第第3131講講平面向量的概念平面向量的概念 _|/ /1/ / .AB DCABCDababababbcacabbcac 下列各命題中，真命題的個數(shù)為若，則四邊形是平行四邊形；若，則 或 ；若 ， ，則 ；若，則【例 】【解析】正確不正確，因?yàn)閮上蛄肯嗟缺仨毚笮∠嗤曳较蛳嗤?，模相等是向量相等的必要不充分條件不正確，當(dāng)b0時，ac不一定成立正確 答案:2 向量的相關(guān)概念較多，且容易混淆，所以在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)注意向量相等應(yīng)滿足的兩個條件：模相等；方向相同還要注意零向量的特殊性，尤其是判定向量共線時不要忽略零向量 【變式練習(xí)1】下列命題中正確的有_.單位向量都相等；長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量；若非零向量a，b滿足|a|b|，且a與b同向，則ab；對于任意向量a、b，必有|ab|a|b|.向量的線性表示向量的線性表示 2.DEABCABACMNDEBCBCBDDE CEMN 如圖所示， 、 分別是的邊、的中點(diǎn)，、 分別是、的中點(diǎn)已知 ， ，試用 、 分別表示、和【例 】abab1/ /2121.211221122111.424DEBCDEBCDECE CB BD DEMN MD DB BNED DBBC 由三角形的中位 知，故，即所以 ，【解析】 aabaababaab 用已知向量來表示另外一些向量，是用向量解題的基本功，除綜合利用向量的加、減法運(yùn)算及數(shù)乘向量外，還需要充分利用平面幾何中的一些定理 向量共線向量共線 12332823abOAOAOAABCkkk 設(shè) ， 是兩個不共線的非零向量若 ， ， ， 求證： 、 、 三點(diǎn)共線；若 和共線，求實(shí)數(shù) 的例值【】ababababab(3)(2()2(3 )(3)2412ABBCABAB BCABBCBABCabababababab 證明：因?yàn)?， ，所以、 共線又、有公共【解析點(diǎn) ，所以 、 、 三】點(diǎn)共線(2)因?yàn)?akb和ka2b共線，所以存在實(shí)數(shù)，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.因?yàn)閍與b不共線，所以， 解得2， 所以k24. 本題從正反兩方面考查了向量共線的充要條件，即b與非零向量a共線，則必存在唯一實(shí)數(shù)，使ba；若ba(R)，則b與a共線三點(diǎn)共線問題可利用向量共線的充要條件來解決 3.1()3tabtt若 ， 是兩個不共線的非零向量，若 與 起點(diǎn)相【變式練同， 為何值時， ， ，三向量的終點(diǎn)在一上？習(xí)直】線abRabab1()32332313213211()23tttttt 設(shè) ，得 ，因?yàn)?， 不共線，所以，所以，故 【解析】時， ， ，三向量終點(diǎn)在同一直線上abaabababababab1.已知e1，e2是一對不共線的非零向量，若ae1e2，b2e1e2，且a，b共線，則_。 22222.12mmmmm 因?yàn)?， 共線，所以 ，得 ，【解故，解得】析1212abbaeeee2.2453ABCDABBCCDABCD 在四邊形中， ， ， ，其中 、 不共線，則四邊形是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _abababab0()(2453 )2( 4)2.| 2| |AB BC CD DADAAB BC CDBCDABCBCABCD 因?yàn)?，所以 又，所以四邊形是梯【解析】形abababab梯形3.ABCDACBDOEODAECDFACBDAF 在平行四邊形中，與交于點(diǎn)， 是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)若 ， ，則等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ab21+33ab12.23121().333DFFCAFAC CFCD 利用平面幾何知識得出所以 【】解析aabaab 5.283()12ABBCCDkkkkABD 設(shè) ，是兩個不共線的非零向量，如果 ， ， 試確定實(shí)數(shù) 的值，使 的取值滿足向量與向量 共線；證明： 、 、 三點(diǎn)共線121212121212eeeeeeeeeeee【解析】(1)若向量ke1e2與向量e1ke2共線，則存在實(shí)數(shù)，使得ke1e2(e1ke2)成立，即ke1e2e1ke2， 則 ，解得k1. 283() 555/ /.2BD BC CDABBDABBDBDBD ABBABD 證明：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以又， 有公共點(diǎn) ，所以 、 、 三點(diǎn)共線12121212eeeeeeee 本節(jié)內(nèi)容主要從四個方面考查， 一是考查向量的有關(guān)概念； 二是向量加法、減法及數(shù)乘，平面向量基本定理的應(yīng)用； 三是共線向量與三點(diǎn)共線問題在這些方面注意使用數(shù)形結(jié)合思想解決問題常用定理與公式： 11ABCOAOBOCO 三點(diǎn)共線定理：平面上三點(diǎn) 、 共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù) 、，使，其中 ，為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)121121.1()(2200)nnnOABMABOMOA OBABCGAB BC CAGA GB GCaaaOOAA AAA 平面內(nèi)有任意三個點(diǎn) 、 、若是線段的中點(diǎn)，則； 中， 為重心，則 ； ； 有限個向量 ， ， ，相加，可以從點(diǎn) 出發(fā)，逐一作向量 ， ，12aa1121()nnnnOAOAA AAAOA 則向量即這些向量的和，即 向量加法的多邊形法則n12naaaa 當(dāng)An和O重合時(即上述折線OA1A2An成封閉折線時)，則和向量為零向量 注意：反用以上向量的和式，即把一個向量表示為若干個向量和的形式，是解決向量問題的重要手段