()()1)2(1nnmnnnmnadmSaaa nmaaaaaanmadmSaaanmaaaaaanm 已知，當(dāng)數(shù)列從第 項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)時(shí)， 已知，當(dāng)數(shù)列從第 項(xiàng)開始為正數(shù)時(shí)， 【變式練習(xí)3】已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn12nn2.求下列兩式的值： (1)|a1|a2|a3|a10|；(2)|a1|a2|a3|an|.211*1221*121121112(12) 12(1)(1)132 .1132 111132 .131320.216070.nnnnnnnnSnnnaSnnaSSnnnnnnaanannnnannaNNN因?yàn)?，所以，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng)，時(shí)， 又當(dāng) 時(shí)， ，所以 由 ，得所以，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，【解析】(1)|a1|a2|a3|a10|a1a2a3a6(a7a8a9a10) 2S6S102(12662)(1210102)52. (2)當(dāng)1n6，nN*時(shí)，|a1|a2|a3|an|a1a2a3an12nn2； 當(dāng)n7，nN*時(shí) |a1|a2|a3|an| a1a2a3a6(a7a8an) 2S6Sn 2(12662)(12nn2) n212n72. 用函數(shù)方法求等差用函數(shù)方法求等差數(shù)列的最值問題數(shù)列的最值問題 421124.14522nnnnnndanSaSSbadab已知公差為 的等差數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ， ， 求公差 的值；若 ，求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最【例 】小項(xiàng)的值 42111144124422(2)41.5127(11)21111.722nnnnSSadaddadaaandnban 因?yàn)?，所以 ，所以 因?yàn)?， ，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，所以 【解析】 431771()( ,)72221,34)31.nnf xxbbbb又函數(shù) 在 ， 和上都是單調(diào)遞減函數(shù)，所以數(shù)列在和 ，上都是遞減數(shù)列，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)是 ，最小項(xiàng)是 本題考查的內(nèi)容有兩方面：一是等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用；二是求數(shù)列中項(xiàng)的最值本題解法采用的是以函數(shù)單調(diào)性的方法判斷數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而求得數(shù)列中項(xiàng)的最大、最小值一般地，如果函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間是減函數(shù)，則數(shù)列在由此區(qū)間內(nèi)所有的正整數(shù)組成的集合上是遞減數(shù)列 【變式練習(xí)4】已知等差數(shù)列an中，a33，S33. (1)試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； (2)在直角坐標(biāo)系中，畫出anf(n)的圖象； (3)當(dāng)n等于多少時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn取得最小值？并求最小值； (4)求證：S6，S12S6，S18S12成等差數(shù)列 31131*1233.235.3334(1)49()49()49059.1141904426.23nnnnnnadaadaSaddaandnnaf nyxannannnnSSSa N設(shè)等差數(shù)列的公差為由，得所以 的圖象是直線 上一列孤立的點(diǎn)圖略 由，得而 是正整數(shù)，所以當(dāng) 時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值，最【解析】小值為 61121181126181212661812612618126563060 30212 111260264204218 171890612522217431824()()SadSadSadSSSSSSSSSSSSSS證明：因?yàn)?，所以 ，即 ，所以 ， ，成等差數(shù)列1.已知an為等差數(shù)列，且a72a41，a30，則公差d _127433242()121.2aaadaddd由 ，得】【解析2.等差數(shù)列an前n項(xiàng)的和為Sn，若S1995，則a3a17 _10 119191193171191995210.10.aaSaaaaaa由，得 【所以 解析】 11*113.35nnnnaaaanaN已知數(shù)列中， ， ，則通項(xiàng) _31514n 11531115145(1)333.1514nnnannaan由題意可知數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)是 ，公差是 ，所以 ，所以 【解析】4.已知f(x)a1xa2x2a3x3anxn，且a1，a2，a3，an組成等差數(shù)列(n為正偶數(shù))又f(1)n2，f(1)n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an. 212211112341214311*1222(1)2 . *( 1)()()()2*1221(2)nnnnnnnnfaaann aanaanandnfaaaaaanaaaaaanndndaannkkN因?yàn)?，依題意得 ，所以 ，即 又 ，即【 ，所以 ，則 ，代入得解析】 ，所以 ， 115.2(2).9112.nnnnnnnnanSaSSnaSaa 已知數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，且， 求證：是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式 11111111(2)111.1119211nnnnnnnnnnnnnaSSnaSSSSSSSSSSa證明：因?yàn)?，所以，即 ，所以故數(shù)列是首項(xiàng)為 ，【解析公差為 的】等差數(shù)列 11119111(1)22221121324(2)112132292(1)94(2,*)1122132nnnnnnnnnSSSnnaSSnnnanannnnN由知 ，所以 ，所以 而 不適合上式，所以 本節(jié)內(nèi)容主要考查數(shù)列的運(yùn)算、推理及轉(zhuǎn)化的能力與思想考題一般從三個(gè)方面進(jìn)行考查：一是應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式計(jì)算某些量和解決一些實(shí)際問題；二是給出一些條件求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，或?qū)⑦f推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題間接地求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；三是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列. 1等差數(shù)列常用的兩個(gè)性質(zhì)： (1)等差數(shù)列an中，對任意的m，n，p，qN*，若mnpq，則amanapaq.特別地，若mn2p，則aman2ap. (2)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以寫成anam(nm)d(n，mN*) 2已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，往往設(shè)此三數(shù)為ad，a，ad可以方便地解決問題 3證明一個(gè)數(shù)列an是等差數(shù)列有兩種方法： (1)用定義證明：即求得an1an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù) (2)利用等差中項(xiàng)：即證明2an1anan2(nN*) 4注意幾個(gè)說法： (1)“anpnq(nN*，p，qR)”是“an為等差數(shù)列”的充要條件； (2)“SnAn2Bn(nN*，A，BR)”是“an為等差數(shù)列”的充要條件； (3)“數(shù)列an的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)”是“an為等差數(shù)列”的充分不必要條件； (4)“數(shù)列an的前n項(xiàng)和是二次函數(shù)”是“an為等差數(shù)列”的既不充分又不必要條件